Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Arbeitsblatt 5

Aufwärmaufgaben

Aufgabe

In einer Familie leben ${}M,P,S$ und ${}T$. Dabei ist ${}M$ dreimal so alt wie ${}S$ und ${}T$ zusammen, ${}M$ ist älter als ${}P$ und ${}S$ ist älter als ${}T$, wobei der Altersunterschied von ${}S$ zu ${}T$ doppelt so groß wie der von ${}M$ zu ${}P$ ist. Ferner ist ${}P$ siebenmal so alt wie ${}T$ und die Summe aller Familienmitglieder ist so alt wie die Großmutter väterlicherseits, nämlich ${}83$.

a) Stelle ein lineares Gleichungssystem auf, das die beschriebenen Verhältnisse ausdrückt.

b) Löse dieses Gleichungssystem.

Aufgabe *

Kevin zahlt für einen Winterblumenstrauß mit ${}3$ Schneeglöckchen und ${}4$ Mistelzweigen ${}2{,}50$ € und Jennifer zahlt für einen Strauß aus ${}5$ Schneeglöckchen und ${}2$ Mistelzweigen ${}2{,}30$ €. Wie viel kostet ein Strauß mit einem Schneeglöckchen und ${}11$ Mistelzweigen?

Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Stunden- und Minutenzeiger. Es ist jetzt 6 Uhr, sodass die beiden Zeiger direkt gegenüber stehen. Um wie viel Uhr stehen die beiden Zeiger zum nächsten Mal direkt gegenüber?

Aufgabe *

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}\,$

mit ${}a,b,c\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(-1)=2,\,f(1)=0,\,f(3)=5.$

Aufgabe

Man finde ein Polynom

${}f=a+bX+cX^{2}+dX^{3}\,$

mit ${}a,b,c,d\in \mathbb {R}$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f(0)=1,\,f(1)=2,\,f(2)=0,\,f(-1)=1.$

Aufgabe *

Erstelle eine Geradengleichung für die Gerade im ${}\mathbb {R} ^{2}$, die durch die beiden Punkte ${}(2,3)$ und ${}(5,-7)$ verläuft.

Vor der nächsten Aufgabe erinnern wir an den Begriff der Sekante.

Zu einer auf einer Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {R}$ definierten Funktion

$f\colon T\longrightarrow \mathbb {R}$

und zwei verschiedenen Punkten ${}a,b\in T$ heißt die Gerade durch ${}(a,f(a))$ und ${}(b,f(b))$ die Sekante von ${}f$ an ${}a$ und ${}b$.

Aufgabe

Bestimme eine Geradengleichung der Sekante der Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto -x^{3}+x^{2}+2,$

zu den Stellen ${}3$ und ${}4$.

Aufgabe

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,0),\,\,(0,1,2)\,{\text{ und }}\,(2,3,4)$

liegen.

Aufgabe

Finde zu einer komplexen Zahl

${}z=a+b{\mathrm {i} }\neq 0\,$

die inverse komplexe Zahl mit Hilfe eines reellen linearen Gleichungssystems mit zwei Variablen und zwei Gleichungen.

Aufgabe

Löse über den komplexen Zahlen das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}{\mathrm {i} }x&+y&+(2-{\mathrm {i} })z&=&2\\&7y&+2{\mathrm {i} }z&=&-1+3{\mathrm {i} }\\&&(2-5{\mathrm {i} })z&=&1\,.\end{matrix}}$

Aufgabe

Es sei ${}K$ der in Beispiel 2.3 eingeführte Körper mit zwei Elementen. Löse in ${}K$ das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+y&&=&1\\&y&+z&=&0\\x&+y&+z&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe

Zeige durch ein Beispiel, dass das durch die drei Gleichungen I,II,III gegebene lineare Gleichungssystem nicht zu dem durch die drei Gleichungen I-II, I-III, II-III gegebenen linearen Gleichungssystem äquivalent sein muss.

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (4 Punkte)

Löse das inhomogene Gleichungssystem

${\begin{matrix}x&+2y&+3z&+4w&=&1\\2x&+3y&+4z&+5w&=&7\\x&\,\,\,\,\,\,\,\,&+z&\,\,\,\,\,\,\,\,&=&9\\x&+5y&+5z&+w&=&0\,.\end{matrix}}$

Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die beiden Ebenen

$E={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 3x+4y+5z=2\right\}}{\text{ und }}F={\left\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}\mid 2x-y+3z=-1\right\}}.$

Bestimme die Schnittgerade ${}E\cap F$.

Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme eine Ebenengleichung für die Ebene im ${}\mathbb {R} ^{3}$, auf der die drei Punkte

$(1,0,2),\,\,(4,-3,2)\,{\text{ und }}\,(2,1,-1)$

liegen.

Aufgabe (3 Punkte)

Man finde ein Polynom

$f=a+bX+cX^{2}$

mit ${}a,b,c\in {\mathbb {C} }$ derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.

$f({\mathrm {i} })=1,\,f(1)=1+{\mathrm {i} },\,f(1-2{\mathrm {i} })=-{\mathrm {i} }.$

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem

${\begin{matrix}2x&-ay&&=&-2\\ax&&+3z&=&3\\-{\frac {1}{3}}x&+y&+z&=&2\end{matrix}}$

über den reellen Zahlen in Abhängigkeit von ${}a\in \mathbb {R}$. Für welche ${}a$ besitzt das Gleichungssystem keine Lösung, eine Lösung oder unendlich viele Lösungen?

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