Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester/Thema 1

Energiegewinnung und Flächennutzung: Mathematische Modellierung eines Photovoltaikmodul-Systems für den Universitätsparkplatz der RPTU Landau

In diesem Projekt beschäftigen wir uns mit der Frage, welche Vorteile es für die Umwelt haben kann, vorhandene Parkplatzflächen mit Solarmodulen zu überdachen. Dafür betrachten wir beispielhaft den Universitätsparkplatz der RPTU am Campus Landau. Wir gehen dabei vorallem der Frage auf den Grund, wie viel nachhaltiger Strom durch solche Solarmodule erzeugt werden kann, der andernfalls durch umweltschädlichere Gewinnungsmethoden wie Atomkraft erzeugt werden müsste. Das Projekt soll als Beispiel für andere Parkplatzflächen dienen, das einen möglichst genauen Richtwert für die Menge an Energie liefert, die auf einer bestimmten Fläche innerhalb eines Jahres gewonnen werden kann.

Gruppenteilnehmer

1. Jannis Walker
2. Alina Döringer
3. Lukas Daubner

Zielsetzung des Modellierungsthemas

(Text)

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen

• SDG 7: Bezahlbare und saubere Energien

Die Installation von Solarpanels trägt zur Produktion von erneuerbarer Energie bei und fördert den Zugang zu sauberer und nachhaltiger Energie

• SDG 13: Maßnahmen zum Klimaschutz

Die Nutzung von Solarenergie reduziert die Abhängigkeit von fossilen Brennstoffen und hilft den CO2-Ausstoß zu verringern, was einen Beitrag zum Klimaschutz leistet

• SDG 15:Leben an Land

Durch die Nutzung bestehender Flächen zur Energiegewinnung wird zusätzlich Flächenverbrauch vermieden, was zur Schonung natürlicher Lebensräume beitragt

Datenerhebung

(Text)

Modellierungszyklus 1(Level: Sekundarstufe 2)

Wir beginnen unser Projekt mit der Problemstellung, wie die Sonne an einem beliebigen Jahrestag t ∈ {1,2,...,364,365} über den Landauer Himmel verläuft. Dafür betrachten wir zunächst die sogenannte Sonnenhöhe. Diese gibt an, in welchem Winkel (d.h. aus welcher "Höhe") die Sonnenstrahlen auf die Erdoberfläche treffen. Die Sonnenhöhe erreicht ihren höchsten Wert jedes Jahr am 21. Juni (t = 172), dem Tag der Sommersonnenwende, wenn die Sonne am nördlichen Wendekreis im Zenit steht. Ihren niedrigsten Wert erreicht sie stets am 21. Dezember (t = 355), dem Tag der Wintersonnenwende, wenn die Sonne am südlichen Wendekreis im Zenit steht. Zwischen diesen beiden Extremwerten wächst bzw. fällt die Sonnenhöhe und erreicht sowohl um den 21. März (t ≈ 80) als auch um den 23. September (t ≈ 266) herum ihren Mittelwert. Zu diesen beiden Zeitpunkten steht die Sonne auf dem Äquator im Zenit. Grund für die Verschiebung des Zenitstandes der Sonne und damit auch die Veränderung der Sonnenhöhe in Landau sind die Schiefstellung der Erdachse um 23,5° und die Erdrevolution.

Die Größe des Sonnenhöhenwinkels in Abhängigkeit vom Jahrestag t lässt sich als Sinusfunktion

f: {1,...,365} ≕ D → ℝ; f(t) = a ⋅ sin(b⋅t + c) + d in °

mit passenden a,b,c,d ∈ ℝ beschreiben. Um die Parameter a,b,c,d der Sinusfunktion bestimmen zu können, legen wir eine maßstabsgetreue GeoGebra-Datei an, die uns einen Wert für den Sonnenhöhenwinkel zu unterschiedlichen Zeitpunkten ausgibt. Wir wählen dafür genau die vier bzw. drei (21. März und 23. September ergeben denselben Sonnenhöhenwinkel) Zeitpunkte aus, zu denen die Sonne an einem der Wendekreise bzw. am Äquator im Zenit steht:

https://www.geogebra.org/classic/vq9kuu7u

Aus der GeoGebra-Datei wird deutlich:

• Steht die Sonne am nördlichen Wendekreis im Zenit, beträgt der Sonnenhöhenwinkel in Landau 64,3°

• Steht die Sonne am Äquator im Zenit, beträgt der Sonnenhöhenwinkel in Landau 40,8°

• Steht die Sonne am südlichen Wendekreis im Zenit, beträgt der Sonnenhöhenwinkel in Landau 17,3°

Aus diesen Daten lassen sich die Parameter der Sinusfunktion wie folgt bestimmen:

• Die Amplitude a muss der Hälfte des Unterschiedes zwischen dem zuerst erreichten Extremwert und dem zweiten Extremwert entsprechen: a = max _{t ∈ D} f - min _{t ∈ D} f) / 2 = (64,3 - 17,3) / 2 = 47/2 = 23,5

• Die y-Verschiebung d muss um eine Amplitude kleiner sein als der größte Funktionswert bzw. eine Amplitude größer als der kleinste Funktionswert: d = max _{t ∈ D} f - a = min _{t ∈ D} f + a = 64,3 - 23,5 = 40,8

• Die Streckung in x-Richtung b lässt sich aus der Periode p = 365 der Sinusfunktion wie folgt bestimmen: p = 365 = (2⋅π) / b ⇔ b = (2⋅π) / 365

• Die Verschiebung in x-Richtung c muss nun so angepasst werden, dass die Funktionswerte die reale Situation widerspiegeln. Dafür betrachten wir den 21. Juni (t = 172). An diesem Tag soll die Funktion ihr Maximum erreichen: f(172) = 23,5 ⋅ sin((2⋅π) / 365 ⋅ 172 + c) + 40,8 = 64,3 ⇔ 23,5 ⋅ sin((2⋅π) / 365 ⋅ 172 + c) = 64,3 - 40,8 = 23,5 ⇔ sin((2⋅π) / 365 ⋅ 172 + c) = 23,5 / 23,5 = 1 ⇔ (2⋅π) / 365 ⋅ 172 + c = π/2 ⇔ c = π/2 - (344⋅π) / 365 = (365⋅π) / 730 - (688⋅π) / 730 = (-323⋅π) / 730

Somit lautet die Funktionsgleichung für f:

f(t) = 23,5 ⋅ sin((2⋅π)/365 ⋅ 172 - (323⋅π)/730) + 40,8

Da die meisten Computerprogramme standardmäßig mit Werten im Bogenmaß rechnen und nicht mit Werten im Gradmaß, entscheiden wir uns, die erhaltenen Funktionswerte ins Bogenmaß umzurechnen, und erhalten somit eine neue Funktionsgleichung für f:

f(t) = (23,5⋅π)/180 ⋅ sin((2⋅π)/365 ⋅ 172 - (323⋅π)/730) + (40,8⋅π)/180

Im nächsten Schritt beschäftigen wir uns mit der Veränderung des Sonnenhöhenwinkels innerhalb eines Tages. Die "Höhe", aus der die Sonne auf den Uni-Parkplatz in Landau trifft, verändert sich natürlich nicht nur im Jahresverlauf, sondern auch im Laufe des Tages. Um den Verlauf dieses Winkels innerhalb eines Tages darstellen zu können, fertigen wir einige GeoGebra-Dateien in ℝ³ an. Unser Ziel dabei ist es, einen Zusammenhang zwischen Zeitpunkt x und Größe des Sonnenhöhenwinkels y für ein beliebiges t ∈ D zu finden. Wir betrachten für unsere Überlegungen dieselben vier Zeitpunkte, die wir im ersten Schritt auch betrachtet haben. Darüberhinaus legen wir für alle t ∈ D den Zeitpunkt, an dem die Sone aufgeht, als Zeitpunkt x=0 fest, sowie den Zeitpunkt, an dem die Sonne untergeht, als Zeitpunkt x=1.

Test Video

• 21. Dezember: https://www.geogebra.org/classic/hwjw66jr

• 21. Juni: https://www.geogebra.org/classic/ar9z6qgh

• 21. März bzw. 23. September:

Wie man in der Datei sehen kann, erreicht der Sonnenhöhenwinkel für ein festes t ∈ D sein Maximum stets um die Mittagszeit, zum Zeitpunkt x = 0,5. Dabei ist zu beachten, dass dieser Zeitpunkt nicht zwangsläufig mit 12:00 Uhr mittags übereinstimmt, sondern es handelt sich um den Zeitpunkt, an dem Landau auf seiner "Kreisbahn um die Erdachse" genau die Hälfte des Weges zwischen Sonnenaufgang und Sonnenuntergang zurückgelegt hat. Gleichzeitig handelt es sich dabei um genau den Zeitpunkt, zu dem Landau (an diesem Tag t) der Sonne am nächsten ist. Wenn man die dreidimensionale GeoGebra-Datei zu diesem Zeitpunkt richtig dreht (d.h. so, dass die y-Achse zu einem Punkt wird), dann erhält man dieselbe Perspektive, die wir in unserer ersten GeoGebra-Datei eingenommen haben. Nun wird deutlich, dass dieses Maximum in x = 0,5 für alle t ∈ D mit der zuvor berechneten Sonnenhöhe f(t) übereinstimmt. Darüber hinaus beträgt der Sonnenhöhenwinkel bei Sonnenauf- und Sonnenuntergang logischerweise 0°. Diese Idee verallgemeinern wir, um eine Formel zu finden, die den Sonnenhöhenwinkel in Abhängigkeit vom Zeitpunkt x für einen beliebigen Jahrestag t beschreibt. Dafür haben wir zwei Ideen:

1) Man könnte den Verlauf des Sonnenhöhenwinkels als eine nach unten geöffnete Parabel auffassen, die ihre Nullstellen in x₁ = 0 und x₂ = 1 hat und ihren Scheitelpunkt S (S hat automatisch die x-Koordinate 0,5) in (0,5|f(t)). Das bedeutet, dass die Parabel die Funktionsgleichung p_S(x) = a ⋅ (x-1) ⋅ (x-0) mit passendem a ∈ ℝ lauten muss. Damit die y-Koordinate des Scheitelpunktes mit f(t) übereinstimmt, stellen wir folgende Gleichung auf:

p_S(0,5) = f(t) ⇔ a ⋅ (0,5-1) ⋅ (0,5-0) = f(t) ⇔ a ⋅ (-1/4) = f(t) ⇔ a = (-4) ⋅ f(t)

Dementsprechend lautet die Funktionsgleichung für die Parabel (nun in Abhängigkeit sowohl von t als auch von x):

p_S: {1,...,365} x [0;1] → ℝ; p_S(t,x) = (-4) ⋅ f(t) ⋅ (x-1) ⋅ (x-0)

2) Man könnte den Verlauf des Sonnenhöhenwinkels allerdings auch als eine Sinusfunktion auffassen, die Nullstellen in x₁ = 0 und x₂ = 1 und ihr Maximum in (0,5|f(t)) hat. Die Funktionsgleichung muss dann lauten:

γ_S: {1,...,365} x [0;1] → ℝ; γ_S(t,x) = f(t) ⋅ sin(π⋅x)

Um die beiden Ideen miteinander vergleichen zu können, fertigen wir eine GeoGebra-Datei an, die die beiden Funktionen im Bereich [0;1] darstellt:

https://www.geogebra.org/classic/egcyz3up

Wie man in der Datei erkennen kann, nimmt die Parabelfunktion p_S für jedes t ∈ D größere Funktionswerte im Bereich [0;1] an als die Sinusfunktion γ_S. Allerdings sieht man auch am Flächeninhalt der Differenzfunktion und vorallem am relativen Fehler, dass der Unterschied zwischen beiden Funktionen nur sehr gering ist. Wir entscheiden uns dennoch dafür, die Sinusfunktion γ_S zu verwenden, da wir im weiteren Verlauf des Projekts eine Formel entwickeln, die die Jahresgesamtmenge an Solarenergie in Abhängigkeit vom Sonnenhöhenwinkel beschreibt. Wir nehmen also die Funktion, die die kleineren Funktionswerte liefert, da bereits ein kleiner Unterschied der Funktionswerte einen riesigen Unterschied für die Gesamtjahresmenge an Solarenergie bedeuten kann. Für die reale Situation ist es deutlich sinnvoller, eine Abschätzung nach unten für die Gesamtjahresmenge machen zu können als eine Abschätzung nach oben.

Mit den gesammelten Daten sind wir nun in der Lage, den Sonnenhöhenwinkel an einem beliebigen Jahrestag und zu einem beliebigen Zeitpunkt zu bestimmen. Wir haben sogar eine Funktionsgleichung entwickelt, die uns den Zusammenhang dieser Größen beschreibt. Im nächsten Schritt beschäftigen wir uns mit der Frage, wie viel Solarenergie auf den Universitätsparkplatz bzw. auf Solarmodule trifft, die um einen bestimmten Winkel geneigt sind. Dazu beachten wir vorerst nur die Direktstrahlung der Sonne, nicht die Diffusstrahlung und die vom Erdboden reflektierte Strahlung.

Zunächst betrachten wir den Fall, dass direktes Sonnenlicht auf eine horizontale Fläche A_H (Universitätsparkplatz) fällt. Die Strahlungsleistung, die auf diese Fläche trifft, beschreiben wir durch die Formel:

P = E_H ⋅ A_H

E_H steht dabei für die Bestrahlungsstärke in W/m².

Um nun die Leistung und die Bestrahlungsstärke der Sonne auf einer Solaranlage mit Neigungswinkel β bestimmen zu können, betrachten wir folgende Skizze:

In der Skizze sieht man die horizontale Fläche A_H, die senkrecht zu den Sonnenstrahlen stehende Fläche A_S und die Fläche A_G, die unserem späteren Solarmodul entspricht, das um den Winkel β geneigt ist.

Die Strahlungsleistung P, die von der Sonne auf die drei abgebildeten Flächen trifft, ist für alle Flächen offensichtlich gleich. Daher muss gelten:

(1) P = E_H ⋅ A_H = E_S ⋅ A_S = E_G ⋅ A_G

Außerdem gelten folgende Zusammenhänge:
(2) A_S = A_H ⋅ sin(γ_S)
(3) A_S = A_G ⋅ sin(χ) ⇔ A_G = A_S / sin(χ)
Nach Einsetzen von (2) in (3) erhält man schließlich folgenden Zusammenhang:
A_G = A_H ⋅ sin(γ_S) / sin(χ)
Diesen Zusammenhang nutzen wir, um ihn in die Gleichung für die Leistung (1) einzusetzen:
P = E_H ⋅ A_H = E_G ⋅ A_G
⇔ E_H ⋅ A_H = E_G ⋅ A_H ⋅ sin(γ_S) / sin(χ)
⇔ E_H = E_G ⋅ sin(γ_S) / sin(χ)
⇔ E_G = E_H ⋅ sin(χ) / sin(γ_S)

Die Bestrahlungsstärke E_H auf der horizontalen Fläche lässt sich darüberhinaus mit der folgenden Formel berechnen:

E_H = E₀ ⋅ sin(γ_S)

Hierbei steht E₀ für die sogenannte Solarkonstante. Diese beschreibt die Energiemenge, die unter senkrechtem Einfallswinkel auf die Erdoberfläche trifft (bzw. treffen würde) und ist für alle Punkte auf der Erde gleich, auch wenn sie außerhalb der beiden Wendekreise liegen und ein senkrechter Sonneneinfallswinkel somit nie zustandekommt. Die Solarkonstante wird seit 2015 von der internationalen Astronomischen Union auf E₀ = 1361 W/m² festgelegt. Der Winkel γ_S beschreibt, wie in der Skizze zu sehen, den Einfallswinkel der Sonnenstrahlen zum Horizont. Er entspricht also dem Sonnenhöhenwinkel, den wir bereits mithilfe der Funktion g beschreiben können. Somit beträgt die Bestrahlungsstärke auf der horizontalen Fläche:

E_H = 1361 W/m² ⋅ sin(γ_S)

Es bleibt nun noch zu klären, wie groß der Hilfswinkel χ ist. Dazu genügen zwei kurze Überlegungen:
(1) Der Winkel χ bildet mit seinem Nachbarn χ' einen gestreckten Winkel entlang der Sonnenstrahlen. χ' hat also die Größe χ' = 180° - χ.
(2) Laut Innenwinkelsumme in einem Dreieck bildet χ' mit β und γ_S zusammen ebenfalls einen gestreckten Winkel. Daher hat er also auch die Größe χ' = 180° - (β + γ_S).
Es gilt also χ' = 180° - χ = 180° - (β + γ_S) ⇒ χ = β + γ_S

Mit den neuen Erkenntnissen können wir nun die Bestrahlungsstärke auf einer um β geneigten Fläche bestimmen:

E_G = E_H ⋅ sin(χ) / sin(γ_S)
⇔ E_G = 1361 W/m² ⋅ sin(γ_S) ⋅ sin(χ) / sin(γ_S)
⇔ E_G = 1361 W/m² ⋅ sin(χ)
⇔ E_G = 1361 W/m² ⋅ sin(β + γ_S)

Modellierungszyklus 2 (Level: Uni-Niveau)

Betrachtung der durchschnittlichen Sonnenstunden pro Tag je nach Jahreszeit, darauf basierend durch Regression eine Sinusfunktion ermitteln, die die Sonnenstunden in Landau pro Tag je nach Jahreszeit am besten annähert, dementsprechend feinere Ergebnisse für mögliche Energiemenge der Solarmodule mithilfe von Integration der Kurve

Voraussetzungen

(Text)

• Listeneintrag
• Listeneintrag
• Listeneintrag

Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen

(Text)

Ergebnisse

(...)

Diskussion

(Verbesserungsvorschläge)

Modellierungszyklus 3 (Level: Uni-Niveau)

zusätzliche Betrachtung des veränderten Winkels der Sonneneinstrahlung durch Erdrevolution, annäherungsweise Berechnung dieses Winkels und erneute Regression zur Bestimmung einer Funktion, die den Winkel je nach Jahreszeit am besten annähert, daraufhin Aufstellen einer Funktion, die die Parameter Winkel, Sonnenstunden, Jahreszeit und durchschnittlicher Energiegewinn miteinander vereint und einen finalen Wert für die Gesamtenergie liefert

Voraussetzungen

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Umsetzung mit mathematischen Werkzeugen

(Text)

Ergebnisse

(...)

Diskussion

(Verbesserungsvorschläge)