Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} Z & E & I & L & E \\ R & E & I & H & E \\ H & O & R & I & Z \\ O & N & T & A & L \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} S & E & I \\ P & V & K \\ A & E & A \\ L & R & A \\ T & T & L \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-{ \mathrm i} & -1-3 { \mathrm i} & -1 \\ { \mathrm i} & 0 & 4-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \\ 2+5 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {e_i \circ e_j} { , }
wobei links der $i$-te
\definitionsverweis {Standardvektor}{}{}
\zusatzklammer {der Länge $n$} {} {}
als Zeilenvektor und rechts der $j$-te Standardvektor
\zusatzklammer {ebenfalls der Länge $n$} {} {}
als Spaltenvektor aufgefasst wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine $m\times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{.} Zeige, dass das \definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{} $M e_j$ mit dem $j$-ten \definitionsverweis {Standardvektor}{}{} \zusatzklammer {als Spaltenvektor aufgefasst} {} {} die $j$-te Spalte von $M$ ergibt. Was ist $e_i M$, wobei $e_i$ der $i$-te Standardvektor \zusatzklammer {als Zeilenvektor aufgefasst} {} {} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+ { \mathrm i} & 1- \frac{1}{2} { \mathrm i} & 4 { \mathrm i} \\ -5+7 { \mathrm i} & \sqrt{2} + { \mathrm i} & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -5+4 { \mathrm i} & 3-2 { \mathrm i} \\ \sqrt{2}- { \mathrm i} & e + \pi { \mathrm i} \\ 1 & -{ \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1+ { \mathrm i} \\2-3 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
gemäß den beiden möglichen Klammerungen.
}
{} {}
Für die folgende Aussage wird sich bald ein einfacher Beweis über die Beziehung zwischen Matrizen und linearen Abbildungen ergeben.
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrizenmultiplikation}{}{}
\definitionsverweis {assoziativ}{}{}
ist. Genauer: Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $A$ eine
\mathl{m\times n}{-}\definitionsverweis {Matrix}{}{,}
$B$ eine
\mathl{n\times p}{-}Matrix und $C$ eine
\mathl{p\times r}{-}Matrix über $K$. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (A B)C
}
{ = }{ A(BC)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
Zu einer Matrix $M$ bezeichnet man mit $M^n$ die $n$-fache Verknüpfung
\zusatzklammer {Matrizenmultiplikation} {} {}
mit sich selbst. Man spricht dann auch von $n$-ten \stichwort {Potenzen} {} der Matrix.
\inputaufgabe
{}
{
Berechne zur
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 1 & 3 & 5 \\0 & 1 & 2 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Potenzen}{}{}
\mathbeddisp {M^{i}} {}
{\, i = 1 , \ldots , 4} {}
{} {} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zeige, dass auch das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathdisp {V\times W} { }
ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K^I
}
{ \defeq} {\operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} einschränken lässt und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,W
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige, dass die Vereinigung $U \cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn
\mathkor {} {U \subseteq W} {oder} {W \subseteq U} {}
gilt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Berechne über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
das
\definitionsverweis {Matrizenprodukt}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3-2 { \mathrm i} & 1+5 { \mathrm i} & 0 \\ 7 { \mathrm i} & 2+ { \mathrm i} & 4- { \mathrm i} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1-2 { \mathrm i} & - { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 2+3 { \mathrm i} \\ 5-7 { \mathrm i} & 2- { \mathrm i} \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & a & b & c \\ 0 & 0 & d & e \\ 0 & 0 & 0 & f \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$. Zeige, dass die vierte
\definitionsverweis {Potenz}{}{}
von $M$ gleich $0$ ist, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M^4
}
{ =} { MMMM
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten
\zusatzklammer {dabei sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1) v
}
{ = }{ -v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.
}
{} {}
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