Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/4/EindeutigkeitdesNegativen/Studentenfrage/Antwort

Die Aussage ${}1+1=0$ gilt nur in diesem speziellen Beispiel. Die Herleitung der Aussage wurde in der Antwort zu einer anderen Frage ausgeführt.

Die Aussage ${}0\cdot 0=0$ wurde sogar noch Allgemeiner in Lemma 4.5  (1) bewiesen.

Bezüglich deiner letzten Frage wäre es sinnvoll in der Frage zu präzisieren was nicht verstanden wurde, damit ich darauf genauer eingehen kann. So ist die Frage eigentlich zu allgemein gehalten.

Betrachten wir trotzdem erneut untenstehenden Beweis. Wir wollen Eindeutigkeit des Negativen zeigen. Dazu nehmen wir zwei Elemente an, die inverse Elemente bezüglich der Addition seien. Die Schritte der Gleichungskette sind entweder Körperaxiome oder die Annahmen über die Elemente ${}y$ und ${}y'$. Dadurch zeigen wir, dass ${}y$ und ${}y'$ gleich sind. Weil wir am Anfang nur angenommen haben, dass sie inverse Elemente bezüglich der Addition sind, haben wir damit gezeigt, dass es nur ein solches inverses Element bezüglich der Addition geben kann.

Lemma

In einem Körper ${}K$ ist zu einem Element ${}x\in K$ das Element ${}y$ mit ${}x+y=0$ eindeutig bestimmt. Bei ${}x\neq 0$ ist auch das Element ${}z$ mit ${}xz=1$ eindeutig bestimmt.

Beweis

Es sei ${}x$ vorgegeben und seien ${}y$ und ${}y'$ Elemente mit ${}x+y=0=x+y'$. Dann gilt

${}y=y+0=y+(x+y')=(y+x)+y'=(x+y)+y'=0+y'=y'\,.$

Insgesamt ist also ${}y=y'$. Für den zweiten Teil siehe Aufgabe 4.3.

$\Box$

Zur beantworteten Studentenfrage