Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 23

Übungsaufgaben

Aufgabe

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

$(2,-7)$

als Linearkombination der Vektoren

$(5,-3){\text{ und }}(-11,4)$

aus.

Aufgabe

Drücke in ${}{\mathbb {C} }^{2}$ den Vektor

$(1,0)$

als Linearkombination der Vektoren

$(3+5{\mathrm {i} },-3+2{\mathrm {i} }){\text{ und }}(1-6{\mathrm {i} },4-{\mathrm {i} })$

aus.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Beweise folgende Aussagen.

1. Zu einer Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, von Elementen in ${}V$ ist der erzeugte Untervektorraum ein Untervektorraum.
2. Die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ist genau dann ein Erzeugendensystem von ${}V$, wenn

   ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle =V\,$

   ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$ und ${}w_{j}$, ${}j\in J$, eine weitere Familie von Vektoren in ${}V$. Dann gilt für die aufgespannten Untervektorräume die Beziehung ${}\langle v_{i},\,i\in I\rangle \subseteq \langle w_{j},\,j\in J\rangle$ genau dann, wenn ${}v_{i}\in \langle w_{j},\,j\in J\rangle$ für alle ${}i\in I$ gilt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$ und ${}w\in V$ ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie

$w,v_{i},i\in I,$

ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist und dass sich ${}w$ als Linearkombination der ${}v_{i}$, ${}i\in I$, darstellen lässt. Zeige, dass dann schon ${}v_{i}$, ${}i\in I$, ein Erzeugendensystem von ${}V$ ist.

Aufgabe

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}2\\1\\4\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}3\\-2\\7\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}5\\-1\\11\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\-3\\3\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe

Zeige, dass die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}0\\1\\2\\1\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}4\\3\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}1\\7\\0\\-1\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {R} ^{4}$ linear unabhängig sind.

Aufgabe

Finde für die Vektoren

${\begin{pmatrix}7\\-5\\3\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}-4\\1\\-6\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}2\\8\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}5\\-5\\8\end{pmatrix}}$

im ${}\mathbb {Q} ^{3}$ eine nichttriviale Darstellung des Nullvektors.

Aufgabe

Man gebe im ${}\mathbb {R} ^{3}$ drei Vektoren an, sodass je zwei von ihnen linear unabhängig sind, aber alle drei zusammen linear abhängig.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Beweise die folgenden Aussagen.

1. Wenn die Familie linear unabhängig ist, so ist auch zu jeder Teilmenge ${}J\subseteq I$ die Familie ${}v_{i}$ , ${}i\in J$, linear unabhängig.
2. Die leere Familie ist linear unabhängig.
3. Wenn die Familie den Nullvektor enthält, so ist sie nicht linear unabhängig.
4. Wenn in der Familie ein Vektor mehrfach vorkommt, so ist sie nicht linear unabhängig.
5. Ein Vektor ${}v$ ist genau dann linear unabhängig, wenn ${}v\neq 0$ ist.
6. Zwei Vektoren ${}v$ und ${}u$ sind genau dann linear unabhängig, wenn weder ${}u$ ein skalares Vielfaches von ${}v$ ist noch umgekehrt.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper, ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum und ${}v_{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Vektoren in ${}V$. Es sei ${}\lambda _{i}$, ${}i\in I$, eine Familie von Elementen ${}\neq 0$ aus ${}K$. Zeige, dass die Familie ${}v_{i}$, ${}i\in I$, genau dann linear unabhängig (ein Erzeugendensystem von ${}V$, eine Basis von ${}V$) ist, wenn dies für die Familie ${}\lambda _{i}v_{i}$, ${}i\in I$, gilt.

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum der linearen Gleichung

${}3x+4y-2z+5w=0\,.$

Aufgabe

Bestimme eine Basis für den Lösungsraum des linearen Gleichungssystems

$-2x+3y-z+4w=0{\text{ und }}3z-2w=0.$

Aufgabe

Zeige, dass im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\1\\5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}1\\3\\7\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}4\\1\\2\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Bestimme, ob im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2+7{\mathrm {i} }\\3-{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}15+26{\mathrm {i} }\\13-7{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper. Man finde ein lineares Gleichungssystem in drei Variablen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}3\\2\\-5\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei

${\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\in K^{n}$

ein von ${}0$ verschiedener Vektor. Man finde ein lineares Gleichungssystem in ${}n$ Variablen mit ${}n-1$ Gleichungen, dessen Lösungsraum genau

${\left\{\lambda {\begin{pmatrix}a_{1}\\\vdots \\a_{n}\end{pmatrix}}\mid \lambda \in K\right\}}$

ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum mit endlicher Dimension

${}n=\dim _{K}{\left(V\right)}\,.$

Es seien ${}n$ Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ in ${}V$ gegeben. Zeige, dass die folgenden Eigenschaften äquivalent sind.

1. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden eine Basis von ${}V$.
2. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ bilden ein Erzeugendensystem von ${}V$.
3. ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ sind linear unabhängig.

Aufgabe

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Es sei ${}d\in \mathbb {N}$. Zeige, dass die Menge aller Polynome vom Grad ${}\leq d$ ein endlichdimensionaler Untervektorraum von ${}K[X]$ ist. Was ist seine Dimension?

Aufgabe

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 4$, für die ${}-2$ und ${}3$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein Körper und es seien ${}V$ und ${}W$ endlichdimensionale ${}K$- Vektorräume mit ${}\dim _{K}{\left(V\right)}=n$ und ${}\dim _{K}{\left(W\right)}=m$. Welche Dimension besitzt der Produktraum ${}V\times W$?

Aufgabe

Es sei ${}V$ ein endlichdimensionaler Vektorraum über den komplexen Zahlen, und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ eine Basis von ${}V$. Zeige, dass die Vektorenfamilie

$v_{1},\ldots ,v_{n}{\text{ und }}{\mathrm {i} }v_{1},\ldots ,{\mathrm {i} }v_{n}$

eine Basis von ${}V$, aufgefasst als reeller Vektorraum, ist.

Aufgabe *

Es sei ${}K$ ein endlicher Körper mit ${}q$ Elementen und sei ${}V$ ein ${}n$- dimensionaler ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},v_{2},v_{3},\ldots$ eine Aufzählung (ohne Wiederholung) der Elemente aus ${}V$. Nach wie vielen Elementen kann man sich sicher sein, dass diese ein Erzeugendensystem von ${}V$ sind?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe (3 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{3}$ den Vektor

$(2,5,-3)$

als Linearkombination der Vektoren

$(1,2,3),(0,1,1){\text{ und }}(-1,2,4)$

aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.

Aufgabe (4 Punkte)

Wir betrachten im ${}\mathbb {Q} ^{4}$ die Untervektorräume

${}U=\langle {\begin{pmatrix}3\\1\\-5\\2\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}2\\-2\\4\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\\3\\2\end{pmatrix}}\rangle \,$

und

${}W=\langle {\begin{pmatrix}6\\-1\\2\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}0\\-2\\-2\\-7\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}9\\2\\-1\\10\end{pmatrix}}\rangle \,.$

Zeige ${}U=W$.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}\mathbb {R} ^{3}$ die drei Vektoren

${\begin{pmatrix}2\\3\\-5\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}9\\2\\6\end{pmatrix}}\,,{\begin{pmatrix}-1\\4\\-1\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (2 Punkte)

Bestimme, ob im ${}{\mathbb {C} }^{2}$ die beiden Vektoren

${\begin{pmatrix}2-7{\mathrm {i} }\\-3+2{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}{\text{ und }}{\begin{pmatrix}5+6{\mathrm {i} }\\3-17{\mathrm {i} }\end{pmatrix}}$

eine Basis bilden.

Aufgabe (4 Punkte)

Es sei ${}\mathbb {Q} ^{n}$ der ${}n$- dimensionale Standardraum über ${}\mathbb {Q}$ und sei ${}v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {Q} ^{n}$ eine Familie von ${}n$ Vektoren. Zeige, dass diese Familie genau dann eine ${}\mathbb {Q}$- Basis des ${}\mathbb {Q} ^{n}$ ist, wenn diese Familie aufgefasst im ${}\mathbb {R} ^{n}$ eine ${}\mathbb {R}$-Basis des ${}\mathbb {R} ^{n}$ bildet.

Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Menge aller reellen Polynome vom Grad ${}\leq 6$, für die ${}-1$, ${}0$ und ${}1$ Nullstellen sind, ein endlichdimensionaler Untervektorraum in ${}\mathbb {R} [X]$ ist. Bestimme die Dimension von diesem Vektorraum.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}V$ ein ${}K$- Vektorraum. Es sei ${}v_{1},\ldots ,v_{m}$ eine Familie von ${}m$ Vektoren in ${}V$ und sei

${}U=\langle v_{i},\,i=1,\ldots ,m\rangle \,$

der davon aufgespannte Untervektorraum. Zeige, dass die Familie genau dann linear unabhängig ist, wenn die Dimension von ${}U$ gleich ${}m$ ist.