Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester/Thema 4

Entwicklung der Rehpopulation innerhalb eines Waldes

Beschreibung des Waldes folgt (Blies, Rhein, theoretisches Modell)

Gruppenteilnehmer

1. Alexander Fuhrmann
2. Simon Lahr
3. Nicolas Kitzinger

Zielsetzung des Modellierungsthemas

1. Wie kann die Rehjagd geregelt werden, um Aussterben zu vermeiden?

2. Wie maximiert man den Gewinn bei begrenzten Ressourcen um möglichst viele Menschen zu ernähren?

3. Wie beeinflusst das Reh das Gleichgewicht im Ökosystem in Hinsicht auf Stabilität?

Zuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen [1]

• (Life on Land):

Artenvielfalt der Rehe schützen

• (Zero Hunger)

Durch gezielte Jagd eine Ernährungsgrundlage sichern

• (Responsible Consumption and Production)

Eine Balance zwischen Jagd und der Repopilation der Rehe herstellen

• (Climate Action)

Eine Erhaltung der Artenvielfalt fördert eine Stabilisierung des Ökosystems welches zur Verhinderung der Klimaerwärmung beiträgt

Modellierungszyklus 1(Level: Sekundarstufe 1)

Entwicklung der Population des Rehs (Capreolus capreolus) ohne Jagd.

Hierbei soll vermittelt werden das eine Funktion nicht immer linear oder quadratisch ist. Gestartet wird mit einer Wertetabelle in denen die Schüler vermuten wie sich die Population entwickelt innerhalb X Jahre. Vorgegeben sind hierbei die Anzahl der durchschnittlichen Nachkommen pro Jahr sowie das Durchschnittliche Alter eines Rehs. Erkannt werden soll hier, dass es eine sehr schnelle Vermehrung ist und diese Bedingungen aufgrung Platz und Nahrungsmangel sowie fehlender Fressfeinde sehr unrealistisch sind.

Mathematische Modelle zur Beschreibung der Rehpopulation

Die Dynamik von Rehpopulation lässt sich mit verschiedenen mathematischen Modellen beschreiben. Hier erste Entwürfe:

1. Einfaches Wachstumsmodell (exponentiell)

Das Wachstum einer Rehpopulation ohne Begrenzungen wird durch die folgende Differentialgleichung beschrieben:

$dP/dt=rP$

Hierbei gilt:

• (P): Population des Rehs
• (r): Wachstumsrate
• (t): Zeit

-Reh 2 Kinder pro Wurf im Durschschnitt

-Jedes Jahr ab dem 2ten Lebensjahr

-Lebenserwartung 12 Jahre

Tabelle für Schüler zum Auswerten(Beispiel/Reh):

Alter\Jahr	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24
0	2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682	2458	3590	5246
1		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682	2458	3590
2	2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682	2458
3		2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150	1682
4			2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788	1150
5				2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540	788
6					2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368	540
7						2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252	368
8							2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174	252
9								2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118	174
10									2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80	118
11										2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56	80
12											2		2	2	2	4	6	8	12	18	26	38	56
Gesamt	2	4	6	8	12	18	26	38	56	82	120	174	254	372	544	794	1160	1696	2478	3620	5290	7730	11294	16502

Falls dieser Graph eine Exponentialfunktion wäre, könnte man diese nun mit 2 beliebigen Punkten bestimmen:

a*e^k*x=f(x) bei 10 und 11 Jahren

(I) a*e^k*10 = 82 => a=82/e^k*10

(II)a*e^k*11 = 120 => a=120/e^k*11 => 82/e^k*10= 120/e^k*11 =>

e^11k-10k = 120/82 =

e^1k = 60/41 => k=ln(60/41)=0,38

=> a = 82/e^3.8 = 1.83

=> f(x) = 1,83*e^(0,38*x)

Wenn ich nun allerdings die Funktion mit den Punkten 5 und 6 bestimme, erhalte ich: f(x) = 1,62*e^(0,4*x). Wie zu erkennen

1. Logistisches Wachstumsmodell

Unter Berücksichtigung der Umweltkapazität (K), also der maximal tragbaren Population, ergibt sich:

$dP/dt=rP(1-P/K)$

Zusätzliche Parameter:

• (K): Umweltkapazität

Tragfähigkeit (Carrying Capacity, KKK) berechnen:

Die Tragfähigkeit kann durch die Verfügbarkeit von Ressourcen und deren Nutzung durch Rehe abgeschätzt werden. Ein vereinfachtes Modell könnte so aussehen:

• Produzierte Biomasse pro Hektar welche vom Reh verwertet wird pro Jahr (= 4000 kg)
• Vom Reh benötigte Nahrung pro Jahr (= 1095 kg)

Daraus folgt dann eine Umweltkapazität von 4000/1095 = 3,653 Rehe pro Hektar

Logistsiches Wachstum bei einer Rehpopulation

2. Erweiterung mit Jagdrate

Wenn man die Jagdrate (F) berücksichtigt, ändert sich das Modell wie folgt:

$dP/dt=rP(1-P/K)-F$

Die Jagdrate (F) kann weiter spezifiziert werden als:

$F=q*E*P$

Hierbei gilt:

• (q): Jagdkoeffizient (Effizienz der Jagdmethoden)
• (E): Jagdaufwand (z. B. Anzahl der Jäger, Jagdzeit)

Modellierungszyklus 3 (Level: Uni-Niveau)

(Text)




Literatur und Quellen