Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{13}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige die folgenden Eigenschaften von
\definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{}
und
\definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{}
\aufzaehlungdrei{
\mathdisp {\cosh x + \sinh x = e^x} { . }
}{
\mathdisp {\cosh x - \sinh x = e^{-x }} { . }
}{
\mathdisp {( \cosh x )^2 - ( \sinh x )^2 = 1} { . }
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass in der
\definitionsverweis {Potenzreihe}{}{}
\mathl{\sum_{n= 0}^\infty c_nx^n}{} des
\definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{}
die Koeffizienten $c_n$ für ungerades $n$ gleich $0$ sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Sinus hyperbolicus}{}{} auf $\R$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beweise die Additionstheoreme für die \definitionsverweis {Hyperbelfunktionen}{}{,} also
a)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sinh (x + y)
}
{ =} { \sinh x \cosh y + \cosh x \sinh y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
b)
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \cosh(x + y)
}
{ =} {\cosh x \cosh y + \sinh x \sinh y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der
\definitionsverweis {Tangens hyperbolicus}{}{} die Abschätzungen
\mathdisp {-1 \leq \tanh x \leq 1 \text{ für alle } x \in \R} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ P
}
{ =} { \sum_{k = 0}^d a_k x^k
}
{ \in} { \R[X]
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Polynom. Zeige, dass $P$ genau dann eine
\definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{}
definiert, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_k
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle geraden Indizes ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {gerade Funktion}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Woran erkennt man am \definitionsverweis {Graphen}{}{} von $f$, ob $f$ eine \definitionsverweis {ungerade Funktion}{}{} ist?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Summe von zwei \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{} wieder gerade und die Summe von zwei ungeraden Funktionen wieder ungerade ist. Kann man etwas über die Summe von einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion aussagen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das Produkt von zwei \definitionsverweis {geraden Funktionen}{}{} wieder gerade, das Produkt von zwei ungeraden Funktionen gerade und das Produkt von einer geraden und einer ungeraden Funktion ungerade ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es genau eine Funktion \maabb {f} {\R} {\R } {} gibt, die sowohl \definitionsverweis {gerade}{}{} als auch ungerade ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass man jede
\definitionsverweis {stetige Funktion}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {}
als
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f
}
{ = }{g+h
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit einer stetigen
\definitionsverweis {geraden Funktion}{}{}
$g$ und einer stetigen
\definitionsverweis {ungeraden Funktion}{}{}
$h$ schreiben kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y)\in \Q^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten den rationalen Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \Q^2 \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und die Gerade
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \Q^2 \mid x+y = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
\aufzaehlungvier{Bestimme die Schnittpunkte
\mathl{E \cap G}{.}
}{Wie sieht es aus, wenn man statt $\Q$ die reellen Zahlen $\R$ nimmt?
}{Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat?
}{Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz?
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2y-3x+1
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,2)$ und den Radius $5$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte \mathkor {} {(-1,1)} {und} {(4,-2)} {} verläuft.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise
\mathkor {} {K_1} {und} {K_2} {,}
wobei $K_1$ den Mittelpunkt
\mathl{(3,4)}{} und den Radius $6$ und $K_2$ den Mittelpunkt $(-8,1)$ und den Radius $7$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,r
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ r
}
{ > }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K
}
{ =} { { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid (x-a)^2+(y-b)^2 = r^2 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der \stichwort {Kreis} {} mit dem \stichwort {Mittelpunkt} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ = }{ (a,b)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und dem \stichwort {Radius} {} $r$. Es sei $G$ eine \stichwort {Gerade} {} in $\R^2$ mit der Eigenschaft, dass es auf $G$ mindestens einen Punkt $P$ gibt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d(M,P)
}
{ \leq }{ r
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K \cap G
}
{ \neq }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten einen Kreis
\zusatzklammer {mit Radius $1$} {} {}
und darin eingeschriebene regelmäßige $n$-Ecke.
\aufzaehlungdrei{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Circumscribed2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Circumscribed2.png } {} {Maksim} {Commons} {gemeinfrei} {}
In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.
}{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hagalaz.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Hagalaz.jpg } {} {Dupuis pierre} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
In den Kreis sei ein regelmäßiges $6$-Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.
}{Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen $n$-Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen $n$-Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise elementargeometrisch den \stichwort {Sinussatz} {,} also die Aussage, dass in einem
\definitionsverweis {nichtausgearteten Dreieck}{}{}
die Gleichheiten
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \frac{ a }{ \sin \alpha } }
}
{ =} { { \frac{ b }{ \sin \beta } }
}
{ =} { { \frac{ c }{ \sin \gamma } }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gelten, wobei
\mathl{a,b,c}{} die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln
\mathl{\alpha, \beta, \gamma}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers \zusatzklammer {jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen} {} {} berechnet.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Eisenbeis_Sprungrampe.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Eisenbeis_Sprungrampe.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge
\zusatzklammer {alle Angaben in Meter} {} {}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \ell
}
{ = }{ 1,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
verlaufen und eine Sprunghöhe von
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{h
}
{ = }{ 0,2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
erreichen
\zusatzklammer {siehe Bild} {} {.}
Welche
\zusatzklammer {implizite} {} {}
Bedingung muss der Winkel $\alpha$ erfüllen
\zusatzklammer {die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden} {} {?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die Koeffizienten bis zu $z^6$ in der \definitionsverweis {Produktreihe}{}{} $\sum _{ n= 0}^\infty c_n z^{ n }$ aus der \definitionsverweis {Sinusreihe}{}{} und der \definitionsverweis {Kosinusreihe}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne
\mathdisp {{ \left( 1 - { \frac{ 1 }{ 2 } } X^2+{ \frac{ 1 }{ 24 } } X^4 \right) }^2 + { \left( X - { \frac{ 1 }{ 6 } } X^3 + { \frac{ 1 }{ 120 } } X^5 \right) }^2} { . }
Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq }{ \sin x
}
{ \leq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-1
}
{ \leq }{ \cos x
}
{ \leq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Grenzwert der Folge
\mathdisp {\frac{ \sin n }{n} , \, n \in \N_+} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Reihe}{}{}
\mathdisp {\sum_{n=1}^\infty { \frac{ \sin n }{ n^2 } }} { }
\definitionsverweis {konvergiert}{}{.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Zeige, dass der \definitionsverweis {Kosinus hyperbolicus}{}{} auf $\R_{\leq 0}$ \definitionsverweis {streng fallend}{}{} und auf $\R_{\geq 0}$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden $G$ und des Kreises $K$, wobei $G$ durch die Gleichung
\mathl{3y-4x+2=0}{} und $K$ durch den Mittelpunkt $(2,5)$ und den Radius $7$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi_Berechnung_Heron1.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Pi_Berechnung_Heron1.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Pi_Berechnung_Heron2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Pi_Berechnung_Heron2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Wir betrachten den Einheitskreis, also
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left\{ \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} \mid x^2+y^2 = 1 \right\} }
}
{ \subseteq} { \R^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_0
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 1 \\0 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P_1
}
{ = }{ \begin{pmatrix} 0 \\1 \end{pmatrix}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und definieren rekursiv die Folge $P_n$
\zusatzklammer {in der Ebene} {} {}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ Q_{n}
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( P_0 + P_{n-1} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {d.h.
\mathl{Q_{n}}{} ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen
\mathkor {} {P_{0}} {und} {P_{n-1}} {}} {} {}
und $P_{n}$ ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch $\begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}$ und $Q_{n}$ mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d_{n}
}
{ = }{ d(P_0, P_{n})
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen
\mathkor {} {P_0} {und} {P_n} {}
und somit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} { 2^n d_n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens
\zusatzklammer {also von $\pi$} {} {.}
Da in der Berechnung der Punkte $P_n$ und der Längen $d_n$ Quadratwurzeln
\zusatzklammer {Satz des Pythagoras} {} {}
auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.
Man entwerfe ein Computer-Programm
\zusatzklammer {Pseudocode} {} {,}
das eine Folge $y_n$ von Approximationen
\zusatzklammer {
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {}
für $x_n$ berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von $y_n$ sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von $x_n$ irgendwo eingehen, mit $n$ Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert $1$ berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von $y_n$ erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für
\mathl{P_2 , \ldots , P_n}{} bestimmt.
\auflistungsechs{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.
}{Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit \zusatzklammer {diese müssen also nicht erzeugt werden} {} {.}
}{Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann die rationalen Rechenoperationen \zusatzklammer {Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl $\neq 0$} {} {} ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.
}{Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
}{Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.
}
Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen
\mathl{y_1,y_2,y_3, ...}{} ausgeben.
}
{} {\zusatzklammer {Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_1
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{y_2
}
{ = }{ { \frac{ 58540996 }{ 19126309 } }
}
{ = }{ 3,060757619...
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es wird nicht behauptet, dass die Folge $y_n$ wirklich gegen $\pi$ konvergiert} {} {.}}
\inputaufgabe
{6}
{
Beweise das Additionstheorem
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sin (x+y)
}
{ =} { \sin x \cdot \cos y + \cos x \cdot \sin y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 5 \sin^{ 3 } n -6n^4 +13 n^2+ { \left( \sin n \right) } { \left( \cos \left( n^2 \right) \right) } }{ 7 n^4 -5n^3 +n^ 2 \sin^{ 2 } \left( n^3 \right) - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es seien $n$ komplexe Zahlen
\mathl{z_1,z_2 , \ldots , z_n}{} in der Kreisscheibe $B$ mit Mittelpunkt $(0,0)$ und Radius $1$, also in
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ B
}
{ = }{ { \left\{ z \in {\mathbb C} \mid \betrag { z } \leq 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
gegeben. Zeige, dass es einen Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ B
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit der Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{i = 1}^n \betrag { z_i-w }
}
{ \geq} { n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}