Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2023-24 Wintersemester/Gleichberechtigung beim Darts

Gleichberechtigung beim Darts

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Gruppenteilnehmer

1. Angela Poprawski
2. Johanna Haas (Wikiversity-User: MathEmatX)
3. Selene Picone
4. Kaan Bauer

Einleitung und Motivation

In diesem Projekt möchten wir uns mit der Frage auseinandersetzen, inwiefern körperliche Varianzen, darunter Körpergröße und Kraftanwendung einen Einfluss auf die Wurfbahn haben. Es wird untersucht, ob die vorgesehenen Anpassungen der Dartscheibe eine Angleichung der Wurfbahn bewirkt und somit eine Gleichberechtigung impliziert. Anschließend werden wir die Ergebnisse deuten, um eine Aussage für die Abweichungen und Unterschiede zwischen Männer-, Frauen- und Para-Dart Spieler:innen treffen zu können. In der Para-Dart Liga wird in unterschiedliche Klassifikationen unterteilt, unter anderem in Kleinwuchs und Rollstuhlfahrer:innen, auf welche hier genauer eingegangen werden .

Ziel des Projekts ist es zu überprüfen, ob die Anpassung der Dartscheibe einen ausgeglichenen Wettbewerb gewährleisten und dadurch die Para-Dartspieler:innen nicht mehr von der Dart-Liga exkludiert werden müssen. Infolgedessen könnte ein Zusammenführen von Para-Dart- und Dart-Liga ermöglicht werden und jeder hätte die Möglichkeit die hohen Preisgelder und darüber hinaus die gesellschaftliche Anerkennung ihrer Leistungen zu gewinnen.

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitsziele

• SDG 3: Gesundheit und Wohlergehen

Es ist allgemein medizinisch sowie statistisch erwiesen, dass die mentale Verfassung genauso viel zur Gesundheit eines Menschen beiträgt wie das physische Wohlbefinden. Schicksalsschläge, die zu einer Einschränkung unseres Körpers führen, üben unwillkürlich Druck auf unsere Psyche aus und erschweren eine mögliche Genesung oder das Einfinden in die neue Lebenssituation. Durch unsere Modellierung möchten wir aufzeigen, ob eine Vereinigung der Para-Dart-Liga und Dart-Liga umgesetzt werden kann, um ein barrierefreies Zusammenkommen aller Parteien zu ermöglichen. Denn Darts ist seit vielen Jahrzehnten ein beliebtes Gesellschaftsspiel. Sei es zu Hause, in einem Pub oder einem Verein, Darts hilft dabei sich in eine Gesellschaft zu integrieren und sich dort einzubringen. Dies unterstützt nachhaltig die Wiedereingliederung in die Gesellschaft und heitert die Lebensgeister all derjenigen auf, die sich in einer herausfordernden Lebenslage befinden.

• SDG 5: Geschlechtergleichheit

Obwohl die rechtliche Gleichstellung von Frauen und Männern bereits erreicht ist, gibt es immer noch zahlreiche Bereiche in unserem alltäglichen Leben, in denen wir auf Grenzen stoßen. Auch im Sport gibt es eine klare Trennung zwischen Frauen-Liga und Herren-Liga, die in vielen Bereichen, basierend auf Kraft- und Körperpotential, auch gerechtfertigt sind. Oft leidet durch diese Geschlechtertrennung allerdings auch die gesellschaftliche Anerkennung der Leistungen der Sportlerinnen. Unsere Modellierung soll Klarheit darüber bringen, ob eine Vereinigung von Frauen- und Herren-Liga im Darts ermöglicht, und somit ein Schritt in die Geschlechtergleichheit auch im Sport erzielt werden kann.

• SDG 10: Weniger Ungleichheiten

Ungleichheiten in unserer Gesellschaft, sei es Einkommen, Alter, Geschlecht, Rasse, Herkommen, Religion oder Behinderung, bilden eine Herausforderung für eine nachhaltige Entwicklung eines Landes. Dies beeinträchtigt nicht nur das Wohlbefinden oder die Chancen einer einzelnen Person, sondern das Gesamtpotenzial aller. Da Sport und Vereine schon immer ein Grundbaustein darstellen, welche sozialen Austausch und Verbundenheit fördern, ist es hier besonders wichtig, Diskriminierungen und soziale Ausgrenzungen jeglicher Art zu eliminieren. Mithilfe unserer Modellierung möchten wir genau dieses Ziel insbesondere unterstützen und fördern. Die Zusammenführung von allen Parteien im sozialen Bereich fördert unwillkürlich das Gemeinschaftsgefühl einer Nation und resultiert in einem friedlicheren und vereintem Zusammenleben.

• SDG 16: Frieden, Gerechtigkeit und starke Institutionen

Mit dem Eintritt des Deutschen Dart-Verbands zur World Disability Darts Association (WDDA) in 2019 wurde ein großer Schritt geleistet in Richtung Gerechtigkeit und Inklusion von Para-Dart-Spieler:innen im Darts Sport. Wenn auch noch relativ jung, wurde 2020 erstmals eine Para-Dart-Saison ausgerichtet, welche erstmals Para-Dart-Spieler:innen eine Plattform bot für ihre Leistungen Aufmerksamkeit und Anerkennung zu erlangen. Ein weiterer Schritt in diese Richtung soll unsere Modellierung bieten. Die hierdurch aufgezeigten Wege zur Einbindung aller in den allgemeinen Darts-Sport soll eine Grundlage für höhere Institutionen bieten, um sich noch gezielter für Gerechtigkeit für alle sowie Abbau von Ungleichheiten einsetzen zu können.

Niveauzuordnung

Sek I / Zyklus I

In Zyklus I wird entsprechend dem Schulwissen der Sekundarstufe I der Wurf eines Darts als lineare Flugbahn vereinfacht und im zweidimensionalen Raum betrachtet. Dabei wird die Wurfgenauigkeit und die damit verbundene Treffsicherheit vernachlässigt. Es wird für den Treffer auf das Bullseye untersucht, inwiefern sich die Körpergröße und der damit einhergehende Abwurfpunkt auf die Flugbahn des Darts auswirkt. Zudem werden die Würfe der verschiedenen Personengruppen im Hinblick auf die Verbesserung der Chancengleichheit der angepassten Dartscheibe verglichen.

Sek II / Zyklus II

Zyklus II orientiert sich am Schulwissen der Oberstufe, womit die Flugbahn des Darts genauer betrachtet werden soll. Anhand von einer konkreten Aufnahme eines Dartwurfs soll die Flugbahn über eine quadratische Funktion dargestellt werden. Die nötigen Daten zur Bestimmung der Funktionsvorschrift werden aus einer Videoaufnahme eines professionellen Dartspielers entnommen. Für die Kategorien, für die keine Videoaufnahmen vorliegen, werden die Funktionsterme mit gleichbleibendem Treffpunkt und angepassten Abwurfpunkt aus der Videoaufnahme hergeleitet. Anschließend wird auf der Grundlage der erstellten Funktionen analysiert, inwiefern die Flugbahnen durch den Einfluss von Körpergröße der Spieler:innen beeinflusst werden. Es wird geschlussfolgert, welche Anpassungen an der Spielkonzeption nötig wären und sinnvoll erscheinen.

Uni Niveau / Zyklus III

Die offiziellen Regeln bei Para-Dart sehen bisher nur freiwillige Anpassungen, wie beispielsweise das Herabsetzten der Dartscheibe, vor . Dies lässt sich durch die vorgenommenen Klassifizierungen der Para-Spieler:innen erklären. Diese werden in Kategorien ähnlicher Benachteiligung eingeteilt, um so die Chancengleichheit herzustellen, indem dieselben Voraussetzungen bei den Kontrahent:innen geschaffen sind. Ist das Ziel jedoch, die Para-Dart-Spieler in die gängige Dart-Liga aufzunehmen, gilt die Gleichheit der Voraussetzungen bei den Spieler:innen nicht mehr. Es benötigt entweder eine adäquate Anpassung in der Spielkonzeption oder eine Anpassung der Punktevergabe. Da in Zyklus I und II der Fokus auf der adäquaten Anpassung lag, wird diese ebenfalls in Zyklus III untersucht. Dazu werden Abwurfwinkel, Abwurfgeschwindigkeit und der Kraftaufwand überprüft und verglichen.

Verwendete Programme

• GeoGebra
• Maxima
• Tabellenkalkulation (Excel, LibreOfficeCalc)

Modellierungszyklus I

midi

Beim Darts wird auf eine kreisrunde Scheibe geworfen, die in verschiedene Segmente eingeteilt ist. In der Mitte der Scheibe befindet sich ein roter Kreis, der Bullseye genannt wird. Das Bullseye liegt 2.37m von der erlaubten Abwurflinie entfernt auf einer Höhe von 1.73m .

Als Werferinnen und Werfer werden die vier Personengruppen Männer, Frauen, Rollstuhlfahrende und kleinwüchsige Personen betrachtet. Für die Körpergrößen der Frau und des Manns werden die Durchschnittsgrößen aus Deutschland genommen . Die Größe des Rollstuhlfahrers haben wir anhand einer im Rollstuhl sitzenden Person eigenhändig abgemessen. Um einen sichtbaren Unterschied zwischen Rollstuhlfahrern und Kleinwüchsigkeit zu erhalten, wurde die Größe der kleinwüchsigen Person im Rahmen der Zulassung für die Kategorie Kleinwuchs im Para-Dart geringer gewählt. Die Werte für die Größen betragen:

Mann: 1,789m → Abwurf: 1,70m

Frau: 1,658m → Abwurf: 1,60m

Rollstuhlfahrer: 1,45m → Abwurf: 1,31m

Kleinwüchsige Person: 1,30m → Abwurf: 1,24m

In unserer Datei beschreibt der Punkt am Kopf die Körpergröße der Personen. Der Punkt „Abwurf“ beschreibt die Höhe des Abwurfes des Pfeiles. Alle Personengruppen werfen auf das Bullseye, damit die Wurfbahnen vergleichbar sind. Der Wurf wird durch eine lineare Funktion beschrieben, die die allgemeine Funktionsvorschrift $f(x)=m\cdot x+b$ besitzt. In dieser steht $m$ für die Steigung und $b$ für den y-Achsenabschnitt. Um den Funktionsterm für eine Personengruppe zu erhalten, benötigt man den Punkt des Abwurfes und den Punkt des Bullseyes. Mit den Koordinaten der zwei Punkte kann man die Steigung mit

$m={\frac {y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}}$

berechnen. Der y-Achsenabschnitt ergibt sich aus der Abwurfhöhe, da die Spielerinnen und Spieler an der Stelle $x=0$ abwerfen. Das Bullseye hat die Koordinaten $(2,37|1,73)$. Mit dieser Information werden nachfolgend die linearen Funktionen für die einzelnen Personengruppen bestimmt.

Mann

Abwurf $(0|1,7)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,M}}{x_{B}-x_{A,M}}}={\frac {1,73-1,7}{2,37-0}}={\frac {0,03}{2,37}}$

$b=1,7$

$=>f_{M}(x)={\frac {0,03}{2,37}}\cdot x+1,7$

Frau

Abwurf $(0|1,6)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,F}}{x_{B}-x_{A,F}}}={\frac {1,73-1,6}{2,37-0}}={\frac {0,13}{2,37}}$

$b=1,6$

$=>f_{F}(x)={\frac {0,13}{2,37}}\cdot x+1,6$

Rollstuhlfahrer:in

Abwurf $(0|1,31)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,R}}{x_{B}-x_{A,R}}}={\frac {1,73-1,31}{2,37-0}}={\frac {0,42}{2,37}}$

$b=1,31$

$=>f_{R}(x)={\frac {0,42}{2,37}}\cdot x+1,31$

Kleinwüchsige Person

Abwurf $(0|1,24)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,K}}{x_{B}-x_{A,K}}}={\frac {1,73-1,24}{2,37-0}}={\frac {0,49}{2,37}}$

$b=1,24$

$=>f_{K}(x)={\frac {0,49}{2,37}}\cdot x+1,24$

Die Funktionen wurden in Geogebra geplottet, auf das Intervall $[0;2,37]$ beschränkt und sind in der folgenden Abbildung zu sehen.

Nach den Regeln der Para-Dart-Liga wird eine Anpassung vorgenommen, wobei das Bullseye auf die Höhe 1.37m heruntergesetzt wird. Damit lauten die Koordinaten des Bullseye $(2,37|1,37)$. Aufgrunddessen verändern sich die Flugbahnen für die Personengruppen, wofür die linearen Funktionen im Folgenden bestimmt werden.

Mann (angepasst)

Abwurf $(0|1,7)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,M}}{x_{B}-x_{A,M}}}={\frac {1,37-1,7}{2,37-0}}={\frac {-0,33}{2,37}}$

$b=1,7$

$=>f_{M,angepasst}(x)={\frac {-0,33}{2,37}}\cdot x+1,7$

Frau (angepasst)

Abwurf $(0|1,6)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,F}}{x_{B}-x_{A,F}}}={\frac {1,37-1,6}{2,37-0}}={\frac {-0,23}{2,37}}$

$b=1,6$

$=>f_{F,angepasst}(x)={\frac {-0,23}{2,37}}\cdot x+1,6$

Rollstuhlfahrer:in (angepasst)

Abwurf $(0|1,31)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,R}}{x_{B}-x_{A,R}}}={\frac {1,37-1,31}{2,37-0}}={\frac {0,06}{2,37}}$

$b=1,31$

$=>f_{R,angepasst}(x)={\frac {0,06}{2,37}}\cdot x+1,31$

Kleinwüchsige Person (angepasst)

Abwurf $(0|1,24)$

$m={\frac {y_{B}-y_{A,K}}{x_{B}-x_{A,K}}}={\frac {1,37-1,24}{2,37-0}}={\frac {0,13}{2,37}}$

$b=1,24$

$=>f_{K,angepasst}(x)={\frac {0,13}{2,37}}\cdot x+1,24$

In der folgenden Abbildung werden die in Geogebra geplotteten Funktionen angezeigt, wobei der Definitionsbereich auf das Intervall $[0;2,37]$ beschränkt ist.

Für eine bessere Veranschaulichung im Unterricht mit einer Schülerschaft, haben wir eine zweite Datei angefertigt. In dieser haben wir einen Wurf modelliert, der in Abhängigkeit der Größe der Person sich verändert. Anhand dieser Modellierung kann man betrachten, wie die Wurfbahn und die dazugehörige Funktion sich verändern.

Schlussfolgerungen des Zyklus I

Zum Ende des ersten Modellierungszyklus werden die linearen Funktionen bzw. die Wurfbahnen der unangepassten Dartscheibe mit denen des angepassten Dartboard verglichen. Dafür werden alle ermittelten Funktionen in Geogebra dargestellt.

Aus der Abbildung geht ohne Berechnung hervor, dass nach unten geworfen wird, wenn die Höhe des Abwurfs oberhalb des Bullseye liegt und es wird nach oben geworfen, wenn die Abwurfhöhe unterhalb des Bullseye liegt. Je stärker sich die Höhe des Abwurfes von der Höhe des Bullseye unterscheidet, desto steiler muss geworfen werden. Des Weiteren hängt die Länge des Wurfweges vom Unterschied zwischen der Abwurfhöhe und der Höhe des Bullseye ab. Je größer diese Differenz ist, desto länger wird der Wurfweg.

Die Anpassung der Dartscheibe ist gemäß den Regeln nur für die Personengruppen Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs vorgesehen. Um die Wirksamkeit dieser Anpassung festzustellen, werden die Personengruppen mit vorgesehenen Anpassungen (Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs) mit den Personengruppen ohne Anpassungen (Frau und Mann) verglichen. Daher werden von allen linearen Funktionen die Angepassten für Mann und Frau sowie die Unangepassten von Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs ausgeblendet.

Bei Betrachtung der konkreten Funktionsvorschriften der Flugbahnen in Bezug auf $f(x)=m\cdot x+b$, dem allgemeinen Funktionsterm einer linearen Funktion, wird die Variable $b$ beim Vergleich zweier Personengruppen ignoriert, da der Wert für den y-Achsenabschnitt durch die Körpergröße vorbestimmt ist. Als erstes fällt auf, dass der Dartwurf des Manns geringfügig von dem Dartwurf der Personengruppe Rollstuhlfahrer:in abweicht.

$f_{M}(x)={\frac {0,03}{2,37}}\cdot x+1,7$

$f_{R,angepasst}(x)={\frac {0,06}{2,37}}\cdot x+1,31$

Vergleicht man die Zähler der Brüche erkennt man, dass diese um 0,03 voneinander abweichen. Dieser Unterschied ist minimal, woraus man schließen kann, dass die Anpassung eine Chancengleichheit zwischen den Personengruppen Mann und Rollstuhlfahrer:in herbeiführt.

Ein Vergleich zwischen den Personengruppen Frau und Kleinwuchs ergibt folgende Resultate.

$f_{F}(x)={\frac {0,13}{2,37}}\cdot x+1.6$

$f_{K,angepasst}(x)={\frac {0,13}{2,37}}\cdot x+1,24$

An diesen zwei linearen Funktion lässt sich feststellen, dass diese parallel zueinander sind, da die Steigungen übereinstimmen. Das bedeutet, dass die Personengruppen Frau und Kleinwuchs durch die Anpassung ausgeglichen sind.

Aus den vorangegangenen Vergleichen resultiert, dass die Anpassung teilweise sinnvoll erscheint. Zwar stellt die Anpassung eine Verbesserung der Chancengleichheit zwischen einzelnen Personengruppen dar, jedoch gilt dies nicht gleichermaßen für alle Gruppen. Für das Niveau der Sekundarstufe I ist dies eine gängige Modellierung, die mit den bisher erlernten Werkzeugen erreicht werden kann. Allerdings sieht man, dass diese Darstellung einer Wurfbahn des Darts mit linearen Funktionen unrealistisch erscheint, weshalb erst im Zyklus II mit einer neuen Herangehensweisen eine genauere Antwort errechnet wird.

Modellierungszyklus II

Zyklus I soll nun verbessert werden, denn die Wurfbahn ist zu sehr vereinfacht, um sie als realistisch anzuerkennen. Wie Schüler:innen der Sekundarstufe 1 dies vermutlich auch erkennen dürften, findet ein Wurf in der Realität nicht geradlinig statt. Der Dart befindet sich im Gravitationsfeld der Erde und wird deshalb durch die Gewichtskraft zum Erdmittelpunkt hin abgelenkt. Mithilfe der Physik soll nun fächerübergreifend die Flugbahn des Darts angepasst werden. Um zunächst erste Ideen für die generelle Flugbahn eines Darts in der Realität zu erhalten, wird ein Video eines Dartwurfs des Profispielers Phil Taylor als Referenz genommen . Das Zeitraffervideo legt die Vermutung nahe, dass es sich um eine Parabel, genauer eine quadratische Funktion handelt. Durch das Video werden wichtige Punkte, wie Abwurfhöhe, Hochpunkt und Auftreffpunkt ermittelt und dann auf die Standardgröße für Männer von 1,79m übertragen. Anschließend wird anhand der drei Bedingungen ein lineares Gleichungssystem aufgestellt, welches durch Maxima gelöst werden soll, um die Funktionsvorschrift zu erhalten. Dass sich die Flugbahn des Darts tatsächlich über eine Parabel annähern lässt, kann über eine physikalische Betrachtung des Prozesses hergeleitet werden.

Herleitung der Wurfparabel

Betrachtet man den Wurf in einem zweidimensionalen Koordinatensystem und nimmt an, dass Reibungskräfte vernachlässigbar sind, wirkt die Gewichtskraft in die negative y-Richtung. Dadurch gilt

$F=-m\cdot g$,

worin $m$ für die Masse des Darts und $g$ für die Erdbeschleunigung steht. Setzt man das zweite Newtonsche Axiom $F=m\cdot a_{Ph}$ ein, erhält man die Gleichung

$m\cdot a_{Ph}=-m\cdot g$.

Die Masse $m$ lässt sich nun auf beiden Seiten kürzen, sodass

$a_{Ph}=-g$

übrig bleibt. Berücksichtigt man, dass die Beschleunigung $a_{Ph}$ der zweiten Ableitung des Ortes nach der Zeit entspricht, geht daraus die folgende Differentialgleichung hervor

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-g$.

Eine Funktion, die diese Differentialgleichung löst, ist:

$y(t)=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}+b\cdot t+c$.

Mit $a=-{\frac {1}{2}}\cdot g$, $x=t$ und $f=y$ entsteht

$f(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$.

Dies entspricht dem Funktionsterm einer quadratischen Funktion, womit die Flugbahn des Darts durch eine Parabel veranschaulicht werden kann.

Die Flugbahn des Darts

Da gezeigt wurde, dass sich die Flugbahn des Darts durch eine Parabel darstellen lässt, werden für das Aufstellen eines Funktionsterms hinsichtlich der Funktionsvorschrift einer quadratischen Funktion drei Informationen benötigt. Für den Dartwurf des Manns wurden dem Video diese drei Punkte entnommen:

1. Abwurf $(0|1.73)$

2. Treffpunkt $(2.37|1.83)$

3. Hochpunkt $(1.5|1.88)$.

Aus diesen Informationen werden mit der Funktionsvorschrift $f(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$ und der Ableitung $f'(x)=2\cdot a\cdot x+b$, in denen die Variablen $a,b$ und $c$ aus den reellen Zahlen stammen, die drei folgenden Bedingungen aufgestellt:

1. $f(0)=a\cdot 0^{2}+b\cdot 0+c=1.73$

2. $f(2.37)=a\cdot 2.37^{2}+b\cdot 2.37+c=1.83$

3. $f'(1.5)=2\cdot a\cdot 1.5+b=0$.

Diese Bedingungen ergeben ein lineares Gleichungssystem, dessen Lösung mit Maxima errechnet wird und in der folgenden Abbildung zu sehen ist.

Aus den Werten für die Variablen und der Funktionsvorschrift geht ein Funktionsterm hervor, der in Geogebra geplottet werden kann.

Selbiges Vorgehen wird auch für die anderen drei teilnehmenden Kategorien (Frau, Rollstuhlfahrer:innen, Kleinwuchs) erstellt. Hierbei muss beim Abwurf (1.Bedingung) die y-Komponente auf die jeweilige Abwurfhöhe und die x-Koordinate beim Hochpunkt (3.Bedingung) geändert werden. Letzteres folgt aus der Tatsache, dass der Dart möglichst senkrecht auf der Dartscheibe auftreffen soll. Je kleiner die Werfenden sind, desto näher wird sich der Hochpunkt am Dartboard befinden. Der Treffpunkt (2.Bedingung) bleibt für alle Spieler:innen gleich.

Die ermittelten Funktionsvorschriften der Flugbahnen lauten:

Mann: $w_{M}(x)=-0.0669\cdot x^{2}+0.2009\cdot x+1.73$

Frau: $w_{F}(x)=-0.094\cdot x^{2}+0.3203\cdot x+1.6$

Rollstuhlfahrer:in: $w_{R}(x)=-0.1534\cdot x^{2}+0.58\cdot x+1.31$

Kleinwuchs: $w_{K}(x)=-0.1527\cdot x^{2}+0.6109\cdot x+1.24$

In der folgenden Abbildung sind die Funktionen in Geogebra geplottet, wobei der Definitionsbereich auf das Intervall Intervall $[0;2.37]$ beschränkt ist.

Nun soll überprüft werden, ob die von der Para-Dart Liga erlaubte Anpassung an der Dart-Scheibe eine Verbesserung der Chancengleichheit bewirkt. Laut den Regeln darf die Dart-Scheibe nach Absprache der Teilnehmer:innen herabgesetzt werden, sodass sich das Bullseye auf einer Höhe von 1,37m befindet.

Um die Flugbahnen der Dartwürfe mit und ohne Anpassung vergleichen zu können, müssen die Funktionen der Dartwürfe mit angepasster Dartscheibe ermittelt werden. Dies erfolgt nach selbigem Vorgehen, wie für die Dartwürfe ohne Anpassung.

Zunächst wird die Flugbahn des Dartwurfs für einen Mann mit durchschnittlicher Körpergröße bestimmt, wobei der Abwurfpunkt gleich bleibt. Der Auftreffpunkt wird auf der Höhe 1.47m angesetzt, da der Treffpunkt des Darts in der Modellierung ohne Anpassung ebenfalls 10cm über dem Bullseye lag. Der Hochpunkt des Wurfes wird über die erste Ableitung bestimmt. Es gilt weiterhin die Annahme, dass der Dart senkrecht auf der Dartscheibe auftrifft. In Kombination mit dem Fakt, dass sich der Treffpunkt des Darts auf der Scheibe bei Mann und Frau unterhalb der Abwurfhöhe befindet, wird geschlussfolgert, dass der Hochpunkt der Flugbahn nah am Abwurfpunkt liegt.

Für die untersuchte Kategorie "Mann" soll der Hochpunkt 0,1m vom Abwurfpunkt entfernt sein. Das Verfahren zur Modellierung der Flugbahn aus dem unangepassten Fall wird für die angepasste Dartscheibe wiederholt, indem ein lineares Gleichungssystem aus drei Bedingungen (Abwurfpunkt, Treffpunkt und Hochpunkt) aufgestellt wird, welches mit Maxima gelöst wird.

Für die übrigen Kategorien Frau, Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs wird dies gleichermaßen durchgeführt. Der Abwurfpunkt (1.Bedingung) kann aus der Berechnung der Flugbahn ohne Anpassung übernommen werden. Der Treffpunkt (2.Bedingung) bleibt identisch. Der Hochpunkt (3. Bedingung) wird, je kleiner der Werfende ist, näher an den Auftreffpunkt heranrücken. Da sich der Abwurfpunkt bei der Kategorie Frau über dem Auftreffpunkt befindet, wird der Hochpunkt näher am Abwurfpunkt liegen. Für die Kategorien Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs wird sich der Hochpunkt nah am Treffpunkt befinden, da die jeweiligen Abwurfhöhen niedriger als die Höhe des Treffpunkts gelegen sind.

Die Funktionsvorschriften für die Flugbahnen mit angepasster Dartscheibe lauten:

Mann: $w_{M,angepasst}(x)=-0.05\cdot x^{2}+0.0101\cdot x+1.73$

Frau: $w_{F,angepasst}(x)=-0.027\cdot x^{2}+0.0111\cdot x+1.6$

Rollstuhlfahrer:in: $w_{R,angepasst}(x)=-0.033\cdot x^{2}+0.146\cdot x+1.31$

Kleinwuchs: $w_{K,angepasst}(x)=-0.0435\cdot x^{2}+0.2\cdot x+1.24$

Im Anschluss werden die ermittelten Flugbahnen auf die angepasste Dartscheibe in Geogebra mit der Einschränkung des Definitionsbereichs auf das Intervall $[0;2.37]$ geplottet.

Schlussfolgerungen des Zyklus II

Zum Abschluss des zweiten Modellierungszyklus werden die Wurfparabeln der unangepassten Dartscheibe mit denen der angepassten Scheibe verglichen. Dazu werden alle ermittelten Funktionen in Geogebra dargestellt.

Da sich die ausgewählten Personengruppen Frau und Mann geringfügig in der Größe unterscheiden, ähneln sich die Flugbahnen. Für die Personengruppen Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs gilt dies ebenso. Von der Gruppe Frau zu Rollstuhlfahrer:in liegt jedoch ein Größenunterschied von circa 30 cm vor, wodurch sich die Wurfparabeln deutlich verändern. Die Regeln zur Anpassung des Dartspiels gelten für die Personengruppen Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs unter die alle Geschlechter fallen. Bei den Spieler:innen ohne Spielbeeinträchtigung wurde jedoch eine Teilung anhand der Geschlechter männlich und weiblich vorgenommen. Um die Auswirkungen der Anpassung des Darts festzustellen, werden die Personengruppen mit vorgesehenen Anpassungen (Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs) mit den Personengruppen ohne Anpassungen (Frau und Mann) verglichen. Deshalb werden von allen Flugbahnen die Angepassten für Mann und Frau sowie die Unangepassten von Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs ausgeblendet.

Aus der Abbildung lässt sich direkt visuell ableiten, dass die Flugverläufe der angepassten und unangepassten Flugbahnen ähnlich sind. Bei Betrachtung der konkreten Funktionsvorschriften der Flugbahnen in Bezug auf $f(x)=a\cdot x^{2}+b\cdot x+c$, dem allgemeinen Funktionsterm einer Parabel, fällt auf, dass der Dartwurf des Manns nur geringfügig von dem des Kleinwüchsigen abweicht.

$w_{M}(x)=-0.0669\cdot x^{2}+0.2009\cdot x+1.73$

$w_{K,angepasst}(x)=-0.0435\cdot x^{2}+0.2\cdot x+1.24$

Weil die Variable $c$ die Abwurfhöhe angibt, kann dieser Unterschied, der zwischen den Funktionsvorschriften vorliegt, unbeachtet bleiben. Die Variable $b$ weicht im Vergleich nur um 0.0009 ab, was vernachlässigbar ist. Hinsichtlich des Koeffizienten $a$ ist eine größere Abweichung von 0.02 vorzufinden, welche im Zusammenhang mit der Abbildung eine geringfügige Veränderung zeigt. Die näherungsweise Übereinstimmung der Funktionsvorschriften zeigt, dass die Anpassung der Dartscheibe für die Personengruppe Kleinwuchs eine Angleichung der Flugbahn und somit eine Chancengleichheit bewirkt.

Anhand der Funktionsvorschriften der Personengruppe Frau, lässt sich schlussfolgern, dass die Personengruppe Frau aufgrund des Größenunterschieds zum Mann einen Nachteil erhält. Dieser ist allerdings auch bei der angepassten Dartscheibe vorzufinden.

$w_{M}(x)=-0.0669\cdot x^{2}+0.2009\cdot x+1.73$

$w_{F}(x)=-0.094\cdot x^{2}+0.3203\cdot x+1.6$

$w_{F,angepasst}(x)=-0.027\cdot x^{2}+0.0111\cdot x+1.6$

Der Koeffizient $a$ weicht für die Frau im Vergleich zum Mann bei der unangepassten Scheibe um 0.0271 bei der angepassten Scheibe um 0.04 ab. Ähnlich sieht es beim Vorfaktor $b$ aus, denn hierbei beträgt die Differenz zum Mann beim unangepassten Wurf 0.1194 und beim angepassten Wurf 0.1898. Die Frau erhält in beiden Fällen eine Benachteiligung, die sie durch ihre Spielweise ausgleichen muss. Dennoch zeigt sich beim Vergleich der Funktionsvorschriften, dass es für die Personengruppe Frau sinnvoller wäre ohne Anpassung zu spielen. Ansonsten wäre der auszugleichende Unterschied größer.

Ein Vergleich zwischen den Personengruppen Mann und Rollstuhlfahrer:in ergibt folgende Resultate.

$w_{M}(x)=-0.0669\cdot x^{2}+0.2009\cdot x+1.73$

$w_{R}(x)=-0.1534\cdot x^{2}+0.58\cdot x+1.31$

$w_{R,angepasst}(x)=-0.033\cdot x^{2}+0.146\cdot x+1.31$

Es fällt auf, dass es sowohl im unangepassten als auch im angepassten Fall merkliche Differenzen bei den Koeffizienten $a$ und $b$ gibt. Der Faktor $a$ weicht im unangepassten Fall um 0.0865 und im angepassten Falle um 0.0339 ab. Beim Koeffizienten $b$ beläuft sich die Differenz im unangepassten Fall auf 0.3791 und im angepassten Falle auf 0.0549. In beiden Fällen muss die Gruppe der Rollstuhlfahrer:innen, ähnlich wie bei der Gruppe Frau, die Unterschiede durch das eigene Können ausgleichen. Im Gegensatz zur Personengruppe Frau ergibt sich, dass es für die Gruppe der Rollstuhlfahrer:innen sinnvoller wäre aufgrund geringerer Abweichungen mit der Anpassung zu spielen.

Insgesamt lässt sich aus den aufgeführten Ergebnissen folgern, dass die Anpassung der Dartscheibe für die Personengruppe der Kleinwüchsigen eine Chancengleichheit gegenüber der Personengruppe Mann bewirkt. Für die Personengruppe Frau ist diese jedoch nicht geeignet, da der Flugverlauf des Darts ohne die Anpassung der Flugbahn beim Mann eher entspricht. Dasselbe gilt für die Rollstuhlfahrer:innen, wobei die Anpassung hier eine bessere Ausgangslage ermöglicht.

Vergleicht man diese Schlussfolgerungen mit den Ergebnissen aus Zyklus I fällt auf, dass die Anpassung der Dartscheibe abweichende Gruppen begünstigt. Während bei Zyklus I eine nahezu gleiche Chancengleichheit zwischen den Personengruppen Mann und Rollstuhlfahrer:in, und Frau und Kleinwuchs erreicht wird, gleicht die Anpassung im Zyklus II lediglich die Personengruppen Mann und Kleinwuchs an. Dies zeigt, dass die Modellierung aus Zyklus I bessere Resultate für die Anpassung der Dartscheibe liefert. Jedoch macht Zyklus II deutlich, dass die Vereinfachung der Flugbahnen auf einen linearen Zusammenhang aus Zyklus I den realen Fall verfälscht. Sobald die Flugbahn durch eine Parabel präzisiert wird, gleicht die Anpassung lediglich die Chancen von zwei Personengruppen an.

Wenn für alle Personengruppen eine tatsächliche Chancengleichheit eintreten soll, dann müsste für jede existierende Körpergröße eine Anpassung der Dartscheibe berechnet werden. Zudem müsste während eines Spiels für jede Spieler:in die Dartscheibe neu angepasst werden, was den Spielverlauf wahrscheinlich maßgeblich stören würde. Daher erscheint die angepasste Dartscheibe ein guter Kompromiss zu sein, der zumindest die Chancen zwischen Personen mit und ohne Behinderung angleicht.

Modellierungszyklus III

Der Vergleich zwischen Zyklus I und Zyklus II hat ergeben, dass die Anpassung der Dartscheibe im vereinfachten Fall eine größere Verbesserung der Chancengleichheit ermöglicht als der realistischere Fall über Parabeln aus Zyklus II. Es soll nun untersucht werden, ob sich dies weiter fortsetzt, wenn man die Modellierung der Dartwürfe noch näher an den realen Fall anpasst. Daher werden im Modellierungszyklus III die Wurfbahnen im dreidimensionalen Raum betrachtet. Als Parameter werden der Abwurfwinkel und insbesondere der Kraftaufwand des Werfenden untersucht. Dafür werden zunächst für alle Personengruppen Wurfdaten erhoben, bei denen von verschiedenen Positionen auf der Abwurflinie geworfen wird. Neben dem Abwurfwinkel wird außerdem die Flugdauer gemessen. Über die Flugzeit des Darts kann die Anfangsgeschwindigkeit des Darts bestimmt werden und darüber wiederum der benötigte Kraftaufwand des Werfenden.

Herleitung der Flugbahn im dreidimensionalen Raum

In den vorherigen Zyklen wurden die Wurfbahnen im zweidimensionalen Raum betrachtet. Nun soll der Wurf im dreidimensionalen Raum modelliert werden. Die nachfolgende Abbildung zeigt eine Skizze des Wurfs in einem dreidimensionalen Koordinatensystem.

Zur Beschreibung der Flugbahn wird gemäß dieser Abbildung der Ortsvektor

${\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\\\end{pmatrix}}$

benötigt, um die Bahnkurve des Darts darzustellen. Da es sich um einen dynamischen Prozess handelt, hängen die Koordinaten von der Zeit ab, wofür im Folgenden entsprechende Funktionen hergeleitet werden.

Dafür wird zunächst der Wurf aus der Vogelperspektive betrachtet, wodurch die x- und y-Koordinate des Ortsvektors im Fokus liegen.

Vernachlässigt man jegliche Reibungseffekte, unterliegt die Bewegung in x- und y-Richtung keinen Kräften. Deshalb werden für diese Ortskomponenten die Formeln für die gleichförmige Bewegung aus der Physik herangezogen. Mit diesen ergibt sich:

$x(t)=-v_{0,x}\cdot t+x_{0}$ ,

$y(t)=v_{0,y}\cdot t+y_{0}$ .

Darin entsprechen $v_{0,x}$ und $v_{0,y}$ den Anfangsgeschwindigkeiten in x- und y-Richtung. Die Größen $x_{0}$ und $y_{0}$ beschreiben den Abwurfpunkt in der x- und y-Koordinate. Aufgrund der Lage des Koordinatensystems ist $y_{0}=0$ , womit

$y(t)=v_{0,y}\cdot t$

gilt. Stellt man $x(t)$ auf $t$ um und setzt dies in $y(t)$ ein, erhält man

$y(x(t))={\frac {v_{0,y}}{v_{0,x}}}\cdot (x_{0}-x(t))$ .

Aus der Abbildung leiten sich mit Hilfe der Trigonometrie für $v_{0,x}$ und $v_{0,y}$

$sin(\beta )={\frac {v_{0,x}}{v_{xy}}}\leftrightarrow v_{0,x}=v_{xy}\cdot sin(\beta )$

und

$cos(\beta )={\frac {v_{0,y}}{v_{xy}}}\leftrightarrow v_{0,y}=v_{xy}\cdot cos(\beta )$

her. Durch das Einsetzen dieser Formeln in $y(x(t))$ ergibt sich

$y(x(t))={\frac {v_{xy}\cdot cos(\beta )}{v_{xy}\cdot sin(\beta )}}\cdot (x_{0}-x(t))=cot(\beta )\cdot (x_{0}-x(t))$ .

In der Formel kommt der Winkel $\beta$ vor, der als Positionswinkel bezeichnet wird.

Neben der Vogelperspektive wird für eine weitere Herleitung der Wurf aus der Seitenansicht betrachtet.

Dabei liegt der Fokus auf der y- und z-Richtung des Wurfes und es werden weiterhin Reibungskräfte vernachlässigt. Allerdings wirkt in z-Richtung auf den Dart die Gewichtskraft, wodurch in der z-Koordinate eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung stattfindet. Aus der vorangegangenen Herleitung wird die gleichförmige Bewegung in y-Richtung übernommen. Deshalb gilt mit den Formeln aus der Physik:

$y(t)=v_{0,y}\cdot t$

$z(t)=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}+v_{0,z}\cdot t+z_{0}$.

Das Umstellen von $y(t)$ auf $t$ und das Einsetzen dessen in $z(t)$ liefert

$z(y(t))=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {y(t)^{2}}{(v_{0,y})^{2}}}+v_{0,z}\cdot {\frac {y(t)}{v_{0,y}}}+z_{0}$.

Mit Hilfe der Trigonometrie lässt sich aus der Seitenansicht für $v_{0,y}$ und $v_{0,z}$

$sin(\alpha )={\frac {v_{0,z}}{v_{yz}}}\leftrightarrow v_{0,z}=v_{yz}\cdot sin(\alpha )$

und

$cos(\alpha )={\frac {v_{0,y}}{v_{yz}}}\leftrightarrow v_{0,y}=v_{yz}\cdot cos(\alpha )$

herleiten. Damit schreibt sich $z(t)$ um zu

$z(y(t))=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {y(t)^{2}}{(v_{yz}\cdot cos(\alpha ))^{2}}}+{\frac {v_{yz}\cdot sin(\alpha )}{v_{yz}\cdot cos(\alpha )}}\cdot y(t)+z_{0}$

$\leftrightarrow z(y(t))=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {y(t)^{2}}{(v_{yz}\cdot cos(\alpha ))^{2}}}+tan(\alpha )\cdot y(t)+z_{0}$.

In dieser entspricht $g$ der Erdbeschleunigung mit $g=9,81{\frac {m}{s^{2}}}$. Des Weiteren steht das $v_{yz}$ für die Anfangsgeschwindigkeit des Darts in der y-z-Richtung, der Winkel $\alpha$ für den Abwurfwinkel und $z_{0}$ für die Abwurfhöhe.

Da beide Perspektiven über die y-Koordinate miteinander gekoppelt sind, können diese zusammengefügt werden. Setzt man in der letztgenannten Formel für das $y(t)$ das von der Vogelperspektive ergebene $y(x(t))$ ein, so erhält man

$z(y(x(t)))=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {y(x(t))^{2}}{(v_{yz}\cdot cos(\alpha ))^{2}}}+tan(\alpha )\cdot y(x(t))+z_{0}$

$\leftrightarrow z(x(t))=-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {(cot(\beta )\cdot (x_{0}-x(t)))^{2}}{(v_{yz}\cdot cos(\alpha ))^{2}}}+tan(\alpha )\cdot cot(\beta )\cdot (x_{0}-x(t))+z_{0}$.

Aus den hergeleiteten Funktionen für die einzelnen Ortskomponenten resultiert die folgende Bahnkurve

${\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\\z(t)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-v_{0,x}\cdot t+x_{0}\\v_{0,y}\cdot t\\-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot t^{2}+v_{0,z}\cdot t+z_{0}\\\end{pmatrix}}$

$\leftrightarrow {\vec {r}}(t)={\begin{pmatrix}x(t)\\y(x(t))\\z(x(t))\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-v_{0,x}\cdot t+x_{0}\\cot(\beta )\cdot (x_{0}-x(t))\\-{\frac {1}{2}}\cdot g\cdot {\frac {(cot(\beta )\cdot (x_{0}-x(t)))^{2}}{(v_{yz}\cdot cos(\alpha ))^{2}}}+tan(\alpha )\cdot cot(\beta )\cdot (x_{0}-x(t))+z_{0}\\\end{pmatrix}}$.

Anhand der endgültigen Formel, der im Allgemeinen die Wurfbahn des Darts beschreibt, lässt sich schlussfolgern, dass für die genaue Bestimmung der Flugbahn die Zeit $t$, die Winkel $\alpha$ und $\beta$ und der Wert $x_{0}$ gemessen werden müssen. Wie oben erwähnt, entsprechen die Winkel $\alpha$ und $\beta$ dem Abwurfwinkel bzw. Positionswinkel und $x_{0}$ die Position auf der Abwurflinie im Bezug auf die Mitte der Abwurflinie.

Datenerhebung

Um Daten für die genannten Größen zu erhalten, wurden für jede Personengruppe von drei verschiedenen Positionen auf der Abwurflinie 15 Würfe durchgeführt. Allgemein wurde versucht, in den Bereich um das 20er-Segment zu treffen. Die Würfe wurden mit einem Smartphone in Zeitlupe aufgenommen, allerdings werden diese aus datenschutzrechtlichen Gründen nicht veröffentlicht.

Auf Grundlage der Ergebnisse der ersten beiden Zyklen und der Dartregeln wurden für die Personengruppen Mann und Frau nur Würfe auf eine unangepasste Dartscheibe und für die Personengruppen Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs auf eine angepasste Dartscheibe untersucht. Für die drei Positionen wurden $x_{0}=0m$ als frontaler Wurf von der Mitte der Abwurflinie, $x_{0}=0,75m$ als Wurf mit der maximalen Entfernung zur Mitte und $x_{0}=0,375m$ als Mittelwert zwischen den zwei Extrema festgelegt.

Aus den festgelegten Positionen lassen sich die Positionswinkel berechnen. Im Zusammenhang mit der zweiten Abbildung aus der Herleitung ergeben sich:

$x_{0}=0m$ → $\beta =arctan\left({\frac {0}{2,37}}\right)=0$°,

$x_{0}=0,75m$ → $\beta =arctan\left({\frac {0,75}{2,37}}\right)=17,6$°

$x_{0}=0,375m$ → $\beta =arctan\left({\frac {0,375}{2,37}}\right)=9$°

Im Folgenden sind die Messdaten für die Abwurfwinkel, die Zeiten und die Treffer auf dem Dartboard in Tabellen aufgelistet. Die Buchstaben "T" und "D" bei den Treffern stehen für Triple- und Double-Treffer.

Personengruppe Mann mit Position $x_{0}=0m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
1	28	0,5	20
2	29	0,47	-
3	30	0,48	20
4	22	0,505	20
5	27	0,45	20
6	23	0,46	18
7	18	0,427	-
8	21	0,48	D5
9	25	0,445	5
10	23	0,39	20
11	23	0,391	20
12	25	0,409	5
13	19	0,481	20
14	21	0,421	T20
15	20	0,439	18
Mittelwert	23,6	0,450

Personengruppe Frau mit Position $x_{0}=0m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
16	20	0,377	19
17	25	0,438	11
18	20	0,39	16
19	20	0,358	12
20	19	0,375	1
21	22	0,439	T18
22	24	0,406	1
23	22	0,323	T4
24	23	0,4	-
25	29	0,39	1
26	26	0,41	1
27	28	0,445	14
28	25	0,51	14
29	28	0,456	12
30	20	0,325	T5
Mittelwert	23,4	0,403

Personengruppe Mann mit Position $x_{0}=0,75m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
31	25	0,383	4
32	23	0,456	12
33	25	0,407	5
34	27	0,459	20
35	28	0,463	20
36	29	0,457	20
37	20	0,38	1
38	21	0,44	1
39	22	0,392	20
40	33	0,378	-
41	30	0,439	5
42	28	0,44	T1
43	28	0,375	5
44	32	0,458	1
45	27	0,396	20
Mittelwert	26,5	0,422

Personengruppe Frau mit Position $x_{0}=0,75m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
46	28	0,373	17
47	27	0,373	D17
48	33	0,498	5
49	28	0,374	T10
50	31	0,418	1
51	33	0,458	20
52	33	0,457	20
53	31	0,526	-
54	32	0,442	13
55	28	0,56	7
56	32	0,434	20
57	32	0,434	20
58	30	0,398	4
59	33	0,388	-
60	30	0,446	19
Mittelwert	30,7	0,439

Personengruppe Mann mit Position $x_{0}=0,375m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
61	23	0,449	20
62	24	0,415	20
63	24	0,368	T20
64	24	0,393	20
65	24	0,387	5
66	23	0,399	1
67	25	0,411	5
68	25	0,419	20
69	24	0,386	1
70	23	0,429	20
71	23	0,4	5
72	24	0,466	20
73	25	0,433	12
74	25	0,307	12
75	24	0,415	5
Mittelwert	24	0,456

Personengruppe Frau mit Position $x_{0}=0,375m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
76	30	0,401	18
77	26	0,34	6
78	33	0,429	-
79	32	0,439	5
80	31	0,439	T9
81	30	0,426	9
82	30	0,403	9
83	30	0,443	13
84	28	0,479	T7
85	27	0,4	15
86	32	0,431	-
87	30	0,427	7
88	32	0,383	20
89	33	0,387	1
90	29	0,398	4
Mittelwert	30,2	0,415

Personengruppe Rollstuhlfahrer:in mit Position $x_{0}=0m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
91	33	0,362	T5
92	30	0,411	T5
93	31	0,412	18
94	30	0,402	T5
95	31	0,42	5
96	32	0,428	1
97	29	0,43	20
98	30	0,464	-
99	32	0,396	5
100	30	0,447	1
101	29	0,439	T18
102	31	0,386	1
103	29	0,437	5
104	29	0,428	5
105	27	0,412	1
Mittelwert	30,2	0,418

Personengruppe Kleinwuchs mit Position $x_{0}=0m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
106	40	0,439	12
107	37	0,388	-
108	43	0,495	9
109	38	0,456	18
110	39	0,395	D13
111	43	0,478	5
112	36	0,405	1
113	43	0,517	25
114	37	0,415	T17
115	36	0,474	9
116	38	0,473	5
117	37	0,443	4
118	34	0,381	15
119	35	0,454	5
120	36	0,467	9
Mittelwert	38,1	0,445

Personengruppe Rollstuhlfahrer:in mit Position $x_{0}=0,75m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
121	32	0,447	12
122	26	0,454	D18
123	32	0,456	1
124	30	0,425	20
125	31	0,439	1
126	31	0,447	20
127	30	0,432	20
128	33	0,422	1
129	34	0,45	-
130	32	0,457	1
131	31	0,456	-
132	30	0,449	4
133	24	0,391	5
134	22	0,396	20
135	23	0,454	20
Mittelwert	29,4	0,445

Personengruppe Kleinwuchs mit Position $x_{0}=0,75m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
136	36	0,348	20
137	33	0,388	25
138	32	0,398	1
139	33	0,387	1
140	31	0,396	4
141	36	0,343	13
142	33	0,343	8
143	32	0,323	3
144	33	0,417	12
145	36	0,347	T15
146	35	0,345	1
147	36	0,398	15
148	32	0,339	10
149	35	0,381	D18
150	32	0,409	20
Mittelwert	33,7	0,371

Personengruppe Rollstuhlfahrer:in mit Position $x_{0}=0,375m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
151	21	0,428	5
152	23	0,434	12
153	24	0,379	20
154	22	0,372	5
155	24	0,388	1
156	22	0,428	20
157	29	0,423	20
158	24	0,360	-
159	28	0,403	18
160	27	0,381	T12
161	26	0,361	20
162	25	0,393	D20
163	24	0,393	18
164	23	0,416	5
165	25	0,414	5
Mittelwert	24,5	0,398

Personengruppe Kleinwuchs mit Position $x_{0}=0,375m$

Wurf	Abwurfwinkel (in Grad)	Zeit (in s)	Treffer
166	34	0,383	T9
167	33	0,388	T18
168	40	0,442	1
169	33	0,371	5
170	32	0,402	20
171	35	0,420	16
172	33	0,340	5
173	31	0,390	D18
174	33	0,390	20
175	37	0,394	10
176	34	0,430	17
177	33	0,429	20
178	38	0,373	20
179	37	0,402	1
180	31	0,421	D1
Mittelwert	34,3	0,398

Ergebnisse

Wie bereits in der Einleitung des Modellierungszyklus III erwähnt, benötigen wir den Abwurfwinkel, die Anfangsgeschwindigkeit und die Kraft, um Aussagen über die Chancengleichheit zu treffen.

Für die Abwurfwinkel bei den unterschiedlichen Positionen werden die Mittelwerte der gemessenen Abwurfwinkel der 15 Würfe aus den Tabellen der Datenerhebung entnommen. Mit diesen werden die Anfangsgeschwindigkeiten bestimmt, indem zunächst $v_{0,x}$ und $v_{0,y}$ über die folgenden Formeln

$v_{0,x}={\frac {x_{0}}{t}}$

und

$v_{0,y}={\frac {2,37m}{t}}$

errechnet werden. Darin steht das $t$ für den Mittelwert der Wurfzeiten der 15 Würfe. Mit $v_{0,x}$ und $v_{0,y}$ lässt sich die Geschwindigkeit $v_{xy}$ in der xy-Ebene durch

$v_{xy}={\sqrt {{v_{0,x}}^{2}+{v_{0,y}}^{2}}}$

berechnen. Die Anfangsgeschwindigkeit $v$ ergibt sich im Zusammenhang mit $v_{xy}$ durch

$v={\frac {v_{xy}}{cos(\alpha )}}$,

worin $\alpha$ dem Mittelwert der Abwurfwinkel der 15 Würfe entspricht.

Um die Kraft auszurechnen, wird das 2. Newtonsche Axiom in der Form

$F=m\cdot a=m\cdot {\frac {dv}{dt}}$

verwendet. Mit $dv=v$ und $dt=t\cdot 0,01$ erhält man

$F=m\cdot {\frac {v}{t\cdot 0,01}}={\frac {m\cdot v}{t\cdot 0,01}}$.

In der Formel steht $m$ für die Masse des Darts, $v$ für die Anfangsgeschwindigkeit und $t\cdot 0,01$ für ein Prozent des Mittelwertes der Wurfzeiten der 15 Würfe. Die Masse der Darts betrug bei der Datenerhebung $m=0,025kg$.

Die nachfolgende Tabelle beinhaltet die Werte für Abwurfwinkel, Anfangsgeschwindigkeit und Kraft der betrachteten Personengruppen für die drei Positionen $x_{0}=0m$, $x_{0}=0,75m$ und $x_{0}=0,375m$.

Personengruppe	Abwurfwinkel			Anfangsgeschwindigkeit (m/s)			Kraft (in N)
	$x_{0}=$ 0m	$x_{0}=$ 0,375m	$x_{0}=$ 0,75m	$x_{0}=$ 0m	$x_{0}=$ 0,375m	$x_{0}=$ 0,75m	$x_{0}=$ 0m	$x_{0}=$ 0,375m	$x_{0}=$ 0,75m
Mann	23,6	24	26,5	5,75	5,76	6,59	0,61	0,6	0,62
Frau	23,4	30,2	30,7	6,41	6,69	6,59	0,68	0,55	0,54
Rollstuhl	30,2	24,5	29,5	6,56	6,62	6,42	0,54	0,68	0,55
Kleinwuchs	38,1	34,3	33,7	6,77	7,29	8,06	0,44	0,53	0,6

Schlussfolgerungen des Zyklus III

Nachdem die Daten für Zyklus III erhoben und die zu physikalischen Größen ermittelt wurden, soll nun verglichen werden, inwiefern die Anpassung der Dartscheibe einen Unterschied für die Dartgeschwindigkeit sowie den Kraftaufwand zur Beschleunigung des Darts ausmacht. Dabei ist zu beachten, dass es sich bei der Datenerhebung nicht um professionelle Spieler:innen, sondern um Laien handelt. Deshalb sind Abweichungen in den ermittelten Größen nur bedingt auf tatsächliche Zusammenhänge zwischen den Größen zurückführbar.

Auswertung Abwurfwinkel:

Auf den ersten Blick fällt auf, dass die Abwurfwinkel der Personengruppen mit angepasster Dartscheibe im Gesamten betrachtet größer sind, als die derjenigen ohne Anpassung der Dartscheibe. Dies würde bedeuten, dass die Anpassung keine Gleichheit ermöglicht. Werden die Würfe nun differenzierter betrachtet, ist zu erkennen, dass die Differenz zwischen den Abwurfwinkel von Mann zu Rollstuhlfahrer:in und von Frau zu Kleinwuchs immer geringer ausfällt, sodass bei $x_{0}=0,375m$ eine vernachlässigbare Differenz vorzufinden ist. Die größeren Abweichungen bei den Würfen der ersten beiden Positionen ($x_{0}=0m,x_{0}=0,75m$) sind möglicherweise durch fehlende Übung zu erklären. Demnach würde die dritte Position das Verhältnis der Winkel am realistischsten abbilden. Für Position $x_{0}=0,375m$ ergibt die heruntergesetzte Dartscheibe eine Angleichung der Abwurfwinkel, so beträgt die Differenz der Winkel von Mann zu Rollstuhlfahrer:in nur 0,5° und von Frau zu Kleinwuchs 4,1°.

Auswertung Geschwindigkeit:

Die Messwerten der Geschwindigkeit zeigen, dass im Gesamten die Geschwindigkeit der Personengruppen mit angepasster Dartscheibe größer ist, als bei denjenigen ohne. Es hat den Anschein, als müssten die Personengruppen Rollstuhlfahrer:innen und Kleinwuchs eine höhere Anfangsgeschwindigkeit aufbringen. Diese Differenz bleibt unter Vernachlässigung von Messfehlern über die verschiedenen Wurfpositionen hinweg bestehen.

Auswertung Kraft:

Bei der Kraft zeigt sich im Gesamten, dass die Personengruppen mit angepasster Dartscheibe weniger Kraft aufwenden, als diejenigen ohne Anpassung. Allerdings ist auffällig, dass unter Vernachlässigung von Messfehlern die Kräfte dennoch nur geringfügig voneinander abweichen. Es scheint so, als ob der Kraftaufwand keine relevante Auswirkung auf den Erfolg des Wurfes hat.

Gesamtauswertung:

Modellierungszyklus III weist auf eine Anpassung hinsichtlich des Abwurfwinkels des Darts bei den Personengruppen Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs hin. Aus den Daten lässt sich erkennen, dass je höher der Abwurfwinkel ist, desto weniger Kraft muss aufgewendet werden, um den Dart zu beschleunigen. Allerdings müsste dies bedeuten, dass bei geringerem Abwurfwinkel die Abwurfgeschwindigkeit ebenfalls höher sein müsste. Dies wird durch die Daten nicht bestätigt, sodass davon ausgegangen werden muss, dass entweder die Kraft oder die Geschwindigkeit bei der Erhebung durch Fehler verfälscht wurde. Vermutlich ist dies auf die Konzeption der Datenerhebung zurückzuführen, da durch fehlendes passendes Equipment die Daten nur in einer unzureichenden Präzision bestimmt werden konnten. Außerdem mussten die Personengruppen Rollstuhlfahrer:in und Kleinwuchs in dieser Modellierung simuliert werden und spiegeln daher nicht den tatsächlichen Realfall wider.

Fazit

Abschließend lässt sich über die gesamte Modellierung hinweg sagen, dass Zyklus I und II eine Gleichberechtigung hervorbringen. Jedoch bilden diese beiden nicht den Realfall ab, da verschiedene Parameter für die Flugbahn entscheidend sind. Im Zyklus III wurden der Abwurfwinkel, die Anfangsgeschwindigkeit des Darts und der Kraftaufwand in Erwägung gezogen und analysiert, allerdings konnten keine konkreten Aussagen getroffen werden.

Aus den Ergebnissen des ersten Zyklus lässt sich eine Anpassung der Chancengleichheit durch das Herabsetzen der Dartsscheibe bestätigen. Die Flugbahnen der Vergleichsgruppen Mann und Rohlstuhlfahrer:in sowie Frau und Kleinwuchs glichen sich an. Jedoch erwies sich in Zyklus II, dass die realistischere Modellierung der Flugbahn eine Verschlechterung der Anpassung der Chancengleichheit bewirkte. Der Versuch den Realfall noch präziser darzustellen, indem Abwurfwinkel, Geschwindigkeit und Kraft miteinbezogen wurden, scheiterte in Modellierungszyklus III, da nicht die nötige Präzision bei der Ermittlung des Messdaten aufgebracht werden konnte. Außerdem gibt es noch weitere Parameter, die den Flug des Darts beeinflussen können, darunter die Art und Form des Darts, sowie die Wurftechnik und die Aerodynamik. Um insgesamt eine Angleichung zu ermöglichen, müsste die Modellierung noch auf die weiteren Klassifikationen der Para-Dart-Liga ausgeweitet werden. Die Datenerhebung wird dadurch wesentlich komplizierter und umfangreicher, da beispielsweise für die Klassifikation Muskelschwäche die Daten nur von betroffenen Spieler:innen erhoben werden können.

Im Hinblick auf die ursprüngliche Frage, ob die Anpassung eine Chancengleichheit zur Folge hat, lässt sich vermuten, dass dies für den Realfall nicht zutrifft, sondern nur für die vereinfachte Betrachtungsweise. Um zu überprüfen, ob die Anpassung es ermöglicht, die beiden Dart-Ligen zu vereinen, benötigt es eine weitere Modellierung. Diese muss zum einen eine präzisere Erhebung der Daten umfassen und zum anderen müssen zusätzliche oder grundsätzlich andere Parameter, wie die Aerodynamik des Darts, in Betracht gezogen werden. Ein grundlegend anderer Ansatz zur Modellierung wäre derjenige, keine Anpassung der Spielbedingungen zu ermöglichen, sondern stattdessen die Punkteberechnung der Spieler:innen anzupassen. Es ginge also darum, den Nachteil, den die einzelnen Klassifikationen beim Para-Dart erhalten, mit einem mathematischen Faktor zu berechnen, sodass die getroffenen Punkte mit diesem Faktor ausgeglichen werden können.