Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 23/latex
\setcounter{section}{23}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke in ${\mathbb C}^2$ den Vektor
\mathdisp {(1,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(3+5 { \mathrm i} ,-3+2{ \mathrm i} ) \text{ und } (1-6{ \mathrm i} ,4-{ \mathrm i} )} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Beweise folgende Aussagen.
\aufzaehlungzwei {Zu einer Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von Elementen in $V$ ist der
\definitionsverweis {erzeugte Untervektorraum}{}{}
ein Untervektorraum.
} {Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i\in I \rangle
}
{ =} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mathbed {w_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine weitere Familie von Vektoren in $V$. Dann gilt für die
\definitionsverweis {aufgespannten Untervektorräume}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i \in I \rangle
}
{ \subseteq }{ \langle w_j ,\, j \in J \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{v_i
}
{ \in }{ \langle w_j ,\, j \in J \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{i
}
{ \in }{I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ ist und dass sich $w$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten im $\Q^3$ die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 11 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 \\1\\ 2\\1 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 4 \\3\\ 0\\2 \end{pmatrix},\, \begin{pmatrix} 1 \\7\\ 0\\-1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde für die Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 7 \\-5\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} -4 \\1\\ -6 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 2 \\8\\ 0 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 5 \\-5\\ 8 \end{pmatrix}} { }
im $\Q^3$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe im $\R^3$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Beweise die folgenden Aussagen.
\aufzaehlungsechs{Wenn die Familie
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, so ist auch zu jeder Teilmenge
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Familie
\mathbed {v_i} {,}
{i \in J} {}
{} {} {} {,} linear unabhängig.
}{Die leere Familie ist linear unabhängig.
}{Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
}{Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
}{Ein Vektor $v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}{Zwei Vektoren
\mathkor {} {v} {und} {u} {}
sind genau dann linear unabhängig, wenn weder $u$ ein skalares Vielfaches von $v$ ist noch umgekehrt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und
\mathbed {v_{ i }} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} eine Familie von Vektoren in $V$. Es sei
\mathbed {\lambda_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Elementen $\neq 0$ aus $K$. Zeige, dass die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
\zusatzklammer {ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$, eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} von $V$} {} {} ist, wenn dies für die Familie
\mathbed {\lambda_i v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,} gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{}
der linearen Gleichung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ 3x+4y-2z+5w
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme eine
\definitionsverweis {Basis}{}{} für den
\definitionsverweis {Lösungsraum}{}{} des linearen Gleichungssystems
\mathdisp {-2x+3y-z+4w = 0 \text{ und } 3z-2w =0} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\1\\ 5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 1 \\3\\ 7 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 4 \\1\\ 2 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2+7 { \mathrm i} \\3- { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 15+26 { \mathrm i} \\13-7 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.} Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} 3 \\2\\ -5 \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix}
}
{ \in} { K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedener Vektor. Man finde ein
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
in $n$ Variablen mit $n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau
\mathdisp {{ \left\{ \lambda \begin{pmatrix} a_1 \\\vdots\\ a_n \end{pmatrix} \mid \lambda \in K \right\} }} { }
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} mit endlicher
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ n
}
{ =} { \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien $n$ Vektoren
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} in $V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} bilden ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$.
}{
\mathl{v_1 , \ldots , v_n}{} sind
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei $K[X]$ der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ d
}
{ \in }{ \N
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad
\mathl{\leq d}{} ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von
\mathl{K[X]}{} ist. Was ist seine
\definitionsverweis {Dimension}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge aller reellen
\definitionsverweis {Polynome}{}{} vom
\definitionsverweis {Grad}{}{} $\leq 4$, für die $-2$ und $3$ Nullstellen sind, ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektor\-räume}{}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( V \right) }
}
{ = }{ n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \dim_{ K } { \left( W \right) }
}
{ = }{ m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Welche Dimension besitzt der
\definitionsverweis {Produktraum}{}{}
$V \times W$?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{,}
und sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
von $V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie
\mathdisp {v_1 , \ldots , v_n \text{ und } { \mathrm i} v_1 , \ldots , { \mathrm i} v_n} { }
eine Basis von $V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{}
mit $q$ Elementen und sei $V$ ein
$n$-\definitionsverweis {dimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\mathl{v_1,v_2,v_3, \ldots}{} eine Aufzählung
\zusatzklammer {ohne Wiederholung} {} {}
der Elemente aus $V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ sind?
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Drücke in $\Q^3$ den Vektor
\mathdisp {(2,5,-3)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(1,2,3), (0,1,1) \text{ und } (-1,2,4)} { }
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten im $\Q^4$ die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\1\\ -5\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\-2\\ 4\\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3\\2 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\-1\\ 2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\-2\\ -2\\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\2\\ -1\\10 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, ob im $\R^3$ die drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\3\\ -5 \end{pmatrix} \, , \begin{pmatrix} 9 \\2\\ 6 \end{pmatrix} \, ,\begin{pmatrix} -1 \\4\\ -1 \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Bestimme, ob im ${\mathbb C}^2$ die beiden Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2-7 { \mathrm i} \\-3+2 { \mathrm i} \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 5+6 { \mathrm i} \\3-17 { \mathrm i} \end{pmatrix}} { }
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei $\Q^n$ der
$n$-\definitionsverweis {dimensionale}{}{}
Standardraum über $\Q$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{\Q^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Familie von $n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine
$\Q$-\definitionsverweis {Basis}{}{}
des $\Q^n$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im $\R^n$ eine $\R$-Basis des $\R^n$ bildet.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die Menge aller reellen
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$\leq 6$, für die $-1$, $0$ und $1$ Nullstellen sind, ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
in
\mathl{\R[X]}{} ist. Bestimme die
\definitionsverweis {Dimension}{}{} von diesem Vektorraum.
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_m$ eine Familie von $m$ Vektoren in $V$ und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\langle v_i ,\, i = 1 , \ldots , m \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der davon
\definitionsverweis {aufgespannte Untervektorraum}{}{.}
Zeige, dass die Familie genau dann
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
von $U$ gleich $m$ ist.
}
{} {}