Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Arbeitsblatt 11/latex

\setcounter{section}{11}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\Q} {\R } {,} die genau zwei Werte annimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{,} die nur endlich viele Werte annimmt. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {konstant}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^2+x-1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/100$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3+4x^2-x +3 } {.} Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[-5,-4]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^3-4x +2 } {.} Bestimme, ausgehend vom Intervall
\mathl{[1,2]}{,} mit der Intervallhalbierungsmethode ein Intervall der Länge
\mathl{1/8}{,} in dem eine Nullstelle von $f$ liegen muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Gegeben sei die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabb {f} {\R\setminus{ \{0,1\} }} {\R } {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {\frac{1}{x^3}+\frac{1}{(x-1)^3} }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass $f$ jeden Wert
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} an mindestens zwei Stellen annimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und es sei $x$ \anfuehrung{nahe}{} an einer Nullstelle von $f$. Ist dann
\mathl{f(x)}{} nahe bei $0$?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Fridolin sagt:

\anfuehrung{Irgendwas kann am Zwischenwertsatz nicht stimmen. Für die stetige Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} gilt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(-1) }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(1) }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Nach dem Zwischenwertsatz müsste es also eine Nullstelle zwischen $-1$ und $1$ geben, also eine Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ [-1,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es ist doch aber stets
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}}{}

Wo liegt der Fehler in dieser Argumentation?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine reelle Zahl. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind. \aufzaehlungdrei{Es gibt ein Polynom
\mathbed {P \in \R[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit ganzzahligen Koeffizienten und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt ein Polynom
\mathbed {Q \in \Q[X]} {}
{Q \neq 0} {}
{} {} {} {,} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es gibt ein normiertes Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ R }
{ \in }{ \Q[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R(z) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {[a,b]} {\R } {} \definitionsverweis {stetige Funktionen}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(a) }
{ \geq }{g(a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(b) }
{ \leq }{g(b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ c }
{ \in }{ [a,b] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(c) }
{ = }{g(c) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}

Die nächsten Aufgaben verwenden den folgenden Begriff.

Es sei $M$ eine Menge und \maabbdisp {f} {M} {M } {} eine \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Ein Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{M }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} heißt \definitionswort {Fixpunkt}{} der Abbildung.




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} der \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Polynom vom Grad
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P }
{ \neq }{X }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $P$ maximal $d$ \definitionsverweis {Fixpunkte}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} und es gebe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \leq} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(y) }
{ \geq} {y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Zeige, dass $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild eines abgeschlossenen Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht abgeschlossen sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} eines \definitionsverweis {offenen Intervalls}{}{} unter einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} nicht offen sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Bild eines beschränkten Intervalls unter einer stetigen Funktion nicht beschränkt sein muss.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $I$ ein reelles Intervall und \maabbdisp {f} {I} {\R } {,} eine stetige, injektive Funktion. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder streng fallend ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ x }{ \betrag { x } +1 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} eine stetige, streng wachsende, bijektive Abbildung \maabbdisp {f} {\R} {{]{-1},1[} } {} gegeben wird, deren Umkehrabbildung ebenfalls stetig ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

\aufzaehlungzwei {Skizziere die Graphen der Funktionen \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} {x-1 } {,} und \maabbeledisp {g} {\R_+} { \R } {x} { { \frac{ 1 }{ x } } } {,} } {Bestimme die Schnittpunkte der beiden Graphen. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $a$ die einzige Nullstelle von $f$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es zu jeder reellen Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} eine \definitionsverweis {streng wachsende}{}{} \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} derart gibt, dass $x$ die einzige Nullstelle von $f$ ist und dass für jede rationale Zahl $q$ auch
\mathl{f(q)}{} rational ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[0,1]} {[0,1[ } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{.} Zeige, dass $f$ nicht \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man gebe ein Beispiel eines beschränkten \definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ I }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und einer \definitionsverweis {stetigen Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} derart, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ beschränkt ist, die Funktion aber kein \definitionsverweis {Maximum}{}{} annimmt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} auf einem \definitionsverweis {reellen Intervall}{}{.} Die Funktion habe in den Punkten
\mathbed {x_1,x_2 \in I} {}
{x_1 < x_2} {}
{} {} {} {,} \definitionsverweis {lokale Maxima}{}{.} Zeige, dass die Funktion zwischen \mathkor {} {x_1} {und} {x_2} {} mindestens ein \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme direkt, für welche
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{\N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die \definitionsverweis {Potenzfunktionen}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x^n } {,} ein \definitionsverweis {Extremum}{}{} im Nullpunkt besitzen.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{5}
{

Finde für die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = x^3 -3x+1 } {,} eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} im \definitionsverweis {Intervall}{}{} $[0,1]$ mit Hilfe der Intervallhalbierungsmethode mit einem Fehler von maximal $1/200$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} mit der Eigenschaft, dass das \definitionsverweis {Bild}{}{} von $f$ sowohl nach oben als auch nach unten unbeschränkt ist. Zeige, dass $f$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Zeige, dass ein reelles Polynom von ungeradem Grad mindestens eine reelle Nullstelle besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Man entwerfe ein Computer-Programm \zusatzklammer {Pseudocode} {} {,} das eine reelle Nullstelle zu einem Polynom
\mathl{dX^3+cX^2+bX+a}{} vom Grad $3$ \zusatzklammer {also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} berechnet. \auflistungacht{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die reelle Zahlen enthalten können. }{Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann einen Speicherinhalt halbieren und in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen. }{Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken. }{Es gibt einen Haltebefehl. } Die Anfangskonfiguration sei
\mathdisp {(a,b,c,d,e,1,0, \ldots )} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {die Koeffizienten des Polynoms, die gewünschte Genauigkeit $e$ und die $1$ stehen also in den ersten Speichern} {} {.} Das Programm soll die Intervallgrenzen für eine Nullstelle mit der gewünschten Genauigkeit in einem Antwortsatz ausdrucken und anschließend anhalten.

}
{} {Tipp: Man schreibe zuerst ein Teilprogramm, das das Polynom an einer Stelle berechnet. Die $1$ ist nicht wirklich wichtig, kann aber eingesetzt werden, um ein sinnvolles Anfangsintervall zu finden. Die Maschine kann nicht subtrahieren.}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabbdisp {f} {[a,b]} {[a,b] } {} eine \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} des \definitionsverweis {Intervalls}{}{}
\mathl{[a,b]}{} in sich. Zeige, dass $f$ einen \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {x_n = \sqrt[3]{ { \frac{ 27n^3+13n^2+n }{ 8n^3-7n+10 } } }, \, n \in \N} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Bestimme das Minimum der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {x^2+3x-5 } {.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Die Aufgabe zum Aufgeben}




\inputaufgabe
{8}
{

Man entwerfe ein Computer-Programm \zusatzklammer {Pseudocode} {} {,} das wie in Aufgabe 11.31 eine reelle Nullstelle zu einem Polynom
\mathl{dX^3+cX^2+bX+a}{} vom Grad $3$ \zusatzklammer {also
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} bis auf eine vorgegebene Genauigkeit von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} berechnet. Die erlaubten Befehle sind wie dort, die Anfangskonfiguration ist jetzt jedoch
\mathdisp {(a,b,c,d,e,0, \ldots )} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{d }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e }
{ > }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}