Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2020-2021)/Teil I/Arbeitsblatt 5/latex

\setcounter{section}{5}






\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Bestimme, welche der beiden rationalen Zahlen \mathkor {} {p} {und} {q} {} größer ist.
\mathdisp {p= { \frac{ 573 }{ -1234 } } \text{ und } q = { \frac{ -2007 }{ 4322 } }} { . }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es stehen zwei Gläser auf einem Tisch, wobei das eine mit Rotwein und das andere mit Weißwein gefüllt ist, und zwar gleichermaßen. Nun wird ein kleineres leeres Glas \zusatzklammer {ein Fingerhut oder ein Schnapsglas} {} {} in das Rotweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Weißweinglas überführt und dort gleichmäßig vermischt \zusatzklammer {insbesondere gibt es Platz für diese Hinzugabe} {} {.} Danach wird das kleinere Glas in das Weißweinglas voll eingetaucht und der Inhalt in das Rotweinglas überführt. Befindet sich zum Schluss im Rotweinglas mehr Rotwein als im Weißweinglas Weißwein?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Eine Bahncard $25$, mit der man ein Jahr lang $25$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $62$ Euro und eine Bahncard $50$, mit der man ein Jahr lang $50$ Prozent des Normalpreises einspart, kostet $255$ Euro. Für welchen Jahresgesamtnormalpreis ist keine Bahncard, die Bahncard $25$ oder die Bahncard $50$ die günstigste Option?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zwei Fahrradfahrer, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} fahren auf ihren Fahrrädern eine Straße entlang. Fahrer $A$ macht pro Minute $40$ Pedalumdrehungen, hat eine Übersetzung von Pedal zu Hinterrad von $1$ zu $6$ und Reifen mit einem Radius von $39$ Zentimetern. Fahrer $B$ braucht für eine Pedaldrehung $2$ Sekunden, hat eine Übersetzung von $1$ zu $7$ und Reifen mit einem Radius von $45$ Zentimetern.

Wer fährt schneller?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} die folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungzweireihe {\itemfuenf {
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{1 }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-a }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a-b }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{-a }
{ \leq }{-b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \geq }{d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a +c }
{ \geq }{b+d }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } } {\itemfuenf {Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \geq }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \leq }{bc }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c }
{ \geq }{d }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ac }
{ \geq }{bd }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \leq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ab }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Auf dem kürzlich entdeckten Planeten Trigeno lebt eine rechenbegabte Spezies. Sie verwenden wie wir die rationalen Zahlen mit \anfuehrung{unserer}{} Addition und Multiplikation. Sie verwenden ferner eine Art \anfuehrung{Ordnung}{} auf den rationalen Zahlen, die sie mit $\succeq$ bezeichnen. Diese trigenometrische Ordnung stimmt mit unserer Ordnung überein, wenn beide Zahlen $\neq 0$ sind. Dagegen gilt bei ihnen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{0 }
{ \succeq} {x }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} für jede rationale Zahl $x$. Die renommierte Ethnomathematikerin Dr. Eisenbeis vermutet, dass dies damit in Zusammenhang steht, dass sie die $0$ als heilig verehren.

Zeige, dass $\succeq$ die folgenden Eigenschaften erfüllt. \aufzaehlungvier{Für je zwei Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b }
{ \in }{\Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt entweder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \succ }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ = }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \succ }{a }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \succeq }{b }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ \succeq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \succeq }{c }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {für beliebige
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ a , b , c }
{ \in }{ \Q }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{}} {} {.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a + b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a b }
{ \succeq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } Welche Eigenschaft eines angeordneten Körpers erfüllt
\mathl{(\Q, \succeq)}{} nicht?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} die folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^2 }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{b }
{ \geq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^n }
{ \geq }{b^n }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a^n }
{ \geq }{a^m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für ganze Zahlen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \geq }{m }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ positiv ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ \geq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für das inverse Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1} }
{ \leq }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ y }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass für die \definitionsverweis {inversen Elemente}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^{-1} }
{ < }{ y^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und seien $x, y$ positive Elemente. Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ { \frac{ x }{ y } } }
{ \geq }{1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} äquivalent ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mathbed {b \in K} {}
{b> 1} {}
{} {} {} {.} Zeige, dass es dann Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{c,d }
{ > }{ 1 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b }
{ = }{cd }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{.} Zeige, dass für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \geq }{3 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^2 +(x+1)^2 }
{ \geq} { (x+2)^2 }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ < }{ y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} reelle Zahlen. Zeige, dass für das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} ${ \frac{ x+y }{ 2 } }$ die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} { { \frac{ x+y }{ 2 } } }
{ <} {y }
{ } {}
{ } {}
} {}{}{} gilt.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Man entwerfe ein Computer-Programm \zusatzklammer {Pseudocode} {} {,} das das \definitionsverweis {arithmetische Mittel}{}{} aus zwei vorgegebenen nichtnegativen rationalen Zahlen berechnet. \auflistungfuenf{Der Computer besitzt beliebig viele Speicher, die natürliche Zahlen enthalten können. }{Er kann die Summe von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann das Produkt von zwei Speicherinhalten ausrechnen und in einen weiteren Speicher schreiben. }{Er kann Speicherinhalte ausdrucken und vorgegebene Texte ausdrucken. }{Es gibt einen Haltebefehl. } Die Anfangskonfiguration sei
\mathdisp {(a,b,c,d,0,0,0, \ldots )} { }
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{b,d }
{ \neq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Dabei sind \mathkor {} {a/b} {und} {c/d} {} die rationalen Zahlen, von denen das arithmetische Mittel berechnet werden soll. Das Ergebnis soll ausgedruckt werden \zusatzklammer {in der Form Zähler Nenner} {} {} und anschließend soll das Programm anhalten.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Man untersuche die \definitionsverweis {Verknüpfung}{}{} \maabbeledisp {} {\R_{\geq 0} \times \R_{\geq 0} } {\R_{\geq 0} } {(x,y)} { \operatorname{max} \, (x,y) } {,} auf Assoziativität, Kommutativität, die Existenz von einem neutralen Element und die Existenz von inversen Elementen.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Ein Bakterium möchte entlang des Äquators die Erde umrunden. Es ist ziemlich klein und schafft am Tag genau $2$ Millimeter. Wie viele Tage braucht es für eine Erdumrundung?

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wie viele Billionstel braucht man, um ein Milliardstel zu erreichen?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Im Wald lebt ein Riese, der $8$ Meter und $37$ cm groß ist, sowie eine Kolonie von Zwergen, die eine Schulterhöhe von $3$ cm haben und mit dem Kopf insgesamt $4$ cm groß sind. Hals und Kopf des Riesen sind $1,23$ Meter hoch. Auf der Schulter des Riesen steht ein Zwerg. Wie viele Zwerge müssen aufeinander \zusatzklammer {auf den Schultern} {} {} stehen, damit der oberste Zwerg mit dem Zwerg auf dem Riesen zumindest gleichauf ist?

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass in $\R$ die folgenden Eigenschaften gelten. \aufzaehlungzwei {Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ > }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} gibt es eine natürliche Zahl $n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \frac{1}{n} }
{ \leq }{ x }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} } {Zu zwei reellen Zahlen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x }
{ <} { y }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{} gibt es eine rationale Zahl
\mathl{n/k}{} \zusatzklammer {mit $n \in \Z,\, k \in \N_+$} {} {} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x }
{ <} { { \frac{ n }{ k } } }
{ <} {y }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Berechne die \definitionsverweis {Gaußklammer}{}{}
\mathdisp {\left \lfloor { \frac{ 513 }{ 21 } } \right \rfloor} { . }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Beweise die folgenden Eigenschaften für die \definitionsverweis {Betragsfunktion}{}{} \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} {\betrag { x } } {,}\zusatzklammer {dabei seien $x,y$ beliebige reelle Zahlen} {} {.}\aufzaehlungacht{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ \geq }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x } }
{ = }{\betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} oder
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ = }{-y }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { y-x } }
{ = }{ \betrag { x-y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { xy } }
{ = }{ \betrag { x } \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x^{-1} } }
{ = }{ \betrag { x }^{-1} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \leq }{ \betrag { x } + \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} \zusatzklammer {\stichwort {Dreiecksungleichung für den Betrag} {}} {} {.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { x+y } }
{ \geq }{ \betrag { x } - \betrag { y } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien $x_1 , \ldots , x_n$ reelle Zahlen. Zeige durch \definitionsverweis {Induktion}{}{} die Abschätzung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \sum_{i=1}^n x_i } }
{ \leq} { \sum_{i = 1}^n \betrag { x_i } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.}

}
{} {}

Die Idee zu den folgenden Aufgaben stammt von http://jwilson.coe.uga.edu/emt725/Challenge/Challenge.html, siehe auch http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .


\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Es bezeichne
\mathl{\Psi^n}{} die $n$-fache \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{} von $\Psi$. \aufzaehlungdrei{Berechne
\mathdisp {\Psi (6,5,2,8), \, \Psi^2 (6,5,2,8), \, \Psi^3 (6,5,2,8), \, \Psi^4 (6,5,2,8)\, ...} { , }
bis das Ergebnis das Nulltupel
\mathl{(0,0,0,0)}{} ist. }{Berechne
\mathdisp {\Psi (1,10,100,1000), \, \Psi^2 (1,10,100,1000), \, \Psi^3 (1,10,100,1000), \, \Psi^4 (1,10,100,1000) \, ...} { , }
bis das Ergebnis das Nulltupel
\mathl{(0,0,0,0)}{} ist. }{Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Psi^4 (0,0,n,0) }
{ = }{ (0,0,0,0) }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \in }{ \N }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Bestimme, ob $\Psi$ \definitionsverweis {injektiv}{}{} und ob $\Psi$ \definitionsverweis {surjektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich bei jedem Starttupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\N^4} { \N^4 } {,} die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen
\mathl{\Psi^n (a,b,c,d)}{} für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ \leq }{ 25 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .

}
{} {}

Wir werden später auch die Frage behandeln, wie es mit reellen Vierertupeln aussieht, siehe insbesondere Aufgabe 28.10.




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n }
{ \in }{ \N_+ }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige die folgenden Aussagen. \aufzaehlungdrei{Die Abbildung \maabbeledisp {} {K_{\geq 0}} {K } {x} {x^n } {,} ist \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }{Die Abbildung \maabbeledisp {} {K_{\leq 0}} {K } {x} {x^n } {,} ist bei $n$ ungerade \definitionsverweis {streng wachsend}{}{.} }{Die Abbildung \maabbeledisp {} {K_{\leq 0}} {K } {x} {x^n } {,} ist bei $n$ gerade \definitionsverweis {streng fallend}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Es seien \maabbdisp {f_1 , \ldots , f_n} {\R} {\R } {} Funktionen, die wachsend oder fallend seien, und sei
\mathl{f=f_n \circ \cdots \circ f_1}{} ihre \definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{.} Es sei $k$ die Anzahl der fallenden Funktionen unter den $f_i$. Zeige, dass bei $k$ gerade $f$ \definitionsverweis {wachsend}{}{} und bei $k$ ungerade $f$ \definitionsverweis {fallend}{}{} ist.

}
{} {}

Bei den Rechenaufgaben zu den komplexen Zahlen muss das Ergebnis immer in der Form $a+b { \mathrm i}$ mit reellen Zahlen $a,b$ angegeben werden, wobei diese so einfach wie möglich sein sollen.


\inputaufgabe
{}
{

Berechne die folgenden Ausdrücke innerhalb der \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsechs{$(5+4 { \mathrm i})(3-2 { \mathrm i})$. }{$(2+3 { \mathrm i})(2-4 { \mathrm i} ) +3(1- { \mathrm i} )$. }{$(2 { \mathrm i}+3)^2$. }{${ \mathrm i}^{1011}$. }{$(-2+5 { \mathrm i})^{-1}$. }{$\frac{4-3 { \mathrm i}}{2+ { \mathrm i} }$. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{} einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bilden.

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P }
{ = }{ \R^2 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} mit der \definitionsverweis {komponentenweisen}{}{} Addition und der komponentenweisen Multiplikation kein \definitionsverweis {Körper}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Beweise die folgenden Aussagen zu \definitionsverweis {Real}{}{-} und \definitionsverweis {Imaginärteil}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungfuenf{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } { \mathrm i} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Re} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z+w \right) } }
{ = }{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } + \operatorname{Im} \, { \left( w \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mathdisp {\operatorname{Re} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } \text{ und } \operatorname{Im} \, { \left( rz \right) } =r \operatorname{Im} \, { \left( z \right) }} { . }
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist, und dies ist genau dann der Fall, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabegibtloesung
{}
{

Zeige, dass für eine \definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{} $z$ die folgenden Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } - { \mathrm i} \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z+ \overline{ z } }{2} }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } }
{ = }{ \frac{z - \overline{ z } }{2 { \mathrm i} } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Zeige die folgenden Regeln für den \definitionsverweis {Betrag}{}{} von \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{.} \aufzaehlungsieben{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ \sqrt{ z \ \overline{ z } } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für reelles $z$ stimmen reeller und komplexer Betrag überein. }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ = }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { z } }
{ =} { \betrag { \overline{ z } } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { zw } }
{ =} { \betrag { z } \betrag { w } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { 1/z } }
{ = }{ 1/ \betrag { z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } }, \betrag { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } }
{ \leq} { \betrag { z } }
{ } { }
{ } { }
{ } { }
} {}{}{.} }

}
{} {}






\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}




\inputaufgabe
{2}
{

Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x }
{ < }{ 0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass auch das inverse Element $x^{-1}$ negativ ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{2}
{

Zeige, dass eine \definitionsverweis {streng wachsende Funktion}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {} \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist.

}
{} {}




\inputaufgabe
{4}
{

Wir betrachten die Abbildung \maabbdisp {\Psi} {\Q_{\geq 0}^4} { \Q_{\geq 0}^4 } {,} die einem Vierertupel aus nichtnegativen rationalen Zahlen
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Zeige, dass sich nach endlich vielen Iterationen dieser Abbildung stets das Nulltupel ergibt.

}
{} {Tipp: Verwende Aufgabe 5.26.}




\inputaufgabe
{3}
{

Berechne die \definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}
\mathdisp {(1+ { \mathrm i})^n} { }
für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n }
{ = }{ 1,2,3,4,5 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.}

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Zeige, dass für die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} die folgenden Rechenregeln gelten. \aufzaehlungsechs{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z+w } }
{ = }{ \overline{ z } + \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ -z } }
{ = }{ - \overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z \cdot w } }
{ = }{ \overline{ z } \cdot \overline{ w } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \neq }{0 }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ 1/z } }
{ = }{ 1/\overline{ z } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ \overline{ z } } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} }{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \overline{ z } }
{ = }{ z }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{z }
{ \in }{\R }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{} ist. }

}
{} {}




\inputaufgabe
{5}
{

Berechne die Quadratwurzeln, die vierten Wurzeln und die achten Wurzeln von ${ \mathrm i}$.

}
{} {}




\inputaufgabe
{3}
{

Man finde alle drei komplexen Zahlen $z$, die die Bedingung
\mathdisp {z^3=1} { }
erfüllen.

}
{} {}