Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Ansatz rechte Seite/Anhang

Für inhomogene lineare Diffferentialgleichungen zweiter Ordnung, deren Störfunktion von einer bestimmten Gesatlat ist, gibt es den sogenannten Ansatz vom Typ der rechten Seite. Dieser liefert eine partikuläre Lösung, die allgemeine Lösung ergibt sich durch Addition dieser partikulären Lösung zu der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.



Lemma  

Es sei

eine Differentialgleichung der Ordnung mit Koeffizienten und einem Polynom vom Grad . Es sei die Nullstellenordnung von im charakteristischen Polynom .

Dann gibt es eine Lösung dieser Differentialgleichung der Form

mit einem Polynom vom Grad .

Beweis  

Wir setzen die gesuchte Lösungsfunktion als

mit und

an. Es ist

und

Damit ist

was zur Bedingung

führt. Man beachte, dass der Term der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ist. Wenn ist, so ist dieser Wert . Das heißt, dass in der linken Seite nur dort vorkommt und die zugehörige Gleichung den Koeffizienten von zu festlegt. So werden sukzessive auch alle weiteren Koeffizienten von festgelegt.

Wenn ist, so ist eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms und der rechte Summand verschwindet. Es ist

und es verbleibt links

Der rechte Summand hat dabei den Grad und die Gleichsetzung mit legt den obersten Koeffizienten fest u.s.w.

Wenn ist, so ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und somit ist auch . Also verbleibt links lediglich

Auch das hat eine eindeutige Auflösung.


Für die Nullstellenordnung für im charakteristischen Polynom gibt es die Möglichkeiten .

Dieser Ansatz lässt sich auch anwenden, wenn die rechte Seite die Form hat. Dann arbeitet man mit , also . Von der komplexen Lösung muss man abschließend den Realteil nehmen.