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Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/15/Hilfsfunktion/Studentenfrage/Antwort
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Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I
|
Repetitorium
|
15
|
Hilfsfunktion/Studentenfrage
Der Satz baut nicht auf der Regel von l'Hôpital auf (sondern umgekehrt). Die Hilfsfunktion hat also nichts mit der Regel von l'Hôpital zu tun sondern ist einfach definiert als
h
(
x
)
:=
f
(
x
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
(
x
)
.
{\displaystyle {}h(x):=f(x)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g(x)\,.}
Im Anschluss beweisen wir, dass es ein
c
∈
]
a
,
b
[
{\displaystyle {}c\in ]a,b[}
gibt mit
h
′
(
c
)
=
0
{\displaystyle {}h'(c)=0}
. Das heißt
h
′
(
c
)
=
f
′
(
c
)
−
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
g
′
(
c
)
=
0
,
{\displaystyle {}h'(c)=f'(c)-{\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}g'(c)=0\,,}
also
f
′
(
c
)
g
′
(
c
)
=
f
(
b
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
a
)
.
{\displaystyle {}{\frac {f'(c)}{g'(c)}}={\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}\,.}
Zur beantworteten Studentenfrage