Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/3/BedeutungBijektiv/Studentenfrage/Antwort
Zunächst bedeutet in der Mathematik ein Ausdruck nur genau das was in seiner Definition steht. Das ist eine große Stärke da das sehr präzise, relativ kurz und knapp ist und sich nicht verändert.
Das Verständnis eines mathematischen Begriffs ergibt sich aus seinen Beziehungen zu anderen Begriffen und was wir daraus herleiten können. Um dafür eine Intuition zu entwickeln empfiehlt sich eine intensive Beschäftigung damit in verschiedenen Kontexten - so wie zum Beispiel mit den Aufgaben die sich darauf beziehen. Bijektivität zieht sich ja durch das ganze Semester.
Ein direkter Fakt den wir herleiten können ist zum Beispiel, dass eine Abbildung genau dann bijektiv ist, wenn sie eine beidseitige Umkehrabbildung besitzt - also so, dass ist. Wir können die Definitionen von injektiv und surjektiv auch folgendermaßen zusammenfassen: Eine Abbildung ist bijektiv, genau dann wenn es zu jedem Element im Wertebereich genau ein Element im Definitionsbereich gibt, welches darauf abbildet.
Als Beispiel für eine Charakterisierung von Bijektiv in einem speziellen Kontext: Stetige bijektive Funktionen sind darüber charakterisiert, dass sie streng monoton fallen oder wachsen.
Zu den letzten beiden Charakterisierungen finden sich hier [1] graphische Veranschaulichungen. Diese entsprechen vielleicht mehr unserer intuitiven Denkwelt, aber sie sind eigentlich nicht einfacher als die Definition sondern nur Veranschaulichungen - weil wir den gesamten Kontext nicht vergessen dürfen.