Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Definitionsabfrage
Es seien und Mengen. Man sagt, dass eine Teilmenge von ist, wenn jedes Element von auch ein Element von ist. Diese Beziehung drückt man durch
aus und sagt auch, dass eine Inklusion vorliegt.
Es seien zwei Mengen und gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Es seien und Mengen. Eine Abbildung von nach ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge genau ein Element der Menge zugeordnet wird. Das zu eindeutig bestimmte Element wird mit bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Eine Verknüpfung auf einer Menge ist eine Abbildung
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle ist .
- Existenz des Negativen: Zu jedem gibt es ein Element mit .
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle gilt: .
- Kommutativgesetz: Für alle gilt .
- ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle ist .
- Existenz des Inversen: Zu jedem mit gibt es ein Element mit .
- Distributivgesetz: Für alle gilt .
Die reellen Zahlen erfüllen die folgenden Anordnungsaxiome.
- Für je zwei reelle Zahlen ist entweder oder oder .
- Aus und folgt (für beliebige ).
- Aus folgt (für beliebige ).
- Aus und folgt (für beliebige ).
- Für jede reelle Zahl gibt es eine natürliche Zahl mit .
Für reelle Zahlen , , nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
Zu einer reellen Zahl ist die Gaußklammer durch
definiert.
Für eine reelle Zahl ist der Betrag folgendermaßen definiert.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von (sprich Fakultät).
Es seien und natürliche Zahlen mit . Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über “.
Die Menge mit und , mit der komponentenweisen Addition und der durch
definierten Multiplikation nennt man Körper der komplexen Zahlen. Er wird mit
bezeichnet.
Zu einer komplexen Zahl
heißt
der Realteil von und
heißt der Imaginärteil von .
Die Abbildung
heißt komplexe Konjugation.
Zu einer komplexen Zahl
ist der Betrag durch
definiert.
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann heißt
- injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
- surjektiv, wenn es für jedes mindestens ein Element mit
- bijektiv, wenn sowohl injektiv als auch surjektiv ist.
Es sei eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung
die jedes Element auf das eindeutig bestimmte Element mit abbildet, die Umkehrabbildung zu .
Es seien und Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen und .
Es sei ein Körper. Ein Ausdruck der Form
heißt Polynom in einer Variablen über .
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist .
Zu Polynomen , , heißt die Funktion
wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.
Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man
ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Wenn beliebig ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Es sei ein Körper und und Indexmengen. Eine -Matrix ist eine Abbildung
Bei und spricht man von einer -Matrix. In diesem Fall schreibt man eine Matrix zumeist tabellarisch als
Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Es sei ein Körper und . Dann nennt man zu den Vektor
wobei an der -ten Stelle steht, den -ten Standardvektor.
Es sei ein Körper und eine Menge mit einem ausgezeichneten Element und mit zwei Abbildungen
und
Dann nennt man einen -Vektorraum (oder einen Vektorraum über ), wenn die folgenden Axiome erfüllt sind (dabei seien und beliebig)
- ,
- ,
- ,
- Zu jedem gibt es ein mit ,
- ,
- ,
- ,
- .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- .
- Mit ist auch .
- Mit und ist auch .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Es sei eine Familie von Vektoren in . Dann heißt der Vektor
eine Linearkombination dieser Vektoren (zum Koeffiziententupel ).
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie , , ein Erzeugendensystem von , wenn man jeden Vektor als
mit einer endlichen Teilfamilie und mit darstellen kann.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Zu einer Familie , , setzt man
und nennt dies den von der Familie erzeugten oder aufgespannten Untervektorraum.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt eine Familie von Vektoren , , (mit einer beliebigen endlichen Indexmenge ) linear unabhängig, wenn eine Gleichung
nur bei für alle möglich ist.
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum. Dann heißt ein linear unabhängiges Erzeugendensystem , , von eine Basis von .
Es sei ein Körper und ein - Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem. Dann nennt man die Anzahl der Vektoren in einer Basis von die Dimension von , geschrieben
Es sei ein Körper und es seien und Vektorräume über . Eine Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle und .
Es sei ein Körper und sei ein - dimensionaler Vektorraum mit einer Basis und sei ein -dimensionaler Vektorraum mit einer Basis .
Zu einer linearen Abbildung
heißt die - Matrix
wobei die -te Koordinate von bezüglich der Basis ist, die beschreibende Matrix zu bezüglich der Basen.
Zu einer Matrix heißt die durch
gemäß Satz 9.5 definierte lineare Abbildung die durch festgelegte lineare Abbildung.
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung. Dann nennt man
den Kern von .
Es sei ein Körper, und seien - Vektorräume und
sei eine - lineare Abbildung und sei endlichdimensional. Dann nennt man
den Rang von .
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit
gibt.
Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit
die inverse Matrix von . Man schreibt dafür
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.
- Vertauschung von zwei Zeilen.
- Multiplikation einer Zeile mit .
- Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige - Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
- .
- .
- .
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die Dimension des von den Spalten erzeugten Untervektorraums von den (Spalten-)Rang der Matrix, geschrieben
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Zu sei diejenige -Matrix, die entsteht, wenn man in die erste Spalte und die -te Zeile weglässt. Dann definiert man rekursiv die Determinante von durch
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die -Matrix
die transponierte Matrix zu .
Es sei ein Körper und es sei ein endlichdimensionaler - Vektorraum. Es sei
eine lineare Abbildung, die bezüglich einer Basis durch die Matrix beschrieben werde. Dann nennt man
die Determinante der linearen Abbildung .
Eine reelle Folge ist eine Abbildung
Es sei eine reelle Folge und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem positiven , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
Es sei eine Teilmenge der reellen Zahlen.
- Ein Element heißt eine obere Schranke für , wenn für alle gilt.
- Ein Element heißt eine untere Schranke für , wenn für alle gilt.
- heißt nach oben beschränkt, wenn eine obere Schranke für existiert.
- heißt nach unten beschränkt, wenn eine untere Schranke für existiert.
- heißt beschränkt, wenn sowohl nach oben als auch nach unten beschränkt ist.
- Ein Element heißt das Maximum von , wenn für alle gilt.
- Ein Element heißt das Minimum von , wenn für alle gilt.
- Eine obere Schranke von heißt das Supremum von , wenn für alle oberen Schranken von gilt.
- Eine untere Schranke von heißt das Infimum von , wenn für alle unteren Schranken von gilt.
Die reelle Folge heißt wachsend, wenn für alle ist, und streng wachsend, wenn für alle ist.
Die Folge heißt fallend, wenn für alle ist, und streng fallend, wenn für alle ist.
Eine reelle Folge heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt.
Es sei eine reelle Folge. Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge
eine Teilfolge der Folge.
Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
gegen konvergiert.
Eine Folge in heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit
gibt.
Sie heißt bestimmt divergent gegen , wenn es zu jedem ein mit
gibt.
Es sei eine Folge von reellen Zahlen. Unter der Reihe versteht man die Folge der Partialsummen
Falls die Folge konvergiert, so sagt man, dass die Reihe konvergiert. In diesem Fall schreibt man für den Grenzwert ebenfalls
und nennt ihn die Summe der Reihe.
Eine Reihe
von reellen Zahlen heißt absolut konvergent, wenn die Reihe
konvergiert.
Für jedes heißt die Reihe
Es sei eine Teilmenge,
eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.
Es sei eine Teilmenge und sei ein Punkt. Es sei
eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von in , wenn für jede Folge in , die gegen konvergiert, auch die Bildfolge gegen konvergiert. In diesem Fall schreibt man
Es sei eine Menge und
eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt das Maximum annimmt, wenn
und dass das Minimum annimmt, wenn
Es sei eine Teilmenge und sei
eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung
gilt. Man sagt, dass in ein lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung
gilt.
Es sei eine Teilmenge und sei
eine Funktion. Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Maximum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung
gilt.
Man sagt, dass in einem Punkt ein isoliertes lokales Minimum besitzt, wenn es ein derart gibt, dass für alle mit und die Abschätzung
gilt.
Es sei eine Folge von reellen Zahlen und eine weitere reelle Zahl. Dann heißt die Reihe
die Potenzreihe in zu den Koeffizienten .
Zu zwei Reihen und reeller Zahlen heißt die Reihe
das Cauchy-Produkt der beiden Reihen.
Für jedes heißt die Reihe
die Exponentialreihe in .
Die Funktion
heißt (reelle) Exponentialfunktion.
Die reelle Zahl
heißt eulersche Zahl.
Zu einer positiven reellen Zahl definiert man die Exponentialfunktion zur Basis als
Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis von durch
definiert.
Die für durch
definierte Funktion heißt Sinus hyperbolicus.
Die für durch
definierte Funktion heißt Kosinus hyperbolicus.
Die durch
definierte Funktion heißt Tangens hyperbolicus.
Eine lineare Abbildung
die durch eine Drehmatrix (mit einem ) gegeben ist, heißt Drehung.
Für heißt
die Sinusreihe zu .
Die Funktion
heißt Tangens und die Funktion
heißt Kotangens.
Es sei eine Teilmenge, ein Punkt und
eine Funktion. Zu , , heißt die Zahl
der Differenzenquotient von zu und .
Es sei eine Teilmenge, ein Punkt und
eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar in ist, wenn der Limes
existiert. Im Fall der Existenz heißt dieser Limes der Differentialquotient oder die Ableitung von in , geschrieben
Es sei ein Intervall und sei
eine Funktion. Man sagt, dass differenzierbar ist, wenn für jeden Punkt die Ableitung von in existiert. Die Abbildung
heißt die Ableitung (oder Ableitungsfunktion) von .
Es sei ein Intervall und sei
eine Funktion. Die Funktion heißt -mal differenzierbar, wenn sie -mal differenzierbar ist und die -te Ableitung, also , differenzierbar ist. Die Ableitung
nennt man dann die -te Ableitung von .
Es sei ein Intervall und
eine Funktion. Man sagt, dass stetig differenzierbar ist, wenn differenzierbar ist und die Ableitung stetig ist.
Es sei die eindeutig bestimmte reelle Nullstelle der Kosinusfunktion aus dem Intervall . Die Kreiszahl ist durch
definiert.
Die Umkehrfunktion der reellen Sinusfunktion ist
und heißt Arkussinus.
Die Umkehrfunktion der reellen Kosinusfunktion ist
und heißt Arkuskosinus.
Es sei ein Intervall,
eine -mal differenzierbare Funktion und . Dann heißt
das Taylor-Polynom vom Grad zu im Entwicklungspunkt .
Es sei ein Intervall,
eine unendlich oft differenzierbare Funktion und . Dann heißt
die Taylor-Reihe zu im Entwicklungspunkt .
Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen . Dann heißt eine Funktion
eine Treppenfunktion, wenn es eine Unterteilung
von derart gibt, dass auf jedem offenen Teilintervall konstant ist.
Es sei ein reelles Intervall mit den Grenzen und sei
eine Treppenfunktion zur Unterteilung und den Werten , . Dann heißt
das Treppenintegral von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt eine Treppenfunktion
eine obere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist. Eine Treppenfunktion
heißt eine untere Treppenfunktion zu , wenn für alle ist.
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Zu jeder oberen Treppenfunktion
von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt das Treppenintegral
ein oberes Treppenintegral (oder eine Obersumme) von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine Funktion. Zu jeder unteren Treppenfunktion
von zur Unterteilung , , und den Werten , , heißt
ein unteres Treppenintegral (oder eine Untersumme) von auf .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine nach oben beschränkte Funktion. Dann heißt das Infimum von sämtlichen Treppenintegralen zu oberen Treppenfunktionen von das Oberintegral von .
Es sei ein beschränktes Intervall und sei
eine nach unten beschränkte Funktion. Dann heißt das Supremum von sämtlichen Treppenintegralen zu unteren Treppenfunktionen von das Unterintegral von .
Es sei ein kompaktes Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn Ober- und Unterintegral von existieren und übereinstimmen.
Es sei ein kompaktes Intervall. Zu einer Riemann-integrierbaren Funktion
heißt das Oberintegral (das nach Definition mit dem Unterintegral übereinstimmt) das bestimmte Integral von über . Es wird mit
bezeichnet.
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine Funktion. Dann heißt Riemann-integrierbar, wenn die Einschränkung von auf jedes kompakte Intervall Riemann-integrierbar ist.
Es sei ein reelles Intervall und sei
eine Riemann-integrierbare Funktion und . Dann heißt die Funktion
die Integralfunktion zu zum Startpunkt .
Es sei ein Intervall und sei
eine Funktion. Eine Funktion
heißt Stammfunktion zu , wenn auf differenzierbar ist und für alle gilt.
Es sei (oder ) ein rechtsseitig (bzw. linksseitig) unbeschränktes Intervall und
eine Funktion. Dann heißt Grenzwert (oder Limes) von für (bzw. ), wenn es für jedes ein (bzw. ) gibt mit für alle (bzw. ). In diesem Fall schreibt man
(bzw. ).
Es sei ein Intervall, ein (uneigentlicher) Randpunkt von und . Es sei eine stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das uneigentliche Integral zu für existiert, wenn der Grenzwert
existiert. In diesem Fall schreibt man für diesen Grenzwert auch
und nennt dies das uneigentliche Integral von nach
Es sei ein Intervall mit den beiden (uneigentlichen) Randpunkten und von . Es sei eine stetige Funktion
gegeben. Man sagt, dass das (beidseitig) uneigentliche Integral
existiert, wenn für ein die beiden einseitig uneigentlichen Integrale
existieren. In diesem Fall setzt man
und nennt dies das uneigentliche Integral zu von nach .
Für , , heißt die Funktion
die Fakultätsfunktion.
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Dann nennt man
die (gewöhnliche) Differentialgleichung zu (oder zum Vektorfeld oder zum Richtungsfeld ).
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Zur gewöhnlichen Differentialgleichung
heißt eine Funktion
auf einem (mehrpunktigen) Intervall eine Lösung der Differentialgleichung, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Die Funktion ist differenzierbar.
- Es ist für alle .
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man
das Anfangswertproblem zur gewöhnlichen Differentialgleichung mit der Anfangsbedingung .
Es sei eine Teilmenge und es sei
eine Funktion. Es sei vorgegeben. Dann nennt man eine Funktion
auf einem Intervall eine Lösung des Anfangswertproblems
wenn eine Lösung der Differentialgleichung ist und wenn zusätzlich
gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt ortsunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.
Eine gewöhnliche Differentialgleichung
heißt zeitunabhängig, wenn die Funktion nicht von abhängt, wenn also mit einer Funktion in der einen Variablen gilt.
Eine Differentialgleichung der Form
mit einer Funktion ( reelles Intervall)
heißt gewöhnliche homogene lineare eindimensionale Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei auf einem Intervall definierten Funktionen und heißt inhomogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung.
Eine Differentialgleichung der Form
mit zwei Funktionen (dabei sind und reelle Intervalle)
und
heißt gewöhnliche Differentialgleichung mit getrennten Variablen.