Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2023-2024)/Teil I/Arbeitsblatt 24/latex
\setcounter{section}{24}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 1\\0 \end{pmatrix}, \, v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} {v_3 = \begin{pmatrix} 0 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix}} {und} {v_4 = \begin{pmatrix} 0 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^4$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 1 \end{pmatrix}} {} {v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\3\\ -8 \end{pmatrix}} {und} {v_3 = \begin{pmatrix} 5 \\7\\ -3 \end{pmatrix}} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ v }
}
{ = }{ v_1,v_2,v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Basis}{}{}
eines dreidimensionalen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraumes}{}{}
$V$.
a) Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mathfrak{ w }
}
{ = }{ v_1,v_1+v_2,v_2+v_3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ebenfalls eine Basis von $V$ ist.
b) Bestimme die
\definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{}
\mathl{M^{ \mathfrak{ w } }_{ \mathfrak{ v } }}{.}
c) Bestimme die Übergangsmatrix
\mathl{M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ w } }}{.}
d) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\8\\ -9 \end{pmatrix}}{} besitzt.
e) Berechne die Koordinaten bezüglich der Basis $\mathfrak{ w }$ für denjenigen Vektor, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{\begin{pmatrix} 3 \\-7\\ 5 \end{pmatrix}}{} besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{} \mathkor {} {M^{ \mathfrak{ u } }_{ \mathfrak{ v } }} {und} {M^{ \mathfrak{ v } }_{ \mathfrak{ u } }} {} für die \definitionsverweis {Standardbasis}{}{} $\mathfrak{ u }$ und die durch die Vektoren \mathlistdisp {v_1 = \begin{pmatrix} 3+5 { \mathrm i} \\1- { \mathrm i} \end{pmatrix}} {und} {v_2 = \begin{pmatrix} 2+3 { \mathrm i} \\4+ { \mathrm i} \end{pmatrix}} {} {} {} gegebene Basis $\mathfrak{ v }$ im ${\mathbb C}^2$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 7 \\-4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 8 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 4 \\6 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 7 \\3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^2$.
a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^2$ ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(-2,5)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?
c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\varphi} { K^3 } { K^2
} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 4 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z \end{pmatrix}
} {.}
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U
}
{ \subseteq }{ K^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der durch die lineare Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 2x+3y+4z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
definierte
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $K^3$, und $\psi$ sei die
\definitionsverweis {Einschränkung}{}{}
von $\varphi$ auf $U$. Zu $U$ gehören Vektoren der Form
\mathdisp {u = (0,1,a),\, v = (1,0,b) \text{ und } w = (1,c,0)} { . }
Berechne
\mathl{a,b,c}{} und die
\definitionsverweis {Übergangsmatrizen}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {Basen}{}{}
\mathdisp {\mathfrak{ b }_1= v,w , \, \mathfrak{ b }_2 = u,w \text{ und } \mathfrak{ b }_3 = u,v} { }
von $U$ sowie die
\definitionsverweis {beschreibenden Matrizen}{}{}
für $\psi$ bezüglich dieser drei Basen
\zusatzklammer {und der Standardbasis auf $K^2$} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass für beliebige Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und Koeffizienten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_n
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \varphi { \left( \sum_{i = 1}^n s_i v_i \right) }
}
{ =} { \sum_{i = 1}^n s_i \varphi { \left( v_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass zu
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {} {V} {V
} {v} { a v
} {,}
\definitionsverweis {linear}{}{}
ist\zusatzfussnote {Eine solche Abbildung heißt \stichwort {Homothetie} {} oder \stichwort {Streckung} {} mit dem Streckungsfaktor $a$} {.} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Interpretiere die folgenden physikalischen Gesetze als lineare Abbildungen von $\R$ nach $\R$. Was sind die messbaren Größen, was ist der Proportionalitätsfaktor und wodurch ist dieser festgelegt? \aufzaehlungacht{Die zurückgelegte Strecke ist Geschwindigkeit mal Zeit. }{Masse ist Volumen mal Dichte. }{Energie ist Masse mal Brennwert. }{Kraft ist Masse mal Beschleunigung. }{Energie ist Kraft mal Weg. }{Energie ist Leistung mal Zeit. }{Spannung ist Widerstand mal Stromstärke. }{Ladung ist Stromstärke mal Zeit. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Um die Erde wird entlang des Äquators ein Band gelegt. Das Band ist jedoch einen Meter zu lang, sodass es ringsherum gleichmäßig angehoben wird, um straff zu werden. Welche der folgenden Lebewesen können drunter durch laufen/schwimmen/fliegen/tanzen? \aufzaehlungacht{Eine Amöbe. }{Eine Ameise. }{Eine Meise. }{Eine Flunder. }{Eine Boa constrictor. }{Ein Meerschweinchen. }{Eine Boa constrictor, die ein Meerschweinchen verschluckt hat. }{Ein sehr guter Limbotänzer. }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Eine lineare Funktion
\maabbdisp {\varphi} {\Q} {\Q
} {}
hat an der Stelle
\mathl{{ \frac{ 11 }{ 13 } }}{} den Wert
\mathl{{ \frac{ 7 }{ 17 } }}{.} Welchen Wert hat sie an der Stelle
\mathl{{ \frac{ 3 }{ 19 } }}{?}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der folgenden Funktionen
\maabb {f} {\R} {\R
} {}
sind
\definitionsverweis {linear}{}{?}
\aufzaehlungsechs{Die
\definitionsverweis {reelle Exponentialfunktion}{}{.}
}{Die Nullfunktion.
}{Die konstante Funktion mit dem Wert $7$.
}{Die Quadratfunktion
\mathl{x \mapsto x^2}{.}
}{Die Funktion, die jede reelle Zahl halbiert.
}{Die Funktion, die von jeder reellen Zahl $1$ abzieht.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Welche der folgenden Figuren können als Bild eines Quadrates unter einer
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
von $\R^2$ nach $\R^2$ auftreten?
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Regular quadrilateral.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Regular quadrilateral.svg } {} {Gustavb} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {U+25B1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { U+25B1.svg } {} {Sarang} {Public domain} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Regular triangle.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Regular triangle.svg } {} {Gustavb} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Trapezoid2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Trapezoid2.png } {} {Rzukow} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Hexagon.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Hexagon.svg } {} {} {Commons} {} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Blancuco.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Blancuco.jpg } {} {Tronch~commonswiki} {Commons} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Zero-dimension.GIF} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Zero-dimension.GIF } {} {斬雲割風} {zh.wikipedia} {gemeinfrei} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Segment graphe.jpg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Segment graphe.jpg } {} {Tartalacitrouille} {Commons} {CC-ba-sa 3.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Disk 1.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Disk 1.svg } {} {Paris 16} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Geometri romb.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Geometri romb.png } {} {Nicke} {Commons} {gemeinfrei} {}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabb {\varphi} {\R^2} {\R
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 1 \\3 \end{pmatrix} = 5 \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 2 \\-3 \end{pmatrix} = 4} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 7 \\6 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Ergänze den Beweis zu Satz 24.7 um die Verträglichkeit mit der skalaren Multiplikation.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Lucy Sonnenschein arbeitet als Fahrradkurier und bekommt einen Stundenlohn von $12$ \euro . Am Obststand kosten Himbeeren $3$ \euro , Erdbeeren kosten $2$ \euro\ und Äpfel $0,4$ \euro\ \zusatzklammer {jeweils pro Hundert Gramm} {} {.} Beschreibe die Abbildung, die einem Einkauf die Zeit zuordnet, die Lucy für den Einkauf arbeiten muss, als eine Hintereinanderschaltung von linearen Abbildungen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und seien $U,V,W$
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Es seien
\mathdisp {\varphi \colon U\rightarrow V \text{ und } \psi \colon V\rightarrow W} { }
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass dann auch die
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {\psi \circ \varphi} { U} {W
} {} eine lineare Abbildung ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} zwei $K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {W } {} eine \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {lineare}{}{} \definitionsverweis {Abbildung}{}{.} Zeige, dass dann auch die \definitionsverweis {Umkehrabbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi^{-1}} {W} {V } {} \definitionsverweis {linear}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und $V$ ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei $v_1 , \ldots , v_n$ eine Familie von Vektoren in $V$. Zeige, dass für die \definitionsverweis {Abbildung}{}{} \maabbeledisp {\varphi} {K^n} {V } {(s_1 , \ldots , s_n) } { \sum_{i = 1}^n s_i v_i } {,} die folgenden Beziehungen gelten. \aufzaehlungdrei{$\varphi$ ist \definitionsverweis {injektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ \definitionsverweis {linear unabhängig}{}{} sind.
}{$\varphi$ ist \definitionsverweis {surjektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ ein \definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{} von $V$ ist. }{$\varphi$ ist \definitionsverweis {bijektiv}{}{} genau dann, wenn $v_1 , \ldots , v_n$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} ist.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Abbildungen}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} { \operatorname{Re} \, { \left( z \right) } } {,} und \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} { \operatorname{Im} \, { \left( z \right) } } {,} $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{} sind. Zeige ferner, dass die \definitionsverweis {komplexe Konjugation}{}{} $\R$-linear, aber nicht ${\mathbb C}$-linear ist. Ist der \definitionsverweis {Betrag}{}{} \maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {\R } {z} {\betrag { z } } {,} $\R$-linear?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {f} {\R} {\R
} {,}
die eine
\definitionsverweis {rationale Zahl}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ q
}
{ \in }{ \Q
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf $q$ schickt und die alle
\definitionsverweis {irrationalen Zahlen}{}{}
auf $0$ schickt. Ist dies eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{?}
Ist sie mit
\definitionsverweis {Skalierung}{}{}
verträglich?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten.
\aufzaehlungvier{Für einen
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist auch das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
$\varphi(S)$ ein Untervektorraum von $W$.
}{Insbesondere ist das Bild
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{bild} \varphi
}
{ = }{ \varphi(V)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der Abbildung ein Untervektorraum von $W$.
}{Für einen Unterraum
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(T)}{} ein Untervektorraum von $V$.
}{Insbesondere ist
\mathl{\varphi^{-1}(0)}{} ein Untervektorraum von $V$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die eine Drehung um $45$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beweise die Additionstheoreme für den \definitionsverweis {Sinus}{}{} und den \definitionsverweis {Kosinus}{}{} unter Verwendung von \definitionsverweis {Drehmatrizen}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {} {\R^4} {\R^3} { \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } { \begin{pmatrix} 2 & 1 & 5 & 2 \\ 3 & -2 & 7 & -1 \\ 2 & -1 & -4 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\y\\ z\\w \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Bestimme den Kern der durch die Matrix
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ =} { \begin{pmatrix} 2 & 3 & 0 & -1 \\ 4 & 2 & 2 & 5 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegebenen linearen Abbildung
\maabbdisp {\varphi} {\R^4} {\R^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wie sieht der \definitionsverweis {Graph}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {f} {\R} {\R } {,} \maabbdisp {g} {\R} {\R^2 } {,} \maabbdisp {h} {\R^2} {\R } {} aus? Wie sieht man in einer Skizze des Graphen den \definitionsverweis {Kern}{}{} der Abbildung?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
$m \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über dem Körper $K$, \maabb {\varphi} {K^n} {K^m
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Mx
}
{ = }{c
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\zusatzklammer {vom Störvektor
\mavergleichskettek
{\vergleichskettek
{ c
}
{ \in }{ K^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
abhängige} {} {}
zugehörige
\definitionsverweis {lineare Gleichungssystem}{}{.}
Zeige, dass die Lösungsmenge des Systems gleich dem
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
von $c$ unter der linearen Abbildung $\varphi$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und seien
\maabb {\varphi, \psi} {V} {W
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass auch die durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ (\varphi+ \psi) (v)
}
{ \defeq} { \varphi (v)+ \psi (v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
definierte Abbildung linear ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^2} { \R^2 } {,} die nicht \definitionsverweis {injektiv}{}{} ist, deren \definitionsverweis {Einschränkung}{}{} \maabbdisp {} {\Q^2} { \R^2 } {} aber injektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten die Abbildung
\maabbdisp {\Psi} {\R_{\geq 0}^4} { \R_{\geq 0}^4
} {,}
die einem Vierertupel
\mathl{(a,b,c,d)}{} das Vierertupel
\mathdisp {( \betrag { b-a } , \betrag { c-b } , \betrag { d-c } , \betrag { a-d } )} { }
zuordnet. Beschreibe diese Abbildung unter der Bedingung, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a
}
{ \leq} {b
}
{ \leq} {c
}
{ \leq} {d
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt, mit einer Matrix.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^3} {\R^2
} {}
mit
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\7 \end{pmatrix},\, \varphi \begin{pmatrix} 0 \\4\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\1 \end{pmatrix} \text{ und } \varphi \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\0 \end{pmatrix}} { }
gegeben. Berechne
\mathdisp {\varphi \begin{pmatrix} 4 \\5\\ 6 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+1+2)}
{
Wir betrachten die Vektorenfamilien
\mathdisp {\mathfrak{ v } = \begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 4 \\7\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 5 \end{pmatrix} \text{ und } \mathfrak{ u } = \begin{pmatrix} 0 \\2\\ 4 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 6 \\6\\ 1 \end{pmatrix}, \, \begin{pmatrix} 3 \\5\\ -2 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$.
a) Zeige, dass sowohl $\mathfrak{ v }$ als auch $\mathfrak{ u }$ eine \definitionsverweis {Basis}{}{} des $\R^3$ ist.
b) Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derjenige Punkt, der bezüglich der Basis $\mathfrak{ v }$ die Koordinaten
\mathl{(2,5,4)}{} besitze. Welche Koordinaten besitzt der Punkt bezüglich der Basis $\mathfrak{ u }$?
c) Bestimme die \definitionsverweis {Übergangsmatrix}{}{,} die den \definitionsverweis {Basiswechsel}{}{} von $\mathfrak{ v }$ nach $\mathfrak{ u }$ beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {4-petal motif.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { 4-petal motif.svg } {} {Tomruen} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Skizziere das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
der dargestellten Kreise unter der durch die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathl{\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}}{} gegebenen
\definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{}
vom $\R^2$ in sich.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Finde mittels elementargeometrischer Überlegungen eine Matrix, die \zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {} eine Drehung um $30$ Grad gegen den Uhrzeigersinn in der Ebene beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Bestimme das \definitionsverweis {Bild}{}{} und den \definitionsverweis {Kern}{}{} der \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbeledisp {f} {\R^4} {\R^4 } {\begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -1 \\ 2 & 5 & 7 & -1 \\ -1 & 2 & 3 & -2 \\ -2 & 0 & 0 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\x_2\\ x_3\\x_4 \end{pmatrix} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ E
}
{ \subseteq }{ \R^3
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die durch die lineare Gleichung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 5x+7y-4z
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegebene Ebene. Bestimme eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} { \R^2 } { \R^3
} {}
derart, dass das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
von $\varphi$ gleich $E$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Auf dem reellen
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ G
}
{ =} { \R^4
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
der Glühweine betrachten wir die beiden
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{}
\maabbeledisp {\pi} {G} {\R
} { \begin{pmatrix} z \\n\\ r\\s \end{pmatrix}} {8z+9n+5r+s
} {,}
und
\maabbeledisp {\kappa} {G} {\R
} { \begin{pmatrix} z \\n\\ r\\s \end{pmatrix}} {2z+n+4r+8s
} {.}
Wir stellen uns $\pi$ als Preisfunktion und $\kappa$ als Kalorienfunktion vor. Man bestimme
\definitionsverweis {Basen}{}{}
für
\mathl{\operatorname{kern} \pi}{,} für
\mathl{\operatorname{kern} \kappa}{} und für
\mathl{\operatorname{kern} (\pi \times \kappa)}{}\zusatzfussnote {Man störe sich nicht daran, dass hier negative Zahlen vorkommen können. In einem trinkbaren Glühwein kommen natürlich die Zutaten nicht mit einem negativen Koeffizienten vor. Wenn man sich aber beispielsweise überlegen möchte, auf wie viele Arten man eine bestimmte Rezeptur ändern kann, ohne dass sich der Gesamtpreis oder die Energiemenge ändert, so ergeben auch negative Einträge einen Sinn} {.} {.}
}
{} {}