Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Vorlesung 52/latex
\setcounter{section}{52}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Waeller2.jpg} }
\end{center}
\bildtext {Hier hat Vorli die Fragebögen von Dr. Eisenbeis zerfetzt. Zum Glück hat Dr. Eisenbeis alles schon digital abgespeichert.} }
\bildlizenz { Waeller2.jpg } {} {Odatrulle} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\zwischenueberschrift{Hinreichende Kriterien für lokale Extrema}
Wir kommen jetzt zu hinreichenden Kriterien für die Existenz von lokalen Extrema einer Funktion \maabbdisp {f} {G} {\R } {,} die auf Eigenschaften der zweiten Richtungsableitungen, genauer der Hesse-Form, beruhen und die entsprechenden Kriterien in einer Variablen verallgemeinern. Zunächst brauchen wir ein Lemma, das beschreibt, wie die Defi\-nitheit \zusatzklammer {oder der \anfuehrung{Definitheitstyp}{}} {} {} der Hesse-Form vom Punkt abhängt.
\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Offenheit der positiv definiten Hesse-Form/Fakt}
{Lemma}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge
und
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Punkt, in dem die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {positiv (negativ) definit}{}{}
sei.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
derart, dass die Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
positiv
\zusatzklammer {negativ} {} {}
definit ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
Es sei
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$, und sei
\mathl{H (Q)}{} die
\definitionsverweis {Gramsche Matrix}{}{}
zur Hesse-Form
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
bezüglich dieser Basis. Aufgrund der Differenzierbarkeitsvoraussetzungen hängt
\mathl{H(Q)}{}
\definitionsverweis {stetig}{}{}
von $Q$ ab. Daher hängen auch die
\definitionsverweis {Determinanten}{}{}
der quadratischen Untermatrizen von
\mathl{H(Q)}{} stetig von $Q$ ab. Die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(P)
}
{ =} { \det ((H(P)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
sind
nach Korollar 44.16
alle von $0$ verschieden. Daher gibt es eine offene Umgebung
\mathbed {U} {}
{P \in U \subseteq G} {}
{} {} {} {,}
derart, dass für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{U
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Determinanten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ D_k(Q)
}
{ =} { \det ((H (Q)_{i,j} )_{1 \leq i,j \leq k} )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das gleiche Vorzeichen haben wie
\mathl{D_k(P)}{.} Da diese Vorzeichen nach
Korollar 44.16
über die Definitheit entscheiden, folgt die Behauptung.
\inputfaktbeweis
{Zweimal stetig differenzierbare Funktion/Definitheit der Hesse-Form/Extrema/Fakt}
{Satz}
{}
{
\faktsituation {Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {reeller Vektorraum}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {offene}{}{}
Teilmenge
und
\maabbdisp {f} {G} {\R} {}
eine zweimal
\definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{}
\definitionsverweis {Funktion}{}{.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \left(Df\right)_{P}
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
ist, so besitzt $f$ ein
\definitionsverweis {isoliertes}{}{}
\definitionsverweis {lokales Maximum}{}{}
in $P$.
}{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
ist, so besitzt $f$ ein
\definitionsverweis {isoliertes}{}{} \definitionsverweis {lokales Minimum}{}{}
in $P$.
}{Wenn
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {indefinit}{}{}
ist, so besitzt $f$ in $P$ weder ein lokales Minimum noch ein lokales Maximum.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
}
{
\teilbeweis {}{}{}
{(1). Aufgrund von
Lemma 52.1
gibt es ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \delta
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ \in }{ U { \left( P,\delta \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
ist. Für alle Vektoren
\mathbed {v \in V} {}
{v \in U { \left( 0,\delta \right) }} {}
{} {} {} {,}
gibt es nach
Satz 50.5
ein
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c
}
{ = }{c(v)
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v)
}
{ =} { f(P) + \sum_{ \betrag { \, r \, } = 2 } { \frac{ 1 }{ r! } } D^r f(P+c v) \cdot v^r
}
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei die erste Formulierung sich auf eine fixierte Basis bezieht und wobei die zweite Identität auf
Aufgabe 50.14
beruht. Da die Hesse-Form negativ definit ist, steht rechts für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Zahl, die echt kleiner als
\mathl{f(P)}{} ist. Daher liegt ein isoliertes lokales Maximum vor.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(2) wird wie (1) bewiesen oder durch Betrachten von $-f$ darauf zurückgeführt.}
{}
\teilbeweis {}{}{}
{(3). Es sei
\mathl{\operatorname{Hess}_{ P } \, f}{}
\definitionsverweis {indefinit}{}{.}
Dann gibt es Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
mit
\mathdisp {\operatorname{Hess}_{ P } \, f ( v,v) > 0 \text{ und } \operatorname{Hess}_{ P } \, f ( w,w) < 0} { . }
Wegen der stetigen Abhängigkeit der Hesse-Form gelten diese Abschätzungen auch für
\mathl{\operatorname{Hess}_{ Q } \, f}{} für $Q$ aus einer offenen Umgebung von $P$
\zusatzklammer {mit den gleichen Vektoren $v$ und $w$} {} {.}
Wir können durch Skalierung von
\mathkor {} {v} {und} {w} {}
annehmen, dass
\mathkor {} {P+v} {und} {P+w} {}
zu dieser Umgebung gehören. Wie im Beweis zu Teil (1) gilt daher
\zusatzklammer {$v$ und $w$ sind nicht $0$} {} {}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+v)
}
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+cv } \, f ( v,v)
}
{ >} { f(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(P+w)
}
{ =} { f(P) + { \frac{ 1 }{ 2 } } \operatorname{Hess}_{ P+dw } \, f ( w,w)
}
{ <} { f(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d
}
{ \in }{[0,1]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Also kann in $P$ kein lokales Extremum vorliegen.}
{}
\inputbeispiel{
}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Funktion}{}{}
\maabbeledisp {f} {\R^2} {\R
} {(x,y)} {x+3x^2-2xy-y^2+y^3
} {.}
Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial f }{ \partial x } } = 1+6x-2y \text{ und } { \frac{ \partial f }{ \partial y } } = -2x-2y+3y^2} { . }
Zur Berechnung der
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{}
dieser Funktion eliminieren wir $x$ und erhalten die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{9y^2-8y+1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,} die zu
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { { \frac{ \pm \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
führt. Die kritischen Punkte sind also
\mathdisp {P_1 = \left( { \frac{ 2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right) \text{ und } P_2 = \left( { \frac{ -2 \sqrt{7} -1 }{ 54 } } , \, { \frac{ - \sqrt{7} }{ 9 } } + { \frac{ 4 }{ 9 } } \right)} { . }
Die
\definitionsverweis {Hesse-Form}{}{}
ist in einem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q
}
{ = }{ (x,y)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ Q } \, f
}
{ =} { \begin{pmatrix} 6 & -2 \\ -2 & -2+6y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zur Bestimmung des Definitheitstyps ziehen wir
Korollar 44.16
heran, wobei der erste Minor, also $6$, natürlich positiv ist. Die Determinante der Hesse-Matrix ist
\mathdisp {-16 +36 y} { , }
was genau bei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y
}
{ > }{ { \frac{ 4 }{ 9 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
positiv ist. Dies ist im Punkt $P_1$ der Fall, aber nicht im Punkt $P_2$. Daher ist die Hesse-Matrix im Punkt $P_1$ nach
Korollar 44.16
positiv definit und somit besitzt die Funktion $f$ im Punkt $P_1$ nach
Satz 52.2
ein isoliertes
\definitionsverweis {lokales Minimum}{}{,}
das zugleich ein
\definitionsverweis {globales Minimum}{}{}
ist. In $P_2$ ist die Determinante negativ, sodass dort die Hesse-Form
\definitionsverweis {indefinit}{}{}
ist und somit, wiederum nach
Satz 52.2,
kein Extremum vorliegen kann.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} {\R_+ \times \R} { \R
} {(x,y)} { x^y
} {.}
Es
ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^y
}
{ =} { e^{ ( \ln x) \cdot y }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
sind
\mathdisp {{ \frac{ \partial \varphi }{ \partial x } } = { \frac{ y }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = { \frac{ y }{ x } } \cdot x^y \text{ und } { \frac{ \partial \varphi }{ \partial y } } = ( \ln x ) \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} = ( \ln x ) \cdot x^y} { . }
Da die Exponentialfunktion stets positiv ist, ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{(1,0)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der einzige
\definitionsverweis {kritische Punkt}{}{.}
Die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
in einem Punkt
\mathl{(x,y)}{} ist
\mavergleichskettedisphandlinks
{\vergleichskettedisphandlinks
{ \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} & ( \ln x)^2 \cdot e^{ ( \ln x) \cdot y} \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} { \frac{ -y+y^2 }{ x^2 } } \cdot x^y & { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y \\ { \frac{ 1 + y \ln x }{ x } } \cdot x^y & ( \ln x)^2 \cdot x^y \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
In $P$ ist dies
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ P } \, \varphi
}
{ =} { \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Nach
Korollar 44.16
ist daher die Hesse-Form im kritischen Punkt weder
\definitionsverweis {positiv definit}{}{}
noch
\definitionsverweis {negativ definit}{}{.}
Man kann direkt zeigen, dass diese Matrix
\definitionsverweis {indefinit}{}{}
ist
\zusatzklammer {vom
\definitionsverweis {Typ}{}{}
\mathlk{(1,1)}{}} {} {,}
da diese Bilinearform auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix}}{} positiv und auf
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\-1 \end{pmatrix}}{} negativ definit ist. Nach
Satz 52.2
liegt in diesem Punkt also kein
\definitionsverweis {Extremum}{}{}
vor.
Dies kann man auch ohne Differentialrechnung erkennen. Für
\mathkor {} {x=1} {oder} {y=0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Ansonsten gelten die folgenden Beziehungen.
\aufzaehlungvier{Für
\mathkor {} {0<x<1} {und} {y>0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathkor {} {x>1} {und} {y>0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathkor {} {0<x<1} {und} {y<0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ > }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für
\mathkor {} {x>1} {und} {y<0} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x^y
}
{ < }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
Daher gibt es in jeder Umgebung von
\mathl{(1,0)}{} Punkte, an denen die Funktionswerte größer bzw. kleiner als $1$ sind.
}
\inputbemerkung
{}
{
Es sei
\maabbdisp {g} {[a,b]} {\R
} {}
eine
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ =} {x_0
}
{ <} { x_1
}
{ <} { x_2
}
{ <} { \ldots
}
}
{
\vergleichskettefortsetzung
{ <} { x_n
}
{ <} { x_{n+1}
}
{ =} { b
}
{ } {}
}{}{}
eine Unterteilung des Intervalls durch $n$ Zwischenpunkte
\zusatzklammer {in \mathlk{n+1}{} Teilintervalle} {} {.}
Dazu gehört die
\definitionsverweis {Treppenfunktion}{}{,}
die auf
\mathl{[x_i,x_{i+1}[}{} den konstanten Wert
\mathl{g(x_i)}{} annimmt. Wenn $g$
\definitionsverweis {monoton wachsend}{}{}
ist, so ist dies eine
\definitionsverweis {untere Treppenfunktion}{}{,}
und das zugehörige
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {untere Schranke}{}{}
für das
\definitionsverweis {bestimmte Integral}{}{}
\mathl{\int_a^b g(t)dt}{.} Das Treppenintegral ist durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { \sum_{i = 0}^n g(x_i) { \left( x_{i+1} -x_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Wir fragen uns, für welche Intervallunterteilung mit $n$ Teilpunkten das Treppenintegral
\definitionsverweis {maximal}{}{}
oder
\definitionsverweis {minimal}{}{}
wird. Dazu kann man die differentiellen Methoden zur Bestimmung von Extrema für Funktionen in mehreren Variablen verwenden
\zusatzklammer {nämlich den variablen Unterteilungspunkten \mathlk{x_1 , \ldots , x_n}{}} {} {,}
vorausgesetzt, dass $g$
\zusatzklammer {hinreichend oft} {} {}
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{}
\zusatzklammer {in einer Variablen} {} {}
ist. In diesem Fall sind die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
von $f$ gleich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }
}
{ =} { g'(x_i) { \left( x_{i+1}-x_i \right) } -g(x_i)+g(x_{i-1})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{1 , \ldots , n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {wobei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{x_0
}
{ = }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ x_{n+1}
}
{ = }{ b
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zu lesen ist} {} {.}
Als Definitionsbereich von $f$ kann man die offene Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ (x_1 , \ldots , x_n) \mid a <x_1 <x_2 < \ldots < x_n <b \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
oder aber
\mathl{[a,b]^n}{} wählen. Es ist im Allgemeinen schwierig, die kritischen Punkte dieser Abbildung zu bestimmen.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen für die Funktion
\maabbeledisp {g} {\R} {\R
} {t} {g(t) = 1-t^3
} {,}
und das
\definitionsverweis {Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} bestimmen, für welche zwei Unterteilungspunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{0
}
{ < }{x
}
{ < }{y
}
{ < }{1
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
der zugehörigen
\zusatzklammer {dreistufigen} {} {}
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{}
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x,y)
}
{ =} { x { \left( 1-x^3 \right) } + { \left( y-x \right) } { \left( 1-y^3 \right) }
}
{ =} { x-x^4+y-y^4-x+xy^3
}
{ =} { -x^4+y-y^4 +xy^3
}
{ } {
}
}
{}{}{}
beschrieben. Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
dieser Funktion sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x } }
}
{ =} { -4x^3+y^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial y } }
}
{ =} { 1 -4y^3 +3xy^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir bestimmen die
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{.}
Aus der ersten partiellen Ableitung ergibt sich die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{y
}
{ =} { \sqrt[3]{4} x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und daraus ergibt sich mit der zweiten partiellen Ableitung die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 1 -16 x^3 +3 \cdot 4^{2/3}x^3
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( 16 - 3 \cdot 4^{2/3} \right) } x^3
}
{ =} { 1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bzw.
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Somit ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \left( { \frac{ 1 }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } } , \, { \frac{ \sqrt[3]{4} }{ \sqrt[3]{ 16 - 3 \cdot 4^{2/3} } } } \right)
}
{ \cong} { \left( 0,4911 , \, 0,7796 \right)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der einzige kritische Punkt. Wir bestimmen die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
in diesem Punkt, sie ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Hess}_{ P } \, f
}
{ =} { \begin{pmatrix} -12x^2 & 3y^2 \\ 3y^2 & -12y^2+6xy \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und in $P$ gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} - 2,8942 & 1,8233 \\ 1,8233 & -4,9961 \end{pmatrix}} { , }
also
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
nach Korollar 44.16.
Daher liegt in $P$ ein Maximum
nach Satz 52.2
vor.
}
\inputbeispiel{}
{
Wir wollen für die Funktion
\maabbeledisp {g} {\R} {\R
} {t} {t
} {,}
und das
\definitionsverweis {Einheitsintervall}{}{}
\mathl{[0,1]}{} bestimmen, für welche $n$ Unterteilungspunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0
}
{ < }{ x_1
}
{ < }{ \ldots
}
{ < }{x_n
}
{ < }{1
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Treppenintegral}{}{}
der zugehörigen
\zusatzklammer {\mathlk{(n+1)}{-}stufigen} {} {}
\definitionsverweis {unteren Treppenfunktion}{}{}
maximal wird. Das Treppenintegral wird durch die Funktion
\mavergleichskettealignhandlinks
{\vergleichskettealignhandlinks
{ f(x_1 , \ldots , x_n)
}
{ =} { x_1(x_2-x_1) +x_2(x_3-x_2) + \cdots + x_{n-1} (x_n-x_{n-1}) + x_n(1-x_n)
}
{ =} { \sum_{i = 1}^{n-1} x_{i}x_{i+1} +x_n - \sum_{i = 1}^n x_i^2
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}
{}{}
beschrieben. Die
\definitionsverweis {partiellen Ableitungen}{}{}
dieser Funktion sind
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_1 } }
}
{ =} { x_2 -2x_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_i } }
}
{ =} { x_{i-1} +x_{i+1} -2x_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ = }{ 2 , \ldots , n-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ \partial f }{ \partial x_n } }
}
{ =} { x_{n-1} + 1 - 2x_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir bestimmen die
\definitionsverweis {kritischen Punkte}{}{,}
indem wir die partiellen Ableitungen gleich $0$ setzen. Die ersten
\mathl{n-1}{} Gleichungen ergeben sukzessive die Bedingungen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_i
}
{ =} { i x_1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle $i$. Dies zeigt man durch
\definitionsverweis {Induktion}{}{,}
der Induktionsanfang
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{i
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
ist trivial,
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt direkt aus der ersten Gleichung und der Induktionsschritt ergibt sich aus
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_{i+1}
}
{ =} { -x_{i-1} +2x_i
}
{ =} { -(i-1)x_1 +2ix_1
}
{ =} { (i+1 ) x_1
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Aus der letzen Gleichung folgt schließlich
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0
}
{ =} { x_{n-1} +1 -2x_n
}
{ =} { 1 +( n-1 -2n ) x_1
}
{ =} { 1 -(n+1) x_1
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und somit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x_1
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ n+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Der einzige kritische Punkt liegt also in der äquidistanten Unterteilung vor. Die
\definitionsverweis {Hesse-Matrix}{}{}
ist
\zusatzklammer {unabhängig vom Punkt} {} {}
gleich
\mathdisp {\begin{pmatrix} -2 & 1 & 0 & \ldots & \ldots & 0 \\
1 & -2 & 1 & 0 & \ldots & 0 \\
0 & 1 & -2& 1 & \ddots & 0 \\
\vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & \vdots \\
0 & \ldots & 0 & 1 & -2 & 1\\
0 & \ldots & \ldots & 0 & 1 & -2
\end{pmatrix}} { . }
Diese Matrix ist
\definitionsverweis {negativ definit}{}{}
nach Korollar 44.16.
Daher liegt in der äquidistanten Unterteilung
nach Satz 52.2
das Maximum vor.
}