Kurs:Mathematik fuer Anwender/Aussagen und Logik

Aussagen und Logik

Um Mathematik verstehen und anwenden zu können, ist es nötig, sich mit der Sprache der Mathematik zu beschäftigen. Die Sprache der Mathematik sollte möglichst keine Interpretationsspielräume zulassen, also präzise und eindeutig sein. Grundlage dafür sind erst einmal Aussagen. Dieses Kapitel ist ein absolutes Grundlagenkapitel und soll Grundkenntnisse der Logik vermitteln. Es wird in der Vorlesung nur kurz und in Auszügen besprochen werden, Sie sollten es sich selbständig durchlesen.
Die hier behandelte Logik kommt in den Umweltwissenschaften vor Allem im Bereich der computergestützen statistischen Auswertung oder in der mathematischen Modellbildung komplexer Sachverhalte zum Einsatz.

Definition: Aussage und Wahrheitswert

• Eine (mathematische) Aussage ist ein sinnvoller, sprachlicher Satz der entweder wahr oder falsch ist, aber nicht beides.
• Ist $A$ eine Aussage, so ist der Wahrheitswert von $A$ entweder wahr (${\mathfrak {w}}$) oder falsch (${\mathfrak {f}}$).
  

Wir schreiben $|A|={\mathfrak {w}}$, wenn $A$ eine wahre Aussage ist, und $|A|={\mathfrak {f}}$, wenn $A$ eine falsche Aussage ist.

Das ist keine wirklich saubere Definition, da wir nicht definiert haben, was z. B. ein “sinnvoller, sprachlicher Satz” sein soll und wie wir (allgemeingültig) entscheiden können, ob die Aussage wahr oder falsch ist.

Beispiel: Aussage und Wahrheitswert

• Daphnia magna (Großer Wasserfloh) ist eine Art aus der Gattung Branchiopoda (Kiemenfußkrebse).
  

Diese Aussage ist wahr.

• Alle Insekten sind braun.
  

Dieser Satz ist eine unwahre / falsche Aussage.

• Das letzte Wollhaarmammut starb im Jahre 1800 vor Christus aus.
  

Dieser Satz ist eine Aussage. Wir wissen zwar nicht, ob sie wahr oder falsch ist, aber sie ist genau eines von beiden.

• $5+6=11$.
  

Das ist eine wahre Aussage.

Man kann aus Aussagen neue Aussagen bilden, denen dann natürlich auch wieder ein Wahrheitswert zugeordnet werden kann - dazu schauen wir uns einige Konstruktionsmöglichkeiten genauer an:

Definition: Negation, Und, Oder Verknüpfungen

Es seien $A$ und $B$ Aussagen.

• Die Negation von $A$ ist eine Aussage, die wahr ist, wenn $A$ falsch ist, und falsch ist, wenn $A$ wahr ist.
  

Wir schreiben $\neg A$ für die Negation von $A$.

• “$A$ und $B$” ist eine Aussage, die wahr ist, wenn sowohl die Aussage $A$ als auch die Aussage $B$ wahr sind und die ansonsten falsch ist.
  

Wir schreiben $A\wedge B$ für “$A$ und $B$”.

• “$A$ oder $B$” ist eine Aussage, die falsch ist, wenn sowohl die Aussage $A$ als auch die Aussage $B$ falsch sind und ansonsten wahr ist.
  

Wir schreiben $A\vee B$ für “$A$ oder $B$”.

Achtung:
Das Zeichen $\wedge$ ist keine algemeine Abkürzung für das Wort “und”, sondern ein Symbol welches ausschließlich Aussagen miteinander verknüpft. Ausdrücke wie “’Heute Mittag habe ich Tiere $\wedge$ Pflanzen bestimmt.”’ gelten nicht als mathematisch sinnvolle Aussagen.

Im Gegensatz zu unserem alltäglichen Sprachgebrauch ist das mathematische Oder $\vee$ ein einschließendes Oder. Das heißt, dass die Aussage “Ich bestimme heute Tiere oder ich bestimme Pflanzen” auch dann wahr ist, wenn der Sprecher ein Tier und eine Pflanze bestimmt.

Man kann einfache Kombinationen aus Aussagen auch sehr übersichtlich in Wahrheitstabellen darstellen. Wie das genau geht, klären wir nun:

Definition: Wahrheitstabelle

Es seien $n$ und $m$ Anzahlen und $A_{1}$,...,$A_{n}$ Aussagen. Ferner seien
$B_{1},...,B_{m}$ Aussagen, die aus $A_{1}$,...,$A_{n}$ zusammengesetzt sind. Genau dann ist

${\begin{array}{|c|c|c||c|c|c|}\hline A_{1}&...&A_{n}&B_{1}&...&B_{m}\\\hline \hline {\mathfrak {w}}&...&...&...&...&...\\\hline {\mathfrak {f}}&...&...&...&...&...\\\hline \vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\hline \end{array}}$

eine Wahrheitstabelle oder Wahrheitswertetabelle, wenn im ersten Teil der Tabelle zeilenweise alle möglichen Kombinationen der Wahrheitswerte der Aussagen $A_{1}$,...$A_{n}$ vorkommen (das liefert $2^{n}$ viele Kombinationen und damit $2^{n}$ viele Zeilen) und die Wahrheitswerte der zugehörigen Aussagen $B_{1},...,B_{m}$ sich ebenfalls zeilenweise ergeben.

Beispiel: Wahrheitstabelle

• Es sei $A$ eine Aussage. ${\begin{array}{|c||c|c|}\hline A&\neg A&\neg (\neg A)\\\hline {\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}\\\hline {\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}\\\hline \end{array}}$

• Es seien $A$ und $B$ Aussagen.

  ${\begin{array}{|c|c||c|c||c|c|}\hline A&B&A\wedge B&\neg (A\wedge B)&A\vee B&\neg (A\vee B)\\\hline {\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}\\\hline {\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}\\\hline {\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}\\\hline {\mathfrak {f}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}\\\hline \end{array}}$

Definition: Implikation und Äquivalenz

Es seien $A$ und $B$ Aussagen.

• Dann ist auch die Implikation “Wenn $A$, dann $B$”, Notation $A\Rightarrow B$, eine Aussage, die durch

  ${\begin{array}{|c|c||c|}\hline A&B&A\Rightarrow B\\\hline {\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}\\\hline {\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {f}}\\\hline {\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}\\\hline {\mathfrak {f}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}\\\hline \end{array}}$

  definiert wird.

  Wir sagen auch “$A$ impliziert $B$” oder “Aus $A$ folgt $B$” anstatt “Wenn $A$, dann $B$”.

  Dabei nennen wir $A$ die Prämisse der Implikation $A\Rightarrow B$ und $B$ die Konklusion der Implikation $A\Rightarrow B$.

• Dann ist auch die Äquivalenz “Genau dann $A$, wenn $B$”, Notation $A\Leftrightarrow B$ eine Aussage, die durch:

  ${\begin{array}{|c|c||c|}\hline A&B&A\Leftrightarrow B\\\hline {\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {w}}\\\hline {\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {f}}\\\hline {\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}&{\mathfrak {f}}\\\hline {\mathfrak {f}}&{\mathfrak {f}}&{\mathfrak {w}}\\\hline \end{array}}$

  definiert wird.

  Wir sagen auch “$A$ ist äquivalent zu $B$” oder “$A$ und $B$ sind gleichwertig” anstatt “Genau dann $A$, wenn $B$”.

Da ein Großteil der mathematischen Aussagen aus Implikationen besteht, ist es besonders wichtig, diese zu verstehen. Aber wie kann es sein, dass die Aussage “Wenn $A$, dann $B$” wahr ist, wenn $A$ eine falsche Aussage ist und $B$ ebenfalls falsch? Mit anderen Worten: Warum impliziert eine falsche Aussage jede beliebige Aussage?

Wir betrachten dazu folgende Beispiele:

Beispiel: Implikation

Sei in diesem Beispiel $x\in \mathbb {R}$.

• $x=2\Longrightarrow x^{2}=4$ ist eine wahre Aussage.
• $x^{2}=4\Longrightarrow x=2$ ist keine wahre Aussage, da für $x=-2$ gilt: $x^{2}=4$, aber gleichzeitig ist $x\neq 2$.
• Folgender (konstruierter) Sachverhalt: Auf einem unüberdachten Fleck Erde wird der Einfluss von Niederschlag auf die Bodenfeuchte untersucht. Wir untersuchen die Aussage: “’Wenn es regnet, ist der Boden nass.”’ Ist $A$ die Aussage “Es regnet.” und $B$ die Aussage “Der Boden ist nass.”, so ist die Aussage $A\Rightarrow B$ nach der obigen Definition nur dann falsch, wenn $A$ wahr und gleichzeitig $B$ falsch ist. Das deckt sich mit dem gesunden Menschenverstand, denn ist $A$ falsch, es hat also nicht geregnet, so wird nichts darüber gesagt, ob der Boden nass ist (der nasse Boden könnte auch daher herrühren, dass ein Landwirt das untersuchte Stück Boden künstlich bewässert hat. Die Implikation ist nur dann falsch, wenn es geregnet hat und der Boden trotzdem nicht nass ist.

Bemerkung: Wahrheitstabelle

Wahrheitstabellen eignen sich prima, um die Äquivalenz von (einfach aufgebauten) Aussagen zu beweisen. Man vergleicht einfach die Spalten, die zu zwei Aussagen gehören. Sind die zugehörigen Wahrheitswerte alle identisch, so sind die beiden Aussagen äquivalent. Zum Beispiel in der Tabelle zum zweiten Beispiel in [Tab] können wir ablesen, dass für jede Aussage $A$ die Aussagen $A$ und $\neg (\neg A)$ äquivalent sind, da sie immer dieselben Wahrheitswerte haben.

Einige Regeln für zusammengesetzte Aussagen sollte man einmal gesehen haben:

Lemma: Rechenregeln verknüpfte Aussagen

Es seien $A$, $B$ und $C$ Aussagen. Dann gelten:

1. Die Kommutativgesetze für $\wedge$ und $\vee$: $A\wedge B\Leftrightarrow B\wedge A{\text{ und }}A\vee B\Leftrightarrow B\vee A.$
2. Die Assoziativgesetze für $\wedge$ und $\vee$: $A\wedge (B\wedge C)\Leftrightarrow (A\wedge B)\wedge C{\text{ und }}A\vee (B\vee C)\Leftrightarrow (A\vee B)\vee C.$
3. Die Distributivgesetze für $\wedge$ und $\vee$: $A\wedge (B\vee C)\Leftrightarrow (A\wedge B)\vee (A\wedge C){\text{ und }}(A\vee B)\wedge C\Leftrightarrow (A\wedge C)\vee (B\wedge C)$ sowie $A\vee (B\wedge C)\Leftrightarrow (A\vee B)\wedge (A\vee C){\text{ und }}(A\wedge B)\vee C\Leftrightarrow (A\vee C)\wedge (B\vee C).$