Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 15/latex

\setcounter{section}{15}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {x \betrag { x } } {,} \definitionsverweis {differenzierbar}{}{} ist, aber nicht zweimal \definitionsverweis {differenzierbar}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \in }{ \R[X] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass $P$ genau dann ein Vielfaches von $(X-a)^n$ ist, wenn $a$ eine \definitionsverweis {Nullstelle}{}{} sämtlicher \definitionsverweis {Ableitungen}{}{} $P,P^\prime ,P^{\prime \prime} , \ldots , P^{(n-1)}$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} die durch
\mathdisp {f(x) = \begin{cases} x- \lfloor x \rfloor , \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ gerade}, \\ \lfloor x \rfloor -x + 1, \text{ falls } \lfloor x \rfloor \text{ ungerade}, \end{cases}} { }
definiert ist. Untersuche $f$ in Hinblick auf \definitionsverweis {Stetigkeit}{}{,} \definitionsverweis {Differenzierbarkeit}{}{} und \definitionsverweis {Extrema}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer vierten Potenz, vermindert um das Doppelte ihrer dritten Potenz, gleich dem Negativen der Quadratwurzel von $42$ ist?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-2,5]} {\R } {x} { f ( x ) = 2x^3-5x^2+4x-1 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {lokalen}{}{} und die \definitionsverweis {globalen Extrema}{}{} der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[-4,4]} {\R } {x} { f ( x ) = 3x^3-7x^2+6x-3 } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} {f(x) = 4x^3+3x^2-x+2 } {.} Finde die Punkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ [-3,3] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart, dass die Steigung der Funktion in $a$ gleich der Durchschnittssteigung zwischen \mathkor {} {-3} {und} {3} {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Die Stadt
\mathl{S=(0,0)}{} soll mit den beiden Städten
\mathl{T=(a,b)}{} und
\mathl{U=(a,-b)}{} mit
\mathl{a \geq 0, b>0}{} durch Schienen verbunden werden. Dabei sollen die Schienen zunächst entlang der $x$-Achse verlaufen und sich dann in die beiden Richtungen verzweigen. Bestimme den Verzweigungspunkt, wenn möglichst wenig Schienen verlegt werden sollen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

An einen geradlinigen Fluss soll ein rechteckiges Areal der Fläche $1000 m^2$ angelegt werden, dessen eine Seite der Fluss ist. Für die drei anderen Seiten braucht man einen Zaun. Mit welcher Zaunlänge kann man minimal auskommen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F(x) }
{ =} {x^4-x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} \aufzaehlungdrei{Bestimme die Nullstellen der Funktion. }{Bestimme, in welchen Abschnitten die Funktion positiv bzw. negativ ist. }{Bestimme die Extrema der Funktion. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt und es gelte
\mathdisp {f(a) = g(a) \text{ und } f'(x) = g'(x) \text { für alle } x} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) = g(x) \text { für alle } x \text{ gilt}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es seien \maabbdisp {f,g} {\R} {\R } {} zwei \definitionsverweis {differenzierbare Funktionen}{}{.} Es sei $a \in \R$. Es gelte
\mathdisp {f(a) \geq g(a) \text{ und } f'(x) \geq g'(x) \text { für alle } x \geq a} { . }
Zeige, dass
\mathdisp {f(x) \geq g(x) \text { für alle } x \geq a \text{ gilt}} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {stetig differenzierbare Funktion}{}{,} die mit der Diagonalen zwei Schnittpunkte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ \neq }{ Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} besitze. Zeige, dass der Graph der Ableitung $f'$ einen Schnittpunkt mit der durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ y }
{ = }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} definierten Geraden besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {reelle Polynomfunktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} vom \definitionsverweis {Grad}{}{} $d \geq 1$ maximal
\mathl{d-1}{} \definitionsverweis {lokale Extrema}{}{} besitzt, und die reellen Zahlen sich in maximal $d$ Intervalle unterteilen lassen, auf denen abwechselnd $f$ \definitionsverweis {streng wachsend}{}{} oder \definitionsverweis {streng fallend}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $I$ ein \definitionsverweis {reelles Intervall}{}{,} \maabbdisp {f} {I} {\R } {} eine zweimal \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} \definitionsverweis {Funktion}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein innerer Punkt des Intervalls. Es gelte
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f'(a) }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f^{\prime \prime }(a) }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so besitzt $f$ in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Minimum}{}{.} } {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f^{ \prime \prime}(a) }
{ < }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, so besitzt $f$ in $a$ ein \definitionsverweis {isoliertes lokales Maximum}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und \maabbdisp {F} {D} {\R } {} eine \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{.} Zeige, dass $F$ genau dann ein Polynom ist, wenn es eine \definitionsverweis {höhere Ableitung}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F^{(n)} }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei \maabb {f} { \R} { \R } {} eine $n$-fach \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion mit der Eigenschaft, dass die $n$-te Ableitung überall positiv ist. Zeige, dass $f$ maximal $n$ Nullstellen besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 2x-3 }{ 5x^2-3x+4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^3+x-1 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

a) Zeige, dass die Funktion $f$ im reellen Intervall $[0,1]$ genau eine Nullstelle besitzt.

b) Berechne die erste Nachkommastelle im Zehnersystem dieser Nullstelle.

c) Man gebe eine rationale Zahl
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q }
{ \in }{[0,1] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart an, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { f(q) } }
{ \leq }{ { \frac{ 1 }{ 10 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} { \R } {x} { e^{ - { \frac{ 1 }{ x } } } \cdot \ln x } {} nach unten beschränkt ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {I} {\R } {} eine auf einem offenen Intervall definierte \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Funktion und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein Punkt mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f'(a) }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass es offene Intervalle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J }
{ \subseteq }{I }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{J }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{J' }
{ \subseteq }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} derart gibt, dass die eingeschränkte Funktion \maabb {f} {J} {J' } {} \definitionsverweis {bijektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme den Grenzwert von
\mathdisp {\frac{x^2-3x+2}{x^3-2x+1}} { }
im Punkt $1$, und zwar

a) mittels Polynomdivision,

b) mittels der Regel von l'Hospital.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 2 } \, \frac{ 3x^2-5x-2}{x^3-4x^2+x+6}} { }
mittels \definitionsverweis {Polynomdivision}{}{} \zusatzklammer {vergleiche Beispiel 15.13} {} {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^3-2x^2+x+4}{ x^2+x }} { }
im Punkt $-1$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{}
\mathdisp {\operatorname{lim}_{ x \rightarrow 1 } \, { \frac{ \sqrt{1-x} }{ \sqrt[3] {1-x^2} } }} { . }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{5}
{

Aus einem Blatt Papier der Seitenlängen $20$ cm und
\mathl{30}{} cm soll eine Schachtel \zusatzklammer {ohne Deckel} {} {} mit möglichst großem Volumen gebastelt werden, indem ringsherum ein Rand hochgefaltet wird \zusatzklammer {die überlappenden Eckränder werden verklebt} {} {.} Mit welcher Randbreite \zusatzklammer {=Schachtelhöhe} {} {} erreicht man das maximale Volumen?

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {D} {\R } {x} {f(x) = \frac{ 3x^2-2x+1 }{ x-4 } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Definitionsbereich}{}{,} \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Zeige, dass eine nichtkonstante \definitionsverweis {rationale Funktion}{}{} der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { { \frac{ ax+b }{ cx+d } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{}

\zusatzklammer {mit
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a,b,c,d }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{,}
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {,} keine \definitionsverweis {lokalen Extrema}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine \definitionsverweis {Polynomfunktion}{}{} vom Grad $d \geq 1$. Es sei $m$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Maxima}{}{} von $f$ und $n$ die Anzahl der \definitionsverweis {lokalen Minima}{}{} von $f$. Zeige, dass bei $d$ ungerade $m= n$ und bei $d$ gerade $\betrag { m-n }=1$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Bestimme den \definitionsverweis {Grenzwert}{}{} der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mathdisp {\frac{ x^4+2x^3-3x^2-4x+4}{ 2x^3-x^2-4x+3 }} { }
im Punkt $1$.

}
{} {}