Taylorreihe/R/Invertierte Funktion/Bestimmung/Bemerkung

Es sei

$f\colon I\longrightarrow \mathbb {R}$

eine ${}n$-fach differenzierbare Funktion, für die das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt ${}a\in I$ bis zum Grad ${}n$ bekannt sei und für die ${}f(a)\neq 0$ sei. Dann ist die Funktion ${}1/f$ auf einem offenen Intervall um ${}a$ definiert und nach Fakt  (4) differenzierbar in ${}a$. Aufgrund von Fakt gilt (für ${}\vert {x}\vert <1$)

${}{\frac {1}{1-x}}=\sum _{i=0}^{\infty }x^{i}\,$

bzw.

${}{\frac {1}{x}}=\sum _{i=0}^{\infty }(1-x)^{i}=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}(x-1)^{i}\,$

d.h. für die Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ ist die Taylor-Reihe im Entwicklungspunkt ${}1$ bekannt. Wir ersetzen ${}f$ durch ${}h={\frac {1}{f(a)}}f$, sodass ${}h(a)=1$ gilt. Dann kann man die Funktion ${}1/h$ als die Verknüpfung von ${}h$ mit der Funktion ${}{\frac {1}{x}}$ schreiben. Daher erhält man wegen Bemerkung das Taylor-Polynom bis zum Grad ${}n$ von ${}1/h$, indem man in ${}\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}(x-1)^{i}$ das Taylor-Polynom (bis zum Grad ${}n$) von ${}h$ im Entwicklungspunkt ${}a$ einsetzt und beim Grad ${}n$ abschneidet. Das Taylor-Polynom von ${}1/f$ erhält man, indem man durch ${}f(a)$ teilt.