Kurs:Mathematik fuer Anwender/Polynome und Nullstellen
Polynome und Nullstellen
BearbeitenDefinition: Polynom und Nullstellen
Bearbeiten- Ist eine Variable und eine natürliche Zahl, so ist ein Polynom in ein Ausdruck der Form , falls Zahlen sind. Ist , so hat das Polynom den Grad .
- Wir sagen für dass ein ganzzahliges, rationales oder reelles Polynom ist, wenn für alle gilt , bzw. .
- Die Menge aller ganzzahligen, rationalen oder reellen Polynome bezeichnen wir mit , bzw. .
- In der Mathematik sind Polynome eigentlich anders definiert als Abbildungen, aber häufig (und wir machen das auch so) werden sie einfach mit der Abbildung (der sogenannten Polynomfunktion) identifiziert. Wir schreiben dann anstelle von .[1]
- Eine Nullstelle eines Polynoms ist eine Lösung der polynomialen Gleichung .
Beispiel: Polynom und Nullstellen
BearbeitenWir betrachten das rationale Polynom . Die zugehörige Polynomfunktion können wir wie folgt veranschaulichen.
Die Nullstellen lesen wir einfach als Schnittstellen des Graphen mit der -Achse ab.
Eine Nullstelle liegt bei und die anderen bei undBetrachten wir hingegen das Polynom , so können wir anhand des Graphen der zugehörigen Polynomfunktion keine reelle Nullstelle ablesen.
Es hat also nicht jedes reelle Polynom automatisch auch eine reelle Nullstelle.
Wir werden später noch einmal auf Polynome zurückkommen.
- ↑ Probleme treten hierbei nur auf, wenn man die Koeffizienten aus endlichen Mengen wählt, nicht aber bei , , etc.