Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Ansatz rechte Seite/Anhang
Für eine inhomogene lineare Diffferentialgleichung zweiter Ordnung, deren Störfunktion von einer bestimmten Gestalt ist, gibt es den sogenannten Ansatz vom Typ der rechten Seite. Dieser liefert eine partikuläre Lösung, die allgemeine Lösung ergibt sich durch Addition dieser partikulären Lösung zu der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung.
Lemma
Es sei
eine Differentialgleichung der Ordnung mit Koeffizienten und einem Polynom vom Grad . Es sei die Nullstellenordnung von im charakteristischen Polynom .
Dann gibt es eine Lösung dieser Differentialgleichung der Form
mit einem Polynom vom Grad .
Beweis
Wir setzen die gesuchte Lösungsfunktion als
mit und
an. Es ist
und
Damit ist
was zur Bedingung
führt. Man beachte, dass der Term der Wert des charakteristischen Polynoms an der Stelle ist. Wenn ist, so ist dieser Wert . Das heißt, dass in der linken Seite nur dort vorkommt und die zugehörige Gleichung den Koeffizienten von zu festlegt. So werden sukzessive auch alle weiteren Koeffizienten von festgelegt.
Wenn ist, so ist eine einfache Nullstelle des charakteristischen Polynoms und der rechte Summand verschwindet. Es ist
und es verbleibt links
Der rechte Summand hat dabei den Grad und die Gleichsetzung mit legt den obersten Koeffizienten fest u.s.w.
Wenn ist, so ist eine doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms und somit ist auch . Also verbleibt links lediglich
Auch das hat eine eindeutige Auflösung.
Für die Nullstellenordnung für im charakteristischen Polynom gibt es die Möglichkeiten
.
Dieser Ansatz lässt sich auch anwenden, wenn die rechte Seite die Form hat. Dann arbeitet man mit , also . Von der komplexen Lösung muss man abschließend den Realteil nehmen.