Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 17/latex
\setcounter{section}{17}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme sämtliche
\definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{}
der Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {x^4-2x^3+2x^2-3x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das Polynom
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(z)
}
{ =} { z^3 +3z^2-7z-4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in der neuen Variablen
\mathl{z-2}{}
\zusatzklammer {also das umentwickelte Polynom} {} {}
auf zwei verschiedene Arten, nämlich
a) direkt durch Einsetzen,
b) über das Taylor-Polynom im Entwicklungspunkt $2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{{ \frac{ x }{ x^2+1 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ = }{ { \frac{ 1 }{ x } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Ordnung $4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
vom Grad $3$ der
\definitionsverweis {rationalen Funktion}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 3x^2- 2x+5 }{ x-2 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt $0$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} vom Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {} {\R} {\R } {x} { \sin x \cos x } {,} im Nullpunkt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { { \frac{ 1 }{ \sin x } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Reellen.
a) Bestimme den Definitionsbereich von $f$.
b) Skizziere $f$ für $x$ zwischen \mathkor {} {-2 \pi} {und} {2 \pi} {.}
c) Bestimme die ersten drei Ableitungen von $f$.
d) Bestimme das Taylor-Polynom der Ordnung $3$ von $f$ im Punkt ${ \frac{ \pi }{ 2 } }$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $3$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ =} { x \cdot \sin x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{ { \frac{ \pi }{ 2 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabb {f} {\R} {\R } {} eine Funktion. Vergleiche die \definitionsverweis {polynomiale Interpolation}{}{} zu $n+1$ gegebenen Punkten und die \definitionsverweis {Taylor-Polynome}{}{} vom Grad $n$ zu einem Punkt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {f} { \R} { \R
} {}
eine im Punkt $a$ $n$-fach
\definitionsverweis {differenzierbare}{}{}
Funktion. Zeige, dass das $n$-te
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
zu $f$ im Punkt $a$, geschrieben in der verschobenen Variablen $x-a$, gleich dem $n$-ten Taylor-Polynom der Funktion
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g(x)
}
{ = }{ f(x+a)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
im Nullpunkt
\zusatzklammer {geschrieben in der Variablen $x$} {} {}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass man zu einer Funktion \maabb {f} { \R} { \R } {} das $n$-te \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} von $f$ im Entwicklungspunkt $b$ nicht aus dem $n$-ten Taylor-Polynom in einem Entwicklungspunkt $a$ bestimmen kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\maabb {f,g} {\R} {\R
} {}
Polynome $n$-ten Grades und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a_1 , \ldots , a_k
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n_1 , \ldots , n_k
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
natürliche Zahlen mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \sum_{j = 1}^k n_j
}
{ >} {n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Die Ableitungen von
\mathkor {} {f} {und} {g} {}
in den Punkten $a_j$ sollen bis einschließlich zur ${ \left( n_j-1 \right) }$-ten Ableitung übereinstimmen. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ = }{ g
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {Man mache sich zuerst die Aussage bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{k
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n_1
}
{ = }{n+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und bei
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{k
}
{ = }{n+1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{n_j
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle $j$ klar.}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq }{ { \frac{ x^2-x+5 }{ x^2+3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f(x)
}
{ = }{ \sin x
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme Polynome $P,Q,R$ vom Grad
\mathl{\leq 3}{,} die jeweils folgende Bedingungen erfüllen.
(a) $P$ stimmt mit $f$ an den Stellen
\mathl{- \pi, 0, \pi}{} überein.
(b) $Q$ stimmt mit $f$ in $0$ und in $\pi$ bis zur ersten Ableitung überein.
(c) $R$ stimmt mit $f$ in $\pi/2$ bis zur dritten Ableitung überein.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Taylor-Reihe}{}{}
der
\definitionsverweis {Exponentialfunktion}{}{}
für einen beliebigen Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ p
}
{ \in }{ \R[Y]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\maabbeledisp {g} { \R_+} {\R
} {x} { g(x) = p { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$g'(x)$ ebenfalls von der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ g'(x)
}
{ =} {q { \left( \frac{1}{x} \right) } e^{- \frac{1}{x} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem weiteren Polynom $q$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Funktion
\maabbeledisp {f} {\R_+} {\R
} {x} {f(x) = e^{- \frac{1}{x} }
} {.}
Zeige, dass für jedes
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die $n$-te
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
\mathl{f^{(n)}}{} die Eigenschaft
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{lim}_{ x \in \R_+ , \, x \rightarrow 0 } \, f^{(n)}(x)
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der dritten Ordnung zur Funktion
\mathl{{ \frac{ 1 }{ x^2+1 } }}{} im Nullpunkt mit dem in
Bemerkung 17.9
beschriebenen Potenzreihenansatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { -3x + x^3
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Wegen
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f'(x)
}
{ =} {-3+3x^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist diese Funktion auf dem offen Intervall
\mathl{]-1,1[}{} streng fallend und damit injektiv
\zusatzklammer {mit dem Bildintervall
\mathl{]-2,2 [}{}} {} {.}
Dabei ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(0)
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{g(y)
}
{ =} {\sum_{k = 0}^\infty b_k y^k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Umkehrfunktion, die wir als eine Potenzreihe ansetzen. Bestimme aus der Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(g(f(x))
}
{ =} {x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
die Koeffizienten
\mathl{b_0,b_1,b_2,b_3,b_4}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des \definitionsverweis {Sinus}{}{} im Punkt $0$ mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme die Taylor-Polynome im Entwicklungspunkt $0$ bis zum Grad $4$ der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {x} { \sin \left( \cos x \right) + x^3 \exp \left( x^2 \right) } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq }{ { \frac{ x^2+2x+1 }{ x^2+5 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{-1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[0,2 \pi]} {\R } {x} {f(x) = { \left( \sin x \right) } { \left( \cos x \right) } } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Diskutiere den Funktionsverlauf der \definitionsverweis {Funktion}{}{} \maabbeledisp {f} {[- { \frac{ \pi }{ 2 } } ,{ \frac{ \pi }{ 2 } }]} {\R } {x} {f(x) = \sin^{ 3 } x - { \frac{ 1 }{ 4 } } \sin x } {,} hinsichtlich \definitionsverweis {Nullstellen}{}{,} \definitionsverweis {Wachstumsverhalten}{}{,} \zusatzklammer {\definitionsverweis {lokale}{}{}} {} {} \definitionsverweis {Extrema}{}{.} Skizziere den \definitionsverweis {Funktionsgraphen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{} bis zur vierten Ordnung des \definitionsverweis {natürlichen Logarithmus}{}{} im Entwicklungspunkt $1$ mit dem in Bemerkung 17.11 beschriebenen Potenzreihenansatz aus der Potenzreihe der Exponentialfunktion.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ n
}
{ \geq }{ 3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mathl{A_n}{} der Flächeninhalt eines in den Einheitskreis eingeschriebenen gleichmäßigen $n$-Eckes. Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ A_n
}
{ \leq }{ A_{n+1}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}