Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil II/Arbeitsblatt 50/latex

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\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}

Wenn in den folgenden Aufgaben nach Extrema gefragt wird, so ist damit gemeint, dass man die Funktionen auf (isolierte) lokale und globale Extrema untersuchen soll. Zugleich soll man, im differenzierbaren Fall, die kritischen Punkte bestimmen.


\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^2 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2-y^4 } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {2x^2+3y^2+5xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {2x^2+3y^2+4xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {xy^2-x^3y } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme für die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {(x,y)} {xy \sqrt{3- x^2-y^2} } {,} den maximalen Definitionsbereich
\mathl{D\subseteq \R^2}{} und untersuche die Funktion auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{} der Funktion \maabbeledisp {\varphi} {\R^2} {\R } {(x,y)} {3x^2-2xy-y^2+5x } {,} und entscheide, ob in diesen kritischen Punkten ein \definitionsverweis {lokales Extremum}{}{} vorliegt.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+xy-6y^2-y } {,} auf \definitionsverweis {kritische Punkte}{}{} und \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die lokalen und globalen Extrema der auf der \definitionsverweis {abgeschlossenen Kreisscheibe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B \left( 0,1 \right) }
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x^2+y^2 \leq 1 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierten Funktion \maabbeledisp {f} {B \left( 0,1 \right) } {\R } {(x,y)} {x^2+y^3-y^2-y } {.}

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbeledisp {f} {\R \times \R_+ \times \R} {\R } {(x,y,z)} { { \frac{ xz }{ x^2+y^2 } } } {,} \zusatzklammer {es ist also
\mathl{y >0}{}} {} {.}

a) Berechne die \definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{} von $f$ und stelle den \definitionsverweis {Gradienten}{}{} zu $f$ auf.

b) Bestimme die \definitionsverweis {isolierten}{}{} \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} von $f$.

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {-3x^2+2xy-7y^2+x } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {t} {1-t^2 } {.} Für welches
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ [0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitzt die zugehörige zweistufige \zusatzklammer {maximale} {} {} \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

}
{} {}

\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {[0,1]} {\R } {t} {1-t^2 } {.} Für welche
\mathbed {x,y \in [0,1]} {}
{x <y} {}
{} {} {} {,} besitzt die zugehörige dreistufige \zusatzklammer {maximale} {} {} \definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{} zu $f$ den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{,} $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektor\-raum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} genau dann \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist, wenn es eine Basis
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} von $V$ mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \left\langle v_i , v_j \right\rangle }
{ =} { \left\langle v_j , v_i \right\rangle }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \leq }{ i,j }
{ \leq }{ n }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$. Es sei
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} eine \definitionsverweis {Orthogonalbasis}{}{} auf $V$ mit der Eigenschaft
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i }
{ = }{ 1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{} und
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} eine \definitionsverweis {symmetrische}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{} auf $V$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} zu dieser Bilinearform bezüglich einer geeigneten Basis eine \definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{} ist, deren Diagonaleinträge
\mathl{1,-1}{} oder $0$ sind.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {symmetrischen Bilinearform}{}{,} das zeigt, dass der Unterraum maximaler Dimension, auf dem die Ein\-schränkung der Form \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist, nicht eindeutig bestimmt ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} \definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G }
{ \subseteq }{ V }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {offene Menge}{}{} und \maabbdisp {f} {G} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Hesse-Form}{}{} von $f$ in jedem Punkt
\mathl{P \in G}{} \definitionsverweis {symmetrisch}{}{} ist.

}
{} {}

\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}

\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{} des \definitionsverweis {Standardskalarproduktes}{}{} im $\R^3$ bezüglich der \definitionsverweis {Basis}{}{} $\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 2 \\4\\ 5 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 5 \end{pmatrix}$.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{} \definitionsverweis {reellen Vektorraum}{}{} $V$ mit einer \definitionsverweis {symmetrischen}{}{} \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} auf $V$ und einer \definitionsverweis {Basis}{}{}
\mathl{u_1 , \ldots , u_n}{} von $V$ derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left\langle u_i , u_i \right\rangle }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i }
{ = }{1 , \ldots , n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, aber
\mathl{\left\langle - , - \right\rangle}{} nicht \definitionsverweis {positiv definit}{}{} ist.

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{I = {] {- { \frac{ \pi }{ 2 } }} , { \frac{ \pi }{ 2 } } [}}{.} Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {I \times I } {\R } {(x,y)} { { \frac{ \cos x }{ \cos y } } } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Untersuche die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {x^2+9y^2+6xy } {,} auf \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}

\inputaufgabe
{}
{

Sei \maabbdisp {h} {\R_{\geq 0}} {\R } {} eine \definitionsverweis {Funktion}{}{} und betrachte \maabbeledisp {f} {\R^2} {\R } {(x,y)} {h(x^2+y^2) } {.} Zeige, dass $f$ allenfalls im Nullpunkt
\mathl{(0,0)}{} ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Extremum}{}{} besitzen kann, und dass dies genau dann der Fall ist, wenn $h$ in $0$ ein isoliertes lokales Extremum besitzt.

}
{} {}