Kurs:Mathematische Modellbildung/Modellierung von Produkteigenschaften/Modellierungszyklus 2b

Ziele: Modellierung medizinischer Aspekte

• Anpassung des Rucksacks an die Form eines menschlichen Rückens
• zweidimensionale Darstellung der Rückenform mit Sinus- / Polynomfunktionen
• Bestimmung von Form und Volumen des Polsters zur Ausfüllung des Raumes zwischen Rücken und Rucksack (optimale Druckverteilung ermöglichen)

Modellierung der Rückenform

• Abbildung eines menschlichen Skeletts als Grundlade der Modellierung
• Bestimmung der Funktionen computer-gestützt und von Hand (im Unterricht umsetzbar)

Modellierung einer Sinus-Funktion

Computer-gestützte Modellierung

• Beschreibung des Verlaufs des Rückens in GeoGebra durch zwölf Punkte im Intervall [20,75]
• Befehl "TrendSin" erstellt eine Regressionskurve der Form $a+b\sin(cx+d)$
• Ergebnis: $f_{1}(x)=2.7322+2.2932\sin(0.11964x+0.2434)$

Sinusfunktion mit Punkten

Modellierung von Hand I

• Form: $a\sin(b(x-c))+d$ (in der Schule üblich)
• zur Bestimmung der Parameter nötig: lokale Extrempunkte im Intervall [20,75] ($Min\,(37.4/0.4)$ und $Max\,(63.6/5)$)
• Parameter a (Amplitudenhöhe): $a={\frac {y_{Max}-y_{Min}}{2}}={\frac {5-0.4}{2}}=2.3$
• Periodenlänge $p$: $p=2\cdot (x_{Max}-x_{Min})=2\cdot (63.6-37.4)=2\cdot 26.2=52.4$
• Parameter b (Periodizität): $b={\frac {2\pi }{p}}={\frac {2\pi }{52.5}}\approx 0.12$

Modellierung von Hand II

• Parameter c (Verschiebung in x-Richtung): $c=-1.9$
  • Berechnung durch weitere Extremstellen $x_{1}=11.2$ und $x_{2}=-15$
  • Wendepunkt der Sinuskurve: in der Mitte zwischen diesen beiden Extremstellen (${\frac {11.2+(-15)}{2}}={\frac {-3.8}{2}}=-1.9$)
• Parameter d (Verschiebung in y-Richtung): $d={\frac {y_{Max}-y_{Min}}{2}}+y_{Min}={\frac {5-0.4}{2}}+0.4=2.7$

Modellierung von Hand: Ergebnis

$m_{1}(x)=2.3\sin(0.12\cdot (x-(-1.9))+2.7$

$=2.3\sin(0.12x+0.228)+2.7$

$=2.7+2.3\sin(0.12x+0.228)$

Sinusfunktion von Hand

Modellierung einer Polynomfunktion

Computer-gestützte Modellierung

• Befehl "TrendPoly" berechnet das Regressionspolynom n-ten Grades zu ausgewählten Punkten
• hier: n = 3, Punkte entlang des Rückens
• Ergebnis: $f_{2}(x)=-0.00028754x^{3}+0.042947x^{2}-1.9317x+27.915$

Polynomfunktion mit Punkten

Modellierung von Hand I

• Form: $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$
• bekannte Punkte:
  • Extrempunkte $Min\,(37.4/0.4)$ und $Max\,(63.6/5)$
  • zwei weitere, beliebige Punkte am Rücken, hier: Randpunkte $P(20/3.5)$ und $Q(75/3.2)$
• Einsetzen der Wertepaare in Funktionsgleichung liefert lineares Gleichungssystem in den Parametern $a,b,c,d$

Modellierung von Hand II

${\begin{array}{cccccccccc}(I)&a\cdot 63.6^{3}&+&b\cdot 63.6^{2}&+&c\cdot 63.6&+&d&=&5\\(II)&a\cdot 37.4^{3}&+&b\cdot 37.4^{2}&+&c\cdot 37.4&+&d&=&0.4\\(III)&a\cdot 20^{3}&+&b\cdot 20^{2}&+&c\cdot 20&+&d&=&3.5\\(IV)&a\cdot 75^{3}&+&b\cdot 75^{2}&+&c\cdot 75&+&d&=&3.2\end{array}}$

Modellierung von Hand III

In eine Matrix übertragen ergibt sich:

$\left({\begin{matrix}63.6^{3}&63.6^{2}&63.6&1\\37.4^{3}&37.4^{2}&37.4&1\\20^{3}&20^{2}&20&1\\75^{3}&75^{2}&75&1\\\end{matrix}}\;\left|\;{\begin{matrix}5\\0.4\\3.5\\3.2\\\end{matrix}}\right.\right)$

Modellierung von Hand IV

Lösungsvektor dieses Gleichungssystems:

${\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-0.0003406557\\0.049696076755\\-2.16314727156\\29.609760778868\\\end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}-0.00034\\0.0497\\-2.163\\29.61\\\end{pmatrix}}$

Modellierung von Hand: Ergebnis

$m_{2}(x)=-0.00034x^{3}+0.0497x^{2}-2.164x+29.61$

Polynomfunktion von Hand

Modellierung von Hand: Rechenfehler

• am Ende des Semesters bemerkt: Rechenfehler in der Lösung des LGS
• weitere Modellierung erfolgt mit den ursprünglichen Werten
• korrekter Lösungsvektor:

${\begin{pmatrix}a\\b\\c\\d\\\end{pmatrix}}\approx {\begin{pmatrix}-0.0003088\\0.04547\\-2.002\\27.82\\\end{pmatrix}}$

Abweichungen

Berechnung der quadratischen Abweichungen der modellierten Funktionen von den gegebenen Punkten A bis L (gerundet):

Modellierung des Polsters

Beschreibung und Annahmen

• Ziel: Schulranzen an die Rückenform anpassen
• dazu: Raum zwischen Rücken und Rückseite des Rucksacks mit Polster ausfüllen
• Annahmen zur Bestimmung von Form und Volumen des Polsters:
  • Rückseite des Rucksacks: gerade Fläche, waagrecht zur x-Achse, liegt an der höchsten Stelle des Rückens an
  • Form des Rückens: zweidimensionale Funktion (keine Beachtung von Höhenunterschieden am Rücken in seitlicher Richtung)
• beachte: Funktionen in GeoGebra in realistischem Maßstab bestimmt

Berechnungen I

• Berechnung der Maxima der vier Funktionen im Intervall [20,75]
  • an diesen Stellen: Rucksack berührt Rücken
• Modellierung der Rückseite des Rucksacks als konstante Gerade parallel zur x-Achse auf der jeweiligen Höhe
  • folglich: Rucksackfunktion immer größer oder gleich der zugehörigen Rückenfunktion (für Integrale relevant)

Berechnungen II

• Integralrechnung: Fläche $p$ zwischen Rucksackfunktionen und zugehörigen Rückenfunktionen bestimmen
• Abbildung: $f_{1}$, $r_{f_{1}}$ und $p_{f_{1}}$

Integral der Funktion f1

Berechnungen III

Ergebnisse I

Fläche zwischen Rucksack und Rücken:

Ergebnisse II

• durchschnittliche Schulterbreite von Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren (siehe Rohdaten): $37.24cm$
  • keine Berücksichtigung von Unterschieden zwischen Jungen und Mädchen
• durchschnittliche Schulterbreite als Rucksackbreite und Breite des Polsters gesetzt
• Volumen des Polsters bei den unterschiedlichen Funktionen:

Bewertung

Bewertung I

• Vergleich der Funktionsvorschriften von $f_{1}$ und $m_{1}$ bzw. $f_{2}$ und $m_{2}$:
  • Vorfaktoren zwischen computer-gestützter und händischer Modellierung sehr ähnlich

Bewertung II

• Bewertung der Vorgehensweise für diese Problemstellung durch berechnete Abweichungen:
  • Sinus-Funktionen $f_{1}$ und $m_{1}$ besser geeignet (weniger Abweichung von den gegebenen Punkten als Polynomfunktionen $f_{2}$ und $m_{2}$)
  • computer-gestützt modellierte Funktion $f_{1}$: nur leicht geringere Abweichungen als $m_{1}$ (von Hand)
  • relativ geringer Rechenaufwand bei der Bestimmung der Sinus-Funktion von Hand, gutes Ergebnis (Verfahren gut geeignet)
  • (sehr große Abweichung der von Hand modellierten Polynomfunktion $m_{2}$, hohen Rechenaufwand (Verfahren ungeeignet))

Optimierung

Optimierung I

• vereinfachende Annahme: Form des Rückens nur in vertikaler Richtung beschrieben (Höhenunterschiede in horizontaler Richtung nicht beachtet)
  • Realität: Höhenunterschiede in horizontaler Richtung vorhanden (z.B. durch Position der Wirbelsäule und der Rippen)
  • Zyklus 3: dreidimensionale Modellierung der Rückenform

Optimierung II

• Berechnung des Polstervolumens mit einem Mittelwert für Schulterbreite von Jugendlichen zwischen 12 und 16 Jahren
  • keine Beachtung von Unterschieden der Schulterbreite von Mädchen und Jungen und Veränderung der Schulterbreite mit Wachstum
  • Optimierung: getrennte Modellierung von Rucksäcken für Mädchen und Jungen, evtl. verstellbare Rückenhöhe

Seiteninformation

Diese Lernressource können Sie als Wiki2Reveal-Foliensatz darstellen.

Wiki2Reveal

Dieser Wiki2Reveal Foliensatz wurde für den Lerneinheit Kurs:Mathematische Modellbildung' erstellt der Link für die Wiki2Reveal-Folien wurde mit dem Wiki2Reveal-Linkgenerator erstellt.

• Die Seite wurde als Dokumententyp PanDocElectron-SLIDE erstellt.
• Link zur Quelle in Wikiversity: https://de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Mathematische%20Modellbildung/Modellierung%20von%20Produkteigenschaften/Modellierungszyklus%202
• siehe auch weitere Informationen zu Wiki2Reveal und unter Wiki2Reveal-Linkgenerator.