Kurs:Mathematische Modellbildung/Lehrerbedarf/Mathematische Grundlagen

Zyklus 1

Bearbeiten

[1] [2] [3]

Prozentrechnung

Bearbeiten
  • Anteil eines Ganzen bestimmen
  • Mithilfe von Bruchrechnung

Grundwert

Bearbeiten

 % entspricht dem Ganzen, das ist dann der Grundwert.

 % entspricht also   des Grundwertes.

Der Grundwert   steht für das Ganze, von dem im Zusammenhang der Aufgabenstellung ausgegangen werden soll.  

"Von   Schülern einer Klasse..."

Prozentwert

Bearbeiten

Der Prozentwert   ist der Teil des Ganzen, um den es im betreffenden Sachzusammenhang geht.  

"... mögen   Schüler keine Prozentrechnung."

Prozentsatz

Bearbeiten

Der Prozentsatz   ist der in % ausgedrückte Anteil, den der Prozentwert am Grundwert hat.  

"Das sind  % der Klasse."

Parameterfunktion

Bearbeiten
  • Funktion, deren Term verschiedene Konstanten enthält (Parameter)
  • Durch Variation der Parameter erhält man verschiedene, miteinander verwandte Funktionen

Die Auswirkungen von Parametern auf Funktionsgraphen allgemein

Bearbeiten

 

  • Streckung in  -Richtung  
  • Stauchung in  -Richtung  
  • Streckung in  -Richtung  
  • Stauchung in  -Richtung  
  • Verschiebung in  -Richtung nach links  
  • Verschiebung in  -Richtung nach rechts  
  • Verschiebung in  -Richtung nach oben  
  • Verschiebung in  -Richtung nach unten  

Trigonometrische Regression

Bearbeiten

Gegeben:

  • Menge von Wertepaaren  
  • Trigonometrische Funktion  

Ziel der trigonometrischen Regression:

  • Parameter  ,  und   so wählen, dass die Menge der Wertepaare möglichst gut approximiert wird
  • Minimale Fehlerquadratsumme   soll so klein wie möglich sein

Zyklus 2

Bearbeiten

[4]

Matrizen

Bearbeiten

Matrix allgemein

Bearbeiten

Ein Zahlenschema mit   Zeilen und   Spalten wird als   bezeichnet  . Ist  , dann ist die Matrix quadratisch. Die Einträge in der Matrix heißen Elemente    , dabei ist   die Zeilennummer und   die entsprechende Spaltennummer.  

Matrizenmultiplikation

Bearbeiten

Eine Multiplikation   für Matrizen ist nur dann definiert, wenn die Matrix   genau so viele Spalten hat, wie die Matrix   Zeilen besitzt. Damit ist sie im Allgemeinen nicht kommutativ.

   


 

Stochastische Matrizen

Bearbeiten
  • Eine Matrix   heißt stochastische Matrix, wenn sie quadratisch ist und für jedes ihrer Elemente   gilt  .
  • Zudem muss die Summe der Elemente in jeder Spalte 1 betragen.
  • Der zu einer stochastischen Matrix gehörende Prozess heißt Austauschprozess.

Austauschprozess

Bearbeiten

Bei einem Austauschprozess gibt das Element   der zugehörigen stochastischen Matrix an, welcher Anteil der Objekte im Zustand   sich bei der nächsten Beobachtung im Zustand   befindet.  

Wechselverhalten

Bearbeiten
  • Die stochastische Matrix   gibt das Wechselverhalten an (Kunden von Café)
  • Die Matrix wird so gelesen, dass in den Spalten die Cafés stehen, von denen die Kunden weggehen und in den Zeilen die Cafés stehen, in die die Kunden wechseln. Also von wo nach wo die Kunden wechseln.
  • Konkret bleiben in diesem Beispiel:  % der Kunden bleiben dem Café A treu,  % der Kunden wechseln von Café A zum Café C. Von Café B nach Café A wechseln beim nächsten Besuch  % der Kunden usw.

Zyklus 3

Bearbeiten

[5]

Logistisches Wachstum

Bearbeiten
  • Modell für Wachstumsprozesse
  • Anpassung des exponentiellen Wachstums um Schranke   (Sättigungsgrenze)
  • Wachstumsprozess zunächst exponentiell, später beschränkt

 


  •  : Anfangswert zum Zeitpunkt   (mit 0 kleiner a kleiner S)
  •  : Sättigungsgrenze (Wert, der maximal möglich ist) mit  
  •  : Wachstumskonstante

Bestimmung (von k)

Bearbeiten
  • Bestimmung einer an Situation angepassten Formel
  • Schätzung der Sättigungsgrenze  
  • Mindestens zwei Wertepaare (Zeitpunkt t=0 und weiteres)
  • Einsetzen in Formel
  • Auflösen nach k

Auflösen nach k

Bearbeiten

Es ergibt sich      

[(*) nach k auflösen]

Literatur/Quellennachweise

Bearbeiten
  1. https://de.serlo.org/mathe/1627/prozent (Stand: 16.01.2022)
  2. https://learnattack.de/schuelerlexikon/mathematik/parameterfunktionen (Stand: 16.01.2022)
  3. https://mathematikalpha.de/trigonometrische-regression(Stand: 06.02.2022)
  4. Lambacher Schweizer - Mathematik für Gymnasien. (2011) (1. Aufl., 1. [Dr.]. Stuttgart, Leipzig: Klett.
  5. http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/RP_Analysis2/K2_Exponentialfunktionen/K9_Wachstum/K93_logWachs/K93_logWachs.html (Stand:05.02.2022)


Siehe auch

Bearbeiten


Seiteninformation

Bearbeiten

Diese Lernresource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Bearbeiten

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Mathematische Modellbildung' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.