Quantoren

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Wir werden Aussagen über die Elemente einer Menge treffen.
Dabei gab es zwei verschiedene Arten der Aussagen. Zum einen Aussagen, die für alle Elemente einer Menge wahr sind, und zum anderen haben wir Aussagen, die für mindestens ein Element der Menge erfüllt sind.
Dieses ist eine in der Mathematik wesentliche Unterscheidung von Aussagen.

Definition: Allquantor

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Es sei   eine Menge und   eine Aussage in Abhängigkeit von  .
Die Aussage “Für alle   gilt  ” ist genau dann wahr, wenn für alle Elemente   die Aussage   wahr ist.
Wir schreiben  .
Der Ausdruck “für alle” heißt dabei Allquantor.

Beispiel: Allquantor

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  •  .
  •  .

Definition: Existenzquantor

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Es sei   eine Menge und   eine Aussage in Abhängigkeit von  .
Die Aussage “Es existiert ein  , für das   gilt” ist genau dann wahr, wenn es ein Objekt   gibt so, dass die Aussage   wahr ist.
Wir schreiben  .
Der Ausdruck “es existiert” heißt dabei Existenzquantor.

Beispiel: Existenzquantor

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  •  .
  •  .

Lemma: Verneinung Existenzquantor und Allquantor

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Es sei   eine Menge und   eine Aussage in Abhängigkeit von  . Dann gilt:  

Beispiel: Verneinung Existenzquantor und Allquantor

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  • Wir betrachten die Aussage “Alle Insekten haben sechs Beine”. Wenn wir die Negation dieser Aussage bilden, erhalten wir “Nicht alle Insekten haben sechs Beine”; das ist offensichtlich äquivalent zur Aussage “Es gibt (mindestens) ein Insekt mit einer Beinanzahl, die ungleich sechs ist”.
  • Die Aussage   (die übrigens falsch ist), wird negiert von der Aussage “Es gibt kein  , für das   gilt” (in Formeln:  ) und das ist gleichwertig dazu, dass für jede ganze Zahl   ist.

Treten die Quantoren in Kombination auf, so ist die Reihenfolge für die Bedeutung extrem wichtig:

Lemma: Reihenfolge Existenzquantor und Allquantor

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Es seien   und   Mengen und   eine Aussage, die von den Variablen   und   mit   und   abhängig ist.

  •   bedeutet, dass es für jedes   ein (möglicherweise verschiedenes)   gibt so, dass   gilt.
  •   bedeutet, dass es ein   gibt, das für jedes   dasselbe ist, so, dass   gilt.

Beispiel: Reihenfolge Existenzquantor und Allquantor

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Sei   die Menge aller Fußballfans und   die Menge aller Fußballvereine und sei für   und   die Aussage  "`x ist Fan von y."' gegeben.

  heißt, dass jeder Fußballfan auch Fan irgendeines Fußballvereins ist.

  heißt, dass es einen Verein gibt, von dem jeder Fußballfan Fan ist.