Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Grundlagen Uni

Abstand

• Abstand: kürzeste Entfernung zwischen zwei geometrischen Elementen (Punkte, Geraden, Ebenen)
• Beispiel: Abstand zwischen Punkt P und Gerade g
  • Länge der kürzesten Strecke zwischen g und P
  • gesuchte (kürzeste) Strecke: senkrecht auf g, verläuft durch P
  • Konstruktion: Lot von P auf g fällen, Lotfußpunkt A, gesuchte Strecke ist Strecke PA
  • Eindeutigkeit dieser Strecke ergibt sich auf Eindeutigkeit der Lotgeraden von P auf g gibt
• analog: Abstand zwischen Punkt P und Ebene (Hilfsgerade steht senkrecht auf der Ebene)

Abbildung Abstand

Dreidimensionale Funktionen

• Abbildung von $\mathbb {R} ^{2}$ nach $\mathbb {R}$
• Elemente der Definitionsmenge: Punkte $(x,y)$ mit $x,y\in \mathbb {R}$ (Punkte in der Ebene)
• Funktionswerte $f(x,y)=z$: Interpretation z.B. als Höhe

Beschreibung von Flächen in der Ebene

• Nutzen: dreidimensionale Funktionen abschnittsweise definieren
• rechteckige Fläche A mit $x\in [a,b]$ und $y\in [c,d]$: Kreuzprodukt $A=[a,b]\times [c,d]$
  • Beispiel (grünes Quadrat): $[10,20]\times [0,10]$
• dreieckige Flächen erfordern weitere Bedingung:
  • Diagonale als Hilfsgerade (Beispiel: $y=x-10$)
  • Dreieck: Fläche unterhalb der Diagonalen (Beispiel: $y\leq x-10$)
  • Beispiel (blau schraffiertes Dreieck): $A=\{(x,y)\in [10,20]\times [0,10]\,|\,y\leq x-10\}$

Abbildung: Beschreibung von Flächen in der Ebene

Matrizenrechnung

Matrizenaddition

• Voraussetzung: Zeilen- und Spaltenanzahl der Matrizen stimmen übereine
• Addition erfolgt komponentenweise
• Beispiel:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}6&5&4\\3&2&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+6&2+5&3+4\\2+3&3+2&4+1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}7&7&7\\5&5&5\\\end{pmatrix}}$

Skalarmultiplikation

• komponentenweise Multiplikation mit einem Skalar $r\in \mathbb {R}$
• Beispiel:

$5\cdot {\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\cdot 1&5\cdot 2&5\cdot 3\\5\cdot 2&5\cdot 3&5\cdot 4\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&10&15\\10&15&20\\\end{pmatrix}}$

Subtraktion von Matrizen

• nicht eigens definiert
• stattdessen: Hintereinanderausführung von Skalarmultiplikation und Matrizenaddition
• $A-B=A+(-1)\cdot B$
• Beispiel:

${\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}6&5&4\\3&2&1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\\end{pmatrix}}+(-1)\cdot {\begin{pmatrix}6&5&4\\3&2&1\\\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&4\\\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}-6&-5&-4\\-3&-2&-1\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+(-6)&2+(-5)&3+(-4)\\2+(-3)&3+(-2)&4+(-1)\\\end{pmatrix}}$

$={\begin{pmatrix}-5&-3&-1\\-1&1&3\\\end{pmatrix}}$

Gaußsche Summenformel

Berechnung der Summe der ersten $n$ natürliche Zahlen:

$1+2+3+4+\dotsb +n=\sum _{k=1}^{n}k={\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}$

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