Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex

\setcounter{section}{17}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme sämtliche \definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{} der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} {x^4-2x^3+2x^2-3x+5 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z) }
{ =} { z^3 +3z^2-7z-4 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} in der neuen Variablen
\mathl{z-2}{} \zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {} auf zwei verschiedene Arten, nämlich

a) direkt durch Einsetzen,

b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $2$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{{ \frac{ x }{ x^2+1 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} der Ordnung $4$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $3$ der \definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ 3x^2- 2x+5 }{ x-2 } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt $0$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin x \cos x } {,} im Nullpunkt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin x } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Reellen.

a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.

b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen \mathkor {} {-2 \pi} {und} {2 \pi} {.}

c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.

d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der Ordnung $3$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ =} { x \cdot \sin x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Vergleiche die \definitionsverweis {polynomiale Interpolation}{}{} zu $n+1$ gegebenen Punkten und die \definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{} vom Grad $n$ zu einem Punkt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei \maabb {f} { \R} { \R } {} eine im Punkt $a$ $n$-fach \definitionsverweis {differenzierbare}{}{} Funktion. Zeige, dass das $n$-te \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} zu $f$ im Punkt $a$, geschrieben in der verschobenen Variablen $x-a$, gleich dem $n$-ten Taylor-Polynom der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x) }
{ = }{ f(x+a) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} im Nullpunkt \zusatzklammer {geschrieben in der Variablen $x$} {} {} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {} das $n$-te \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} von $f$ im Entwicklungspunkt $b$ nicht aus dem $n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt $a$ bestimmen kann.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabb {f,g} {\R} {\R } {} Polynome $n$-ten Grades und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_k }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_1 , \ldots , n_k }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} natürliche Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^k n_j }
{ >} {n }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Die Ableitungen von \mathkor {} {f} {und} {g} {} in den Punkten $a_j$ sollen bis einschließlich zur ${ \left( n_j-1 \right) }$-ten Ableitung übereinstimmen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f }
{ = }{ g }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {Man mache sich zuerst die Aussage bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{k }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n_1 }
{ = }{n+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{k }
{ = }{n+1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n_j }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle $j$ klar.}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \defeq }{ { \frac{ x^2-x+5 }{ x^2+3 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x) }
{ = }{ \sin x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme Polynome $P,Q,R$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.

(a) $P$ stimmt mit $f$ an den Stellen
\mathl{- \pi, 0, \pi}{} überein.

(b) $Q$ stimmt mit $f$ in $0$ und in $\pi$ bis zur ersten Ableitung überein.

(c) $R$ stimmt mit $f$ in $\pi/2$ bis zur dritten Ableitung überein.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme die \definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{} der \definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{} für einen beliebigen Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \in }{ \R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p }
{ \in }{ \R[Y] }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ein \definitionsverweis {Polynom}{}{} und \maabbeledisp {g} { \R_+} {\R } {x} { g(x) = p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} } } {.} Zeige, dass die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} $g'(x)$ ebenfalls von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x) }
{ =} {q { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} mit einem weiteren Polynom $q$ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = e^{- \frac{1}{x} } } {.} Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die $n$-te \definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f^{(n)}}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \in \R_+ , \, x \rightarrow 0 } \, f^{(n)}(x) }
{ =} { 0 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} der dritten Ordnung zur Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x^2+1 } }}{} im Nullpunkt mit dem in Bemerkung 17.9 beschriebenen Potenzreihenansatz.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x) }
{ =} { -3x + x^3 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x) }
{ =} {-3+3x^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} ist diese Funktion auf dem offen Intervall
\mathl{]-1,1[}{} streng fallend und damit injektiv \zusatzklammer {mit dem Bildintervall
\mathl{]-2,2 [}{}} {} {.} Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0) }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y) }
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty b_k y^k }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g(f(x)) }
{ =} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des \definitionsverweis {Sinus}{}{} im Punkt $0$ mit dem in Bemerkung 11.17 beschriebenen Potenzreihenansatz.

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt $0$ bis zum Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { \sin \left( \cos x \right) + x^3 \exp \left( x^2 \right) } {.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x) }
{ \defeq }{ { \frac{ x^2+2x+1 }{ x^2+5 } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{-1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,2 \pi]} {\R } {x} {f(x) = { \left( \sin x \right) } { \left( \cos x \right) } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[- { \frac{ \pi }{ 2 } } ,{ \frac{ \pi }{ 2 } }]} {\R } {x} {f(x) = \sin^{ 3 } x - { \frac{ 1 }{ 4 } } \sin x } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} im Entwicklungspunkt $1$ mit dem in Bemerkung 11.17 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.

}
{} {}




\inputaufgabe
{6}
{

Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \geq }{ 3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} sei
\mathl{A_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n }
{ \leq }{ A_{n+1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}