Kurs:Mathematik fuer Anwender/Determinanten
Determinanten
BearbeitenBetrachten wir nun lineare Abbildungen von nach , also Abbildungen, die sich als Multiplikation mit einer geeigneten -Matrix auffassen lassen. Eine Matrix, bei der die Anzahl der Zeilen und die der Spalten übereinstimmen, nennen wir quadratische Matrix.
Anwendung: Determinante
Bearbeiten- Zuerst erinnern wir noch einmal an die Drehung des um den Winkel , wie wir sie in [geomet] definiert hatten: Es ist mit .
- Nun betrachten wir die lineare Abbildung , die durch definiert ist. Die Abbildung streckt also, geometrisch gesehen, alle Vektoren um den Faktor .
- Zuletzt betrachten wir die Abbildung mit
Wir sehen, dass das Volumen oder Flächen von geometrischen Objekten durch Anwendung linearer Abbildungen verzerrt werden können. Im Beispiel der Drehung ändert sich anschaulich an der Fläche z. B. des Einheitsquadrats nichts. Bei der Streckung um den Faktor wird jeder Vektor um den Faktor verlängert, das Volumen des Würfels wird also um den Faktor vergrößert. Und im dritten Beispiel ist auf den ersten Blick gar nicht klar, ob und was sich an der Fläche ändert.
Gibt es ein Maß für eine solche Verzerrung, das wir an der Matrix, die zu der linearen Abbildung gehört, ablesen können?
Definition: Determinante
BearbeitenFür eine quadratische -Matrix existiert die sogenannte Determinante .
Sie kann folgendermaßen bestimmt werden:
Ist eine -Matrix, so ist
Ferner ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, welches von den Vektoren und aufgespannt wird.
Ist eine -Matrix, so ist
Als Merkregel zur Berechnung der Determinante von -Matrizen existiert die Regel von Sarrus:
Man schreibe die ersten beiden Spalten der Matrix rechts neben die Matrix, also
und berechnet dann die Determinante nach folgendem Schema:
Ferner ist geometrisch gerade das Volumen des Spates, welches von den drei Spaltenvektoren der Matrix aufgespannt wird.
Ist eine -Matrix mit , so benutzen wir zur Charakterisierung der Determinante die folgende Regel (Entwicklung nach einer Zeile bzw. Spalte):
Sei . Für sei eine -Matrix, die aus hervorgeht, indem man die -te Zeile und die -te Spalte wegstreicht. Dann gilt
Entwicklung nach der -ten Zeile:
Für festes ist
Entwicklung nach der -ten Spalte:
Für festes ist
Es ist dabei sinnvoll, nach einer Zeile oder Spalte zu entwickeln in der möglichst viele Einträge sind.
Ein einfaches Analogon zur Sarrus-Regel gibt es für nicht!!!
Beispiel: Bestimmung der Determinante
BearbeitenZurück zu den Beispielen von eben:
Die Drehmatrix hat Determinante . Die Matrix der Streckung um den Faktor von oben hat (nach Sarrus oder Entwicklung nach einer beliebigen Zeile oder Spalte) Determinante und die dritte Matrix hat Determinante . Bei den ersten beiden Matrizen entspricht also die Determinante genau dem Faktor, um den sich das Volumen des Einheitswürfels bei Anwendung der zugehörigen linearen Abbildung verändert hat. Bei der dritten Matrix ist das auch so, das Einheitsquadrat hat sein Volumen um den Faktor vergrößert. Das negative Vorzeichen der Determinante besagt hier, dass sich zusätzlich (wie im Falle einer Spiegelung) die Orientierung des Quadrats geändert hat.
Die Determinante ist aber nicht nur zur Bestimmung einer Flächen- oder Volumenverzerrung sinnvoll:
Satz: Determinante und Lösungsmenge eines LGS
BearbeitenEs sei ein lineares Gleichungssystem mit einer -Matrix .
Genau dann ist das LGS eindeutig lösbar, wenn ist.
Außerdem kann man anhand der Determinante einer quadratischen Matrix noch mehr über diese Matrix aussagen.
Definition: Invertierbare Matrizen
BearbeitenEine -Matrix heißt invertierbar genau dann, wenn es eine -Matrix gibt, sodass gilt. Eine solche Matrix nennen wir die zu inverse Matrix und bezeichnen sie mit .
Satz: Determinante und invertierbare Matrizen
Bearbeiten- Eine (quadratische) Matrix ist genau dann invertierbar, wenn ihre Determinante ungleich ist.
- Sei eine lineare Abbildung mit für eine geeignete -Matrix . Dann ist die Abbildung genau dann invertierbar, d. h. es existiert eine Umkehrabbildung , wenn die Matrix invertierbar ist. Dabei ist .
Beispiel: Bestimmung der inversen Matrix über Umkehrabbildung
Bearbeiten- Noch einmal die Drehung des um den Winkel , (siehe [geomet]): Es ist mit . Es ist . Die zugehörige Umkehrabbildung ist die Drehung um den Winkel , also mit .
- Nun betrachten wir erneut die Streckung um den Faktor , also mit . Dann ist , die Abbildung ist also invertierbar und die Umkehrabbildung hat die Matrix ; die Umkehrabbildung zu ist offensichtlich die Streckung um den Faktor .
Bemerkung: Inverse Matrix und Umkehrabbildung
BearbeitenIn den beiden Beispielen haben wir die inversen Matrizen über die Umkehrabbildung bestimmt. Im Allgemeinen ist es aber einfacher, zu einer gegebenen quadratischen Matrix (mit ) die inverse Matrix zu bestimmen als die Umkehrabb. zu einer linearen Abb. zu errechnen.
Algorithmus zur Berechnung einer inversen Matrix
BearbeitenZur Berechnung einer inversen Matrix gibt es einen Algorithmus:
- Wir schreiben die zu invertierende -Matrix auf und rechts daneben schreiben wir die Einheitsmatrix (dasselbe ).
- Dann formen wir mit den elementaren Zeilenumformungen aus dem Gauß-Algorithmus (Zeilen tauschen, Vielfaches einer Zeile auf eine andere Zeile addieren, Zeilen mit einem Skalar multiplizieren) die Matrix so um, dass die Einheitsmatrix entsteht. Genau dieselben Umformungsschritte führen wir in derselben Reihenfolge parallel an der Einheitsmatrix durch. Unsere Ausgangsmatrix wird also immer “schöner” und die Einheitsmatrix immer “hässlicher”.
- Wie geht diese Umformerei zur Einheitsmatrix möglichst geschickt?
Zuerst bringen wir auf Zeilenstufenform. Dann formen wir weiter um bis alle Einträge mit gleich sind (d. h. es stehen nur auf der Hauptdiagonalen Einträge ungleich ). Und zuletzt multiplizieren wir jede Zeile so, dass auf der Hauptdiagonalen nur noch Einsen stehen. Fertig.
- Und wenn die Ausgangsmatrix links zur Einheitsmatrix umgeformt wurde, steht rechts die Matrix , also die inverse Matrix zu .
Beispiel in der Vorlesung.
Lemma: Multiplikationssatz für Determinanten
BearbeitenSeien und zwei -Matrizen. Dann gilt: