Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/39/Klausur
Aufgabe | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | |
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Punkte | 3 | 3 | 2 | 3 | 5 | 1 | 4 | 2 | 4 | 4 | 4 | 3 | 4 | 8 | 4 | 5 | 1 | 4 | 64 |
Aufgabe * (3 Punkte)
Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.
- Eine surjektive Abbildung
- Eine Folge reeller Zahlen.
- Das Cauchy-Produkt zu zwei Reihen und reeller Zahlen.
- Der Differenzenquotient zu einer Funktion in einem Punkt .
- Die
Integralfunktion
zum Startpunkt zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
auf einem reellen Intervall .
- Ein Eigenwert zu einer
linearen Abbildung
auf einem - Vektorraum .
Aufgabe * (3 Punkte)
Formuliere die folgenden Sätze.
- Die Produktregel für reelle Folgen.
- Der zweite Mittelwertsatz der Differentialrechnung.
- Der Satz über Zeilenrang und Spaltenrang.
Aufgabe * (2 Punkte)
Finde einen möglichst einfachen aussagenlogischen Ausdruck, der die folgende tabellarisch dargestellte Wahrheitsfunktion ergibt.
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Aufgabe (3 Punkte)
Erläutere das Prinzip Beweis durch Fallunterscheidung.
Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)
Es seien und nichtleere Mengen und
Abbildungen für . Es sei , , und die Produktabbildung, also
a) Zeige, dass genau dann surjektiv ist, wenn alle surjektiv sind.
b) Zeige, dass a) nicht gelten muss, wenn die beteiligten Mengen leer sein dürfen.
Aufgabe * (1 Punkt)
Finde eine natürliche Zahl derart, dass
ist.
Aufgabe * (4 Punkte)
Bestimme die ganzzahligen Lösungen der Ungleichung
Aufgabe * (2 Punkte)
Berechne
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz, dass der Limes einer konvergenten Folge in eindeutig bestimmt ist.
Aufgabe * (4 (1+3) Punkte)
Es sei eine stetige Funktion mit und sei eine Nullfolge. Zu bezeichne die -fache Hintereinanderschaltung von mit sich selbst.
- Sei fixiert. Zeige, dass die Folge , , eine Nullfolge ist.
- Man gebe ein Beispiel, das zeigt, dass die Folge , , keine Nullfolge sein muss.
Aufgabe * (4 Punkte)
Die beiden lokalen Extrema der Funktion
definieren ein achsenparalleles Rechteck, das vom Funktionsgraphen in zwei Bereiche zerlegt wird. Bestimme deren Flächeninhalte.
Aufgabe * (3 Punkte)
Bestimme die Ableitung der Sinus- und der Kosinusfunktion über ihre Potenzreihen (Satz 16.1 (Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024))).
Aufgabe * (4 Punkte)
Zeige, dass für , , die Gleichheit
gilt.
Aufgabe * (8 (2+4+2) Punkte)
Wir betrachten die Sinusfunktion
auf und den oberen Halbkreis (mit Radius ) oberhalb dieses Intervalls.
- Skizziere die Situation. Beschreibe den oberen Halbkreis als den Graphen einer Funktion .
- Zeige, dass
für alle gilt. Tipp: Betrachte die Situation für und für .
- Berechne den Flächeninhalt zwischen dem Halbkreis und dem Sinusbogen.
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise das Eliminationslemma für ein inhomogenes lineares Gleichungssystem in Variablen über einem Körper .
Aufgabe * (5 Punkte)
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über der Dimension bzw. . Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich zweier Basen durch die Matrix beschrieben werde. Zeige, dass genau dann injektiv ist, wenn die Spalten der Matrix linear unabhängig in sind.
Aufgabe * (1 Punkt)
Es seien und quadratische Matrizen über einem Körper . Zeige
Aufgabe * (4 Punkte)
Beweise den Satz über die Beziehung zwischen geometrischer und algebraischer Vielfachheit.