Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 13



Übungsaufgaben

Aufgabe

Zeige die folgenden Eigenschaften von Sinus hyperbolicus und Kosinus hyperbolicus


Aufgabe

Zeige, dass in der Potenzreihe des Kosinus hyperbolicus die Koeffizienten für ungerades gleich sind.


Aufgabe *

Zeige, dass der Sinus hyperbolicus auf streng wachsend ist.


Aufgabe

Beweise die Additionstheoreme für die Hyperbelfunktionen, also

a)

b)


Aufgabe

Zeige, dass der Tangens hyperbolicus die Abschätzungen

erfüllt.


Aufgabe

Es sei ein Polynom. Zeige, dass genau dann eine ungerade Funktion definiert, wenn für alle geraden Indizes ist.


Aufgabe

Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine gerade Funktion ist?


Aufgabe

Es sei eine Funktion. Woran erkennt man am Graphen von , ob eine ungerade Funktion ist?


Aufgabe

Zeige, dass die Summe von zwei geraden Funktionen wieder gerade und die Summe von zwei ungeraden Funktionen wieder ungerade ist. Kann man etwas über die Summe von einer geraden Funktion mit einer ungeraden Funktion aussagen?


Aufgabe

Zeige, dass das Produkt von zwei geraden Funktionen wieder gerade, das Produkt von zwei ungeraden Funktionen gerade und das Produkt von einer geraden und einer ungeraden Funktion ungerade ist.


Aufgabe

Zeige, dass es genau eine Funktion gibt, die sowohl gerade als auch ungerade ist.


Aufgabe

Zeige, dass man jede stetige Funktion

als mit einer stetigen geraden Funktion und einer stetigen ungeraden Funktion schreiben kann.


Aufgabe

Welche Punkte kennen Sie auf dem rationalen Einheitskreis


Aufgabe

Beschreibe die obere Hälfte des Einheitskreises und die untere Hälfte des Einheitskreises als den Graphen einer Funktion.


Aufgabe

Wir betrachten den rationalen Einheitskreis

und die Gerade

  1. Bestimme die Schnittpunkte .
  2. Wie sieht es aus, wenn man statt die reellen Zahlen nimmt?
  3. Kann man einen Kreis erst dann verstehen, wenn man die reellen Zahlen verstanden hat?
  4. Welche Beziehung besteht zum Zwischenwertsatz?


Aufgabe

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe *

Bestimme die Schnittpunkte des Einheitskreises mit der Geraden, die durch die beiden Punkte und verläuft.


Aufgabe *

Berechne die Schnittpunkte der beiden Kreise und , wobei den Mittelpunkt und den Radius und den Mittelpunkt und den Radius besitzt.


Aufgabe

Es seien , , und sei

der Kreis mit dem Mittelpunkt und dem Radius . Es sei eine Gerade in mit der Eigenschaft, dass es auf mindestens einen Punkt gibt mit . Zeige, dass ist.


Aufgabe *

Wir betrachten einen Kreis (mit Radius ) und darin eingeschriebene regelmäßige -Ecke.

  1. Circumscribed2.png

    In den Kreis sei ein Quadrat eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

  2. Hagalaz.jpg

    In den Kreis sei ein regelmäßiges -Eck eingeschrieben. Bestimme dessen Flächeninhalt und dessen Umfang.

  3. Der Flächeninhalt eines eingeschriebenen regelmäßigen -Ecks ist eine Approximation für den Flächeninhalt des Kreises und der Umfang eines solchen -Ecks ist eine Approximation für den Umfang des Kreises. Welche Approximationen sind besser?


Aufgabe *

Beweise elementargeometrisch den Sinussatz, also die Aussage, dass in einem Dreieck die Gleichheiten

gelten, wobei die Seitenlängen gegenüber den Ecken mit den Winkeln sind.


Aufgabe

Wir betrachten eine Uhr mit Minuten- und Sekundenzeiger, die sich beide kontinuierlich bewegen. Bestimme eine Formel, die aus der Winkelstellung des Minutenzeigers die Winkelstellung des Sekundenzeigers (jeweils ausgehend von der 12-Uhr-Stellung im Uhrzeigersinn gemessen) berechnet.


Aufgabe *

Eisenbeis Sprungrampe.png

Frau Dr. Eisenbeis möchte für ihre Neffen Richy und Franky eine Fahrrad-Sprungrampe basteln. Die Steigung soll entlang eines Kreissegmentes der Länge (alle Angaben in Meter) verlaufen und eine Sprunghöhe von erreichen (siehe Bild). Welche (implizite) Bedingung muss der Winkel erfüllen (die Bedingung muss so sein, dass sie mit einer Intervallhalbierung gelöst werden könnte, diese muss aber nicht durchgeführt werden)?


Aufgabe

Bestimme die Koeffizienten bis zu in der Produktreihe aus der Sinusreihe und der Kosinusreihe.


Aufgabe

Berechne

Was fällt dabei auf und wie kann man es erklären?


Aufgabe

Zeige und für alle .


Aufgabe *

Bestimme den Grenzwert der Folge


Aufgabe *

Zeige, dass die Reihe

konvergiert.




Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Kosinus hyperbolicus auf streng fallend und auf streng wachsend ist.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme die Koordinaten der beiden Schnittpunkte der Geraden und des Kreises , wobei durch die Gleichung und durch den Mittelpunkt und den Radius gegeben ist.


Aufgabe (6 Punkte)

Pi Berechnung Heron1.png
Pi Berechnung Heron2.png

Wir betrachten den Einheitskreis, also

Wir setzen und und definieren rekursiv die Folge (in der Ebene) durch

(d.h. ist der Halbierungspunkt der Strecke zwischen und ) und ist der Durchstoßungspunkt der Halbgeraden durch und mit dem Kreisbogen. Wir betrachten die Längen als eine Approximation der Länge des Kreisbogens zwischen und und somit

als eine Approximation der Länge des halben Kreisbogens (also von ). Da in der Berechnung der Punkte und der Längen Quadratwurzeln (Satz des Pythagoras) auftreten, können diese nur mit einem bestimmten Fehler durch rationale Zahlen approximiert werden.

Man entwerfe ein Computer-Programm (Pseudocode), das eine Folge von Approximationen () für berechnet und ausdruckt. Bei der Berechnung von sollen alle Quadratwurzeln, die in die Berechnung von irgendwo eingehen, mit Schritten mit dem Heronverfahren zum Startwert berechnet werden. Das Programm soll also zunehmend bessere Approximationen für die vorhergehenden Hilfspunkte verwenden, die Berechnung von erfordert, dass man stets neue, bessere Approximationen für bestimmt.

    • Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die rationale Zahlen enthalten können.
    • Die natürlichen Zahlen liegen in einer Datenbank bereit (diese müssen also nicht erzeugt werden).
    • Er kann einen Speicherinhalt in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann die rationalen Rechenoperationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division durch eine Zahl ) ausführen und das Ergebnis in einen weiteren Speicher schreiben.
    • Er kann Speicherinhalte der Größe nach vergleichen und davon abhängig zu Programmzeilen springen.
    • Er kann Speicherinhalte und vorgegebene Texte ausdrucken.

    Das Programm soll unendlich laufen und die Approximationen ausgeben.

    (Es ist und . Es wird nicht behauptet, dass die Folge wirklich gegen konvergiert).

    Aufgabe (5 Punkte)

    Beweise das Additionstheorem

    für den Sinus unter Bezug auf die definierenden Potenzreihen.


    Aufgabe (3 Punkte)

    Entscheide, ob die Folge

    in konvergiert und bestimme gegebenenfalls den Grenzwert.


    Aufgabe (5 Punkte)

    Es seien komplexe Zahlen in der Kreisscheibe mit Mittelpunkt und Radius , also in , gegeben. Zeige, dass es einen Punkt mit der Eigenschaft

    gibt.



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