Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex

\setcounter{section}{13}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Eigenschaften von \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} und \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} \aufzaehlungdrei{
\mathdisp {\cosh x + \sinh x = e^x} { . }
}{
\mathdisp {\cosh x - \sinh x = e^{-x }} { . }
}{
\mathdisp {( \cosh x )^2 - ( \sinh x )^2 = 1} { . }
}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in der \definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n= 0}^\infty c_nx^n}{} des \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} die Koeffizienten $c_n$ für ungerades $n$ gleich $0$ sind.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} auf $\R$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die Additionstheoreme für die \definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{,} also

a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh (x + y) }
{ =} { \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh(x + y) }
{ =} {\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Tangens hyperbolicus}{}{} die Abschätzungen
\mathdisp {-1 \leq \tanh x \leq 1 \text{ für alle } x \in \R} { }
erfüllt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P }
{ =} { \sum_{k = 0}^d a_k x^k }
{ \in} { \R[X] }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} definiert, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_k }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle geraden Indizes ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} ist?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die Summe von zwei \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{} wieder gerade und die Summe von zwei ungeraden Funktionen wieder ungerade ist. Kann man etwas über die Summe von einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion aussagen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass das Produkt von zwei \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{} wieder gerade, das Produkt von zwei ungeraden Funktionen gerade und das Produkt von einer geraden und einer ungeraden Funktion ungerade ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass es genau eine Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} gibt, die sowohl \definitionsverweis {gerade}{}{} als auch ungerade ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass man jede \definitionsverweis {stetige Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f }
{ = }{g+h }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit einer stetigen \definitionsverweis {geraden Funktion}{}{} $g$ und einer stetigen \definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{} $h$ schreiben kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y)\in \Q^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten den rationalen Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \Q^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} und die Gerade
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \Q^2 \mid x+y = 0 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungvier{Bestimme die Schnittpunkte
\mathl{E \cap G}{.} }{Wie sieht es aus, wenn man statt $\Q$ die reellen Zahlen $\R$ nimmt? }{Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat? }{Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz? }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2y-3x+1 }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,2)$ und den Radius $5$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise \mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,} wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,r }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K }
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} der \stichwort {Kreis} {} mit dem \stichwort {Mittelpunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M }
{ = }{ (a,b) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und dem \stichwort {Radius} {} $r$. Es sei $G$ eine \stichwort {Gerade} {} in $\R^2$ mit der Eigenschaft, dass es auf $G$ mindestens einen Punkt $P$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(M,P) }
{ \leq }{ r }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K \cap G }
{ \neq }{ \emptyset }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten einen Kreis \zusatzklammer {mit Radius $1$} {} {} und darin eingeschriebene regelmäßige $n$-Ecke. \aufzaehlungdrei{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Circumscribed2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Circumscribed2.png } {} {Maksim} {Commons} {gemeinfrei} {}

In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang. }{




\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hagalaz.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Hagalaz.jpg } {} {Dupuis pierre} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}

In den Kreis sei ein regelmäßiges $6$-Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang. }{Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen $n$-Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen $n$-Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser? }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise elementargeometrisch den \stichwort {Sinussatz} {,} also die Aussage, dass in einem \definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{} die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } } }
{ =} { { \frac{ b }{ \sin \beta } } }
{ =} { { \frac{ c }{ \sin \gamma } } }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gelten, wobei
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} sind.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Eisenbeis_Sprungrampe.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Eisenbeis_Sprungrampe.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge \zusatzklammer {alle Angaben in Meter} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell }
{ = }{ 1,2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} verlaufen und eine Sprunghöhe von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h }
{ = }{ 0,2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} erreichen \zusatzklammer {siehe Bild} {} {.} Welche \zusatzklammer {implizite} {} {} Bedingung muss der Winkel $\alpha$ erfüllen \zusatzklammer {die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden} {} {?}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der \definitionsverweis {Produktreihe}{}{} $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ aus der \definitionsverweis {Sinusreihe}{}{} und der \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne
\mathdisp {{ \left( 1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+{ \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 \right) }^2 + { \left( X - { \frac{ 1 }{ 6 } } X^3 + { \frac{ 1 }{ 120 } } X^5 \right) }^2} { . }
Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1 }
{ \leq }{ \sin x }
{ \leq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1 }
{ \leq }{ \cos x }
{ \leq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ \sin n }{ n^2 } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass der \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} auf $\R_{\leq 0}$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{} und auf $\R_{\geq 0}$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mathl{3y-4x+2=0}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,5)$ und den Radius $7$ gegeben ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi_Berechnung_Heron1.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Pi_Berechnung_Heron1.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}






\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi_Berechnung_Heron2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }

\bildlizenz { Pi_Berechnung_Heron2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}

Wir betrachten den Einheitskreis, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \mid x^2+y^2 = 1 \right\} } }
{ \subseteq} { \R^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1 }
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und definieren rekursiv die Folge $P_n$ \zusatzklammer {in der Ebene} {} {} durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q_{n} }
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( P_0 + P_{n-1} \right) } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} \zusatzklammer {d.h.
\mathl{Q_{n}}{} ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen \mathkor {} {P_{0}} {und} {P_{n-1}} {}} {} {} und $P_{n}$ ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch $\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}$ und $Q_{n}$ mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_{n} }
{ = }{ d(P_0, P_{n}) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen \mathkor {} {P_0} {und} {P_n} {} und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ =} { 2^n d_n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens \zusatzklammer {also von $\pi$} {} {.} Da in der Berechnung der Punkte $P_n$ und der Längen $d_n$ Quadratwurzeln \zusatzklammer {Satz des Pythagoras} {} {} auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.

Man entwerfe ein Computer-Programm \zusatzklammer {Pseudocode} {} {,} das eine Folge $y_n$ von Approximationen \zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {} für $x_n$ berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von $y_n$ sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von $x_n$ irgendwo eingehen, mit $n$ Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert $1$ berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von $y_n$ erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für
\mathl{P_2 , \ldots , P_n}{} bestimmt. \auflistungsechs{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können. }{Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit \zusatzklammer {diese müssen also nicht erzeugt werden} {} {.} }{Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann die rationalen Rechenoperationen \zusatzklammer {Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl $\neq 0$} {} {} ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen. }{Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken. } Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen
\mathl{y_1,y_2,y_3, ...}{} ausgeben.

}
{} {\zusatzklammer {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_1 }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_2 }
{ = }{ { \frac{ 58540996 }{ 19126309 } } }
{ = }{ 3,060757619... }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es wird nicht behauptet, dass die Folge $y_n$ wirklich gegen $\pi$ konvergiert} {} {.}}




\inputaufgabe
{6}
{

Beweise das Additionstheorem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (x+y) }
{ =} { \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Entscheide, ob die \definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n }
{ \defeq} { { \frac{ 5 \sin^{ 3 } n -6n^4 +13 n^2+ { \left( \sin n \right) } { \left( \cos \left( n^2 \right) \right) } }{ 7 n^4 -5n^3 +n^ 2 \sin^{ 2 } \left( n^3 \right) - \cos n } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in $\R$ \definitionsverweis {konvergiert}{}{} und bestimme gegebenenfalls den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es seien $n$ komplexe Zahlen
\mathl{z_1,z_2 , \ldots , z_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B }
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 1 \right\} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,} gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w }
{ \in }{ B }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \betrag { z_i-w } }
{ \geq} { n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}