Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Grundlagen Sek II

Integralrechnung

• Nutzen: Berechnung des Flächeninhalts zwischen einer Funktion und der x-Achse
• Vorgehensweise: Stammfunktion bilden
• Sonderfall: Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen berechnen (Differenzfunktion bilden)

Bestimmung Stammfunktion Polynomfunktion

• Polynomfunktion dritten Grades: $g(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
• Stammfunktion: $G(x)={\frac {a}{4}}x^{4}+{\frac {b}{3}}x^{3}+{\frac {c}{2}}x^{2}+dx+e$

Kettenregel für Integrale mit innerer linearer Funktion

$\int f(ax+b)dx={\frac {1}{a}}F(ax+b)$

Bestimmung Stammfunktion Sinusfunktion

• Sinusfunktion $f(x)=a\sin(b(x-c))+d$
• Stammfunktion: $F(x)=-{\frac {a}{b}}\cos(b(x-c))+dx+e$

Regressionskurve

• Nutzen: funktionalen Zusammenhang zwischen mehreren Variablen feststellen / beschreiben
• Ziel: Funktion finden, die den Zusammenhang zwischen zwei Größen möglichst gut beschreibt
• häufige Anwendung in der Praxis: Zusammenhang von Messdaten beschreiben, weitere Werte schätzen
• Beispiel: Gerade (linearer Zusammenhang)
• Anwendung in der Modellierung: computergestützt und von Hand

Bedeutung der Parameter bei der Sinusfunktion

• Form der Sinusfunktion: $f(x)=a\sin(b(x-c))+d$
• bekannte Punkte: $Max$ (lokales Maximum) und $Min$ (lokales Minimum)
• Schreibweise: $x_{Max}$, $x_{Min}$, $y_{Max}$, $y_{Min}$ bezeichnen x- bzw. y-Koordinaten der Punkte

Parameter a

• Bedeutung: Amplitudenhöhe (Streckung / Stauchung entlang der y-Achse)
• Standard-Sinusfunktion: y-Koordinaten der Extrempunkte bei -1 und 1, Amplitudenhöhe $a=1$
• Allgemein: $a={\frac {y_{Max}-y_{Min}}{2}}$

Parameter a = 4

Berechnung von a

Parameter b

• Bedeutung: Periodizität (Streckung / Stauchung entlang der x-Achse)
• Bezeichnung Periodenlänge: $p$
• Standard-Sinusfunktion: Periodenlänge $p=2\pi$, Periodizität $b=1$
• Allgemein: Periodenlänge $p=2\cdot (x_{Max}-x_{Min})$, Periodizität $b={\frac {2\pi }{p}}$

Parameter b = 2

Periodenlänge p

Parameter c

• Bedeutung: Verschiebung der Funktion entlang der x-Achse an ($c<0$: Verschiebung nach rechts)
• Standard-Sinusfunktion: $c=0$, Nullstelle bei $x=0$ (in der Mitte zwischen einem Minimum und einem Maximum)
• Allgemein: $c={\frac {x_{Max}-x_{Min}}{2}}$ ($Max$ und $Min$ aufeinanderfolgende Extrempunkte)
• alternativ: um $\pm p$ verschobenen Werte für c möglich (wegen Periodizität)

Abbildung Parameter c

Berechnung von c

Parameter d

• Bedeutung: Verschiebung der Sinusfunktion entlang der y-Achse ($d>0$: Verschiebung nach oben)
• Standard-Sinusfunktion: $d=0$, Wendepunkte bei $y=0$, Extrema bei $y=\pm 1$
• Allgemein: $d={\frac {y_{Max}-y_{Min}}{2}}+y_{Min}$ (bestimmt y-Koordinate der Wendepunkte)

Parameter d = 2

Berechnung von d

Quadratische Abweichung

Seien $x_{1},x_{2},...,x_{n}$ Messwerte und ${\overline {x_{1}}},{\overline {x_{2}}},...,{\overline {x_{n}}}$ zugehörige Mittelwerte. Berechnung der quadratischen Abweichung: $\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x_{i}}})^{2}$

Matrizenschreibweise beim Lösen eines LGS

• Übertragung eines LGS in die Matrixschreibweise $A\cdot x=b$
  • Koeffizienten einer Funktion in eine Zeile schreiben (Koeffizientenmatrix)
  • Spaltenvektor der Variablen: $x$
  • Spaltenvektor der rechten Seite des LGS: $b$

Beispiel

$A\cdot x={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{pmatrix}}=b$

Erweiterte Koeffizientenmatrix

• Vektor $b$ wird an Koeffizientenmatrix $A$ angehängt

$\left({\begin{matrix}A\\\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}b\\\end{matrix}}\right.\right)=$ $\left({\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\left|{\begin{matrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\\\end{matrix}}\right.\right)$

Schnitt Ebene - Gerade

Jede Gerade schneidet eine Ebene im Raum, wenn sie nicht parallel zu ihr ist.

• Gerade in Parameterdarstellung $(x(t),y(t),z(t))$
• wird in die Ebenengleichung $ax+by+cz=d$ eingesetzt: $ax(t)+by(t)+cz(t)=d$
• nach t auflösen
• t in die Geradengleichung einsetzen, um Schnittpunkt zu erhalten

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