Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/2024-25 Wintersemester/Thema 5

Modellierungsthema 5: (Der perfekte Absprung)

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1. Teilnehmer

1. Anna-Lena Dick
2. Nicole Pander

Hinführung und Motivation für das Thema

Der Reitsport ist eine faszinierende Sportart, in der Mensch und Tier in Harmonie zusammenarbeiten, um sportliche Höchstleistungen zu erzielen. Eine der Schlüsselmomente beim Springreiten ist der Absprung über ein Hindernis. Dieser Moment erfordert präzises Timing, optimale Winkel und eine perfekte Kraftverteilung. All das sind Faktoren, die nicht nur für den Erfolg im Wettkampf entscheidend sind, sondern auch die Sicherheit von Pferd und Reiter gewährleisten.
Somit bietet die Frage nach dem "perfekten Absprung" ein spannendes Modellierungsthema für den Mathematikunterricht, da sie Schüler*innen erlauben, reale Phänomene mathematisch zu verstehen und zu analysieren. Indem sie sich auf physikalische und geometrische Aspekte des Sprungs konzentrieren, kann eine Brücke zwischen Sportwissenschaft und Mathematik geschlagen werden. Dabei bietet das Thema ideale Voraussetzungen, um ein spiralcurriculares Konzept umzusetzen, bei dem Lernende wiederholt auf ein bekanntes Thema treffen, dieses jedoch mit wachsendem Wissen und fortgeschrittenen Methoden immer wieder neu und tiefer durchgehen können.

Definition und Richtlinien der Deutschen Reiterlichen Vereinigung

Das Springreiten ist eine Disziplin des Reitsports. Grundsätzlich geht es darum, dass das jeweilige Reiter-Pferd-Paar einen Parcours möglichst schnell und fehlerfrei bewältigt. Die besondere Herausforderung für den Reiter besteht darin, das Pferd so an das Hindernis heranzureiten, dass es beim Absprung eine möglichst optimale Flugkurve entwickeln kann. Ziel ist das fehlerfreie und möglichst effektive Überwinden des Sprungs. Der Bereich des optimalen Absprungs befindet sich laut der Deutschen Reiterlichen Vereinigung (kurz FN) so weit vor dem Sprung, wie dieser hoch ist. So liegt der ideale Absprungpunkt bei einem 1,40 Meter hohen Steilsprung 1,40 Meter vor dem Hindernis auf dem Boden. Allerdings muss hierbei bedacht werden, dass das Pferd etwas höher springen muss, um das Hindernis fehlerfrei zu überwinden. Im Folgenden gehen wir von einem Wert von 5 Zentimetern aus. Dementsprechend verschiebt sich auch der Absprungpunkt um 5cm. Vor und hinter diesem Punkt findet sich ein Bereich, in dem ein Überwinden des Hindernisses immer noch möglich ist, wenn auch mit einem höheren Aufwand. Desweiteren geht die Deutsche Reiterliche Vereinigung von einer parabelförmigen Sprungkurve aus. Dies wird jedoch nicht näher ausgeführt. Um uns die Ausführungen der FN besser vorstellen zu können, übertragen wir die Vorgaben in ein zweidimensionales Koordinatensystem (siehe Abbildung). Die x-Achse beschreibt die Entfernungen am Boden in Meter in Abhängigkeit von der Zeit, während die y-Achse die Höhe in Meter angibt. Um den Rechenaufwand möglichst gering zu halten, setzen wir den Fußpunkt F(1,45|0). Die oberste Stange endet im Punkt G (1,45|1,4). Der Hochpunkt der Flugkurve liegt im Punkt H (1,45|1,45). Den Richtlinien entsprechend liegt der Absprungpunkt bei A (0|0) und der Landepunkt bei L (2,9|0).

Diagramm: Absprungkurve eines Pferdes gemäß FN

Da die Absprungkurve "parabelförmig" sein soll, kann eine Funktionsgleichung mithilfe der Scheitelpunktform f(x)=a*(x-d)^2+e bestimmt werden. Mithilfe der vorgegebenen Punkte, durch einsetzten und ausmultiplizieren ergibt sich die Gleichung f(x)=-(20/29)x^2+2x.Dieser Graph dient uns als Grundlage für unsere Modellierungszyklen.

Ziel der Modellierung

Ist die Absprungkurve tatsächlich parabelförmig?
In welchen Bereich ist das Überwinden des Hindernisses möglich?

Zuordnung der UN-Nachhaltigkeitsziele

• SDG3: Gesundheit und Wohlergehen
  

Durch den Fokus auf das Wohlbefinden des Pferdes wird die Gesundheit und Lebensqualität des Tieres sichergestellt. Ebenso fördert die Analyse des perfekten Absprungs die Sicherheit beim Springen und reduziert das Risiko von Verletzungen bei den Pferden und ihren Reitern. Des Weiteren können Menschen durch den Reitsport ihre Lebensqualität durch die sportliche Betätigung steigern.

• SDG4: Hochwertige Bildung
  

Das Thema verbindet praktische Anwendung mit theoretischem Wissen und leistet so einen Beitrag zur hochwertigen Bildung im Bereich Reitsport und Pferdetraining.

• SDG9: Industrie, Innovation, Infrastruktur
  

Studien und Innovationen zur Verbesserung des Reitsports tragen dazu bei neu Technologien und nachhaltige Trainingsmethoden zu entwickeln und anzuwenden.

• SDG15: Leben an Land
  

Der Reitsport steht in enger Verbindung mit landwirtschaftlichen und naturnahen Strukturen. Forschung und Training in diesem Bereich können das Wohl der Tiere verbessern und gleichzeitig einen nachhaltigen Umgang mit natürlichen Ressourcen fördern.

• SDG17: Partnerschaften zur Erreichung der Ziele
  

Die Forschung zum perfekten Absprung bietet eine Grundlage für Kooperationen zwischen Sportwissenschaft, Mathematik, Tiermedizin und Umweltwissenschaften und unterstützen so die globale Zusammenarbeit.

Niveauzuordnungen

Modellierungszyklus I / Schulniveau

• Modellierung der parabelförmigen Flugkurve aus physikalischer Sicht
• Modellierung mit GeoGebra (graphische Sicht)

Im ersten Zyklus der Modellbildung wird der Sprung eines Pferdes auf die Flugbahn über das Hindernis begrenzt. Das Ziel des ersten Zyklus ist es aus physikalischer Sicht zu zeigen, dass der Sprung eines Pferdes parabelförmig ist. So kann die Höhe und Weite des Sprungs bestimmt werden, um zu prüfen, ob das Hindernis sicher überwunden werden kann. Zur verständlichen Anschauung kann dies mit Hilfe von GeoGebra modelliert werden.

Modellierungszyklus II / Uni-Niveau

• Der zweite Modellierungszyklus stellt eine Erweiterung des ersten Zykluses dar. Hier soll durch die Ergänzung der Parameter Masse und Luftwiderstand eine realitätsnähere Modellierung der Flugkurve nach dem Absprung erreicht werden.

Modellierungszyklus III / Uni-Niveau

• Ausgleichsproblem

Modellierungszyklus I bzw. SEK II

Im ersten Zyklus der Modellierung betrachten wir den Sprung eines Pferdes über ein Hindernis aus physikalischer Sicht. Ziel ist es, mithilfe graphischer Anschauung zu bestätigen, dass Sprünge über ein Hindernis im Reitsport parabelförmig sind. Der Hochpunkt sollte im Optimalfall knapp über dem Hindernis liegen.

Die Grundlage der Bewegung liefert das 2. Newtonsche Gesetz: $F=m\cdot a$, wobei
• $F$ = Kraft
• $m$ = Masse
• $a$ = Beschleunigung, beschreibt.
Diese Formel können wir auch umschreiben als $F=m\cdot v'(t)$. Hier beschreibt $v'(t)$ die zeitliche Ableitung der Geschwindigkeit, also die Beschleunigung. Die Geschwindigkeit selbst ist die Ableitung der Position nach der Zeit und berechnet sich mit der Formel $x'(t)=v(t)=s\cdot \ t$, wobei $s$ die zurückgelegte Strecke und $t$ die vergangene Zeit beschreibt. Auf die Sprungbewegung wirken zwei wesentliche Kräfte, die horizontale Bewegung und die vertikale Bewegung. Es ist zu beachten, dass in diesem Modellierungszyklus der Luftwiderstand vernachlässigt wird. Die Bewegungskomponenten in horizontaler und vertikaler Richtung überlagern sich, daraus resultiert die schräge Absprungbewegung (Superpositionsprinzip).

Wir setzen voraus, dass es sich in der horizontalen Richtung (x-Richtung), um eine gleichmäßige Bewegung handelt. Das bedeutet, dass die Geschwindigkeit konstant bleibt und nicht von der Erdbeschleunigung beeinflusst wird. Den Vektor der Geschwindigkeit in x-Richtung bezeichnen wir mit ${\vec {v_{1}}}$. In vertikaler Richtung (y-Richtung) handelt es sich um den Absprung in die Höhe, wobei die Absprunggeschwindigkeit gleich der Startabsprunggeschwindigkeit entspricht. Den dazugehörigen Vektor bezeichnen wir mit ${\vec {v_{2}}}$. Diese vertikale Bewegung ist gleichmäßig beschleunigt. Als negative Beschleunigung ist ihr die Gravitationskraft ${\vec {v_{g}}}$ entgegengesetzt. Diese beträgt $g=9{,}81\,{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$.

Konkrete Zielsetzung der Modellierung
Modellierung einer parabelförmigen Absprungkurve nur auf Grundlage des Absprungwinkels, der Absprunggeschwindigkeit, sowie der Erdanziehungskraft.

Berechnung der Positionen P_x(x(t) | y(t)) des Pferdes während des Sprungs mithilfe der Funktionsgleichung.

Herleitung der relevanten Formeln
Das Modell des "schrägen Wurfs" aus der Physik dient uns als Grundlage für den ersten Modellierungszyklus. Wie oben beschrieben lässt sich die schiefe Absprungbewegung als Vektor in unserem Koordinatensystem darstellen.

Wir beginnen unsere Modellierung im Absprungpunkt. Hier wirkt die Anfangsgeschwindigkeit ${\vec {v_{0}}}$. Nach dem oben erläuterten Superpositionsprinzip teilt sich der Vektor ${\vec {v_{0}}}$ in die x-Komponente $v_{1,0}$ und die y-Komponente $v_{2,0}$ auf. Sowohl die gleichförmige Bewegung in horizontaler Richtung als auch die gleichmäßig beschleunigte vertikale Bewegung lassen sich analog zum waagerechten Wurf modellieren. Es ergibt sich ein rechtwinkliges Absprungdreieck mit dem Absprungwinkel $\alpha$ bei (0|0). Dementsprechend dürfen Sinus, Cosinus und Tangens angewendet werden.

Es gilt:
(1) $v_{1,0}=\int 0\,dt=C=v_{0}\cdot \cos(\alpha )$

(2) $v_{2,0}=\int -g\,dt=-g\cdot t+C$ = $-g\cdot t+v_{0}\sin(\alpha )$

Diese Formeln lassen sich auch auf alle anderen Positionen auf der Sprungkurve übertragen:
(3) $v_{1,0}=v_{0}\cdot \cos(\alpha )$ "Geschwindigkeit in x-Richtung"
(4) $v_{2,0}=v_{0}\cdot \sin(\alpha )'''-g*t'''$ "Geschwindigkeit in y-Richtung"
(5) $v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}$

Darauf aufbauend, unter Zuhilfenahme des 2. Newton'schen Gesetzes, lassen sich Gleichungen für die Sprungweite und die Sprunghöhe ableiten:
(6) $x(t)=v_{0}\cdot \cos(\alpha )\cdot t$ "Zeit-Ort-Gesetz in x-Richtung"
(6.1) $v_{1}(t)=v_{1,0}$ "Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz in x-Richtung"
(7) $y(t)=v_{0}\cdot \sin(\alpha )\cdot t-0,5\cdot g\cdot t^{2}+h$ "Zeit-Ort-Gesetz in y-Richtung"
(7.1) $v_{2}(t)=v_{2,0}-g\cdot t$ "Zeit-Geschwindigkeit-Gesetz in y-Richtung"

Stellt man Formel (7) nach t um, so erhält man eine Gleichung für die "Steigzeit" $t_{s}$. In unserem Fall meint Steigzeit die bis zum Erreichen des höchsten Punktes über dem Sprung benötigte Zeit:
(8) $t_{s}={\frac {v_{2,0}}{g}}$
Analog berechnet sich die "Wurzeit" t_w, sprich die für den Sprungablauf benötigte Zeit, wie folgt:
(9) $t_{w}={\frac {v_{2,0}+{\sqrt {(v_{2,0})^{2}+2\cdot g\cdot h}}}{g}}$

Zu guter Letzt können die Positionen des Pferdes während des Sprungs mithilfe der Teilgeschwindigkeiten in Abhängigkeit von der Zeit ausdrücken. Wie oben bereits beschrieben, erhält man die Teilgeschwindigkeiten, indem man die jeweilige Koordinate nach der Zeit t ableitet. Erneutes differenzieren bringt die Beschleunigung hervor. Folglich erhält man die Ortskoordinaten, indem man die Geschwindigkeiten integriert:
(10) $x(t)=\int v_{0}\cdot \cos(\alpha )\,dt=v_{0}\cdot \cos(\alpha )\cdot t$
(11) $y(t)=\int (-g\cdot t+v_{0}\cdot \sin(\alpha ))\,dt=-{\frac {1}{2}}g\cdot t^{2}+v_{0}\cdot \sin(\alpha )\cdot t+C$

Rechnung
Als Beispiel dient uns ein Steilsprung mit der Höhe 1,40 m und ein Pferd mit der Masse 500 kg. Ein Steilsprung ist ein Hochsprung ohne Weite. Da das Pferd das Hindernis fehlerfrei überwinden soll, gehen wir davon aus, dass es 1,45 m hoch springen muss. Das bedeutet, dass der Hochpunkt der Sprungkurve 5 cm über der Stange liegt. Dementsprechend liegt der Absprungpunkt 1,45 m vor dem Hindernis. Laut FN ist ein Tempo von $350{\text{m/s}}$ im Parcours vorgeschrieben. Wir gehen hierbei von einer mittleren Anforderung auf einem Außenplatz aus. Umgerechnet ergibt sich die Anfangsgeschwindigkeit $5,8{\overline {3}}\,{\text{m/s}}$. Um den Rechenaufwand geringer zu halten rechnen wir mit dem Wert $v_{0}=6m/s$. Der Absprungwinkel $\alpha$ wurde aus Videoaufnahmen bestimmt und ein Mittelwert berechnet. Demnach gilt: $\alpha =XX$. Der Wert für $g=9{,}81\,{\frac {\text{m}}{{\text{s}}^{2}}}$ lässt sich der Literatur entnehmen.

Zunächst berechnen wir mit Hilfe der Formeln (3) und (4) die horizontalen und vertikalen Anteile. In unserem Fall erhalt wir folgende Werte:
$v_{1,0}=6\,{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\cdot \cos(X)=$
$v_{2,0}=6\,{\frac {\text{m}}{\text{s}}}\cdot \sin(X)=$

Nun berechnen wir die Steigzeit $t_{s}$. Die Steigzeit bei einem Absprung eines Pferdes über ein Hindernis bezeichnet die Zeitspanne, die das Pferd benötigt, um vom Absprungpunkt bis zum höchsten Punkt der Flugbahn (Scheitelpunkt) zu gelangen. An diesem Punkt ist die y-Koordinate maximal, da sie am Scheitelpunkt ihren höchsten Wert erreicht. Die y-Koordinate der Geschwindigkeit ist 0, $v_{2}(t_{s})=0$, da am Scheitelpunkt das Pferd keine vertikale Geschwindigkeit mehr hat. Es bewegt sich für einen kurzen Moment nur horizontal, bevor es wieder zu sinken beginnt. So lässt sich die Steigzeit nach Umformung nach $t_{s}$ wie folgt notieren: $t_{s}={\frac {v_{2,0}}{g}}$

Mit Hilfe von (6) und (7) erhält man Koordinaten für den Scheitelpunkt: $S\left({\frac {v_{1,0}\cdot v_{2,0}}{g}}\,|\,{\frac {(v_{2,0})^{2}}{2g}}+h\right)$

Fazit/Ergebnis: Aufgrund der Anschaulichkeit, eignet sich dieses Modell im Schulalltag sehr gut, um in den Themenkomplex quadratische Funktionen und Gleichungen einzusteigen. Die Masse des Pferdes und damit auch der Luftwiderstand wurden in diesem Zyklus nicht berücksichtigt. Dies gilt es im nächsten Schritt miteinzubeziehen.

Modellierungszyklus II bzw. Uni-Niveau

Im ersten Zyklus haben wir das Modell des schrägen Wurfs aus der Physik angewandt, um die Absprungkurve eines Pferdes zu mathematischeren. Allerdings haben wir den Luftwiderstand außer Acht gelassen. Dieser Wirkt entgegengesetzt zum Geschwindigkeitsvektor ${\vec {v_{0}}}$. Der zweite Modellierungzyklus soll eine Weiterentwicklung des ersten Zykluses darstellen, mit dem Ziel eine realistischere Flugkurve des Pferdes zu erhalten. Um dies zu erreichen, beziehen wir den Luftwiderstand in unsere Überlegungen mit ein. Dementsprechend kommt nun das Modell des schrägen Wurfs mit Luftwiderstand zur Anwendung (ballistische Kurve).

Die Grundlage für die nachfolgenden Überlegungen liefert die Newton'sche Bewegungsgleichung, 2. Newton'sche Gesetz, (1) $F=m\cdot a$, wobei $F$ die Kraft bezeichnet, $m$ die Masse und $a$ die Beschleunigung.

Die auf einen Gegenstand wirkende Kräfte $F$ lassen sich aufteilen in die aus der Erdanziehung $g$ resultierende Gravitationskraft $F_{g}$, dem Luftwiderstand $F_{L}$. und den Geschwindigkeitsvektor ${\vec {v_{0}}}$.
(2) $F=F_{G}+F_{L}+{\vec {v_{0}}}=\sum F_{i}=m\cdot a$

Da die Beschleunigung $a$ gleich bleibt, kann aus (2) gefolgert werden:
$\Rightarrow$ umso größer die Masse, desto kleiner sind die Auswirkung des Luftwiderstandes
$\Rightarrow$ umso höher die Beschleunigung $a$, desto kleiner ist die Auswirkung des Luftwiderstands

Der Luftwiderstand lässt sich folgendermaßen berechnen:

(3) $F_{L}={\frac {1}{2}}\cdot \rho \cdot c_{w}\cdot A\cdot v^{2}$

Hierbei ist $\rho$ die Luftdichte, $A$ die Angriffsfläche des Windes und $c_{w}$ der Koeffizient des Luftwiderstandes. Der Koeffizient sagt etwas darüber aus, wie sich ein Körper durch ein Medium bewegt und ist für jeden Körper anders. Der Luftwiderstand hängt vom Quadrat der Gesamtgeschwindigkeit ab.
Aus dem ersten Modellierungszyklus wissen wir, das wir den schrägen Wurf mithilfe einer Horizontalbewegung längs der x-Achse und einer davon unabhängigen Vertikalbewegung entlang der y-Achse beschreiben können. Die entsprechenden Formeln gelten weiterhin

Herleitung

Mithilfe des Satzes des Pythagoras kann die Gesamtgeschwindigkeit ${\vec {v_{0}}}$ aus den Komponenten ${\vec {v_{1}}}$ und ${\vec {v_{2}}}$ berechnet werden.
(4) $v={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}$

Daraus lässt sich mithilfe von (3) die Luftwiderstandskraft ermitteln:
(5) $F_{L_{1}}=-v_{1}\cdot \left({\frac {F_{L}}{v}}\right)$ "x-Komponente des Luftwiderstands"
(6) $F_{L_{2}}=-v_{2}\cdot \left({\frac {F_{L}}{v}}\right)$ "y-Komponente des Luftwiderstands"

Darauf aufbauend betrachten wir die resultierenden Kräfte:
(7) $F_{1}=F_{L_{1}}$ "in x-Richtung wirkt nur der Luftwiderstand"
(8) $F_{2}=-mg+F_{L_{1}}$ "in y-Richtung muss die Gravitationskraft $F_{G}$ abgezogen werden"

Mithilfe des 2. Newton'schen Gesetzes berechnen sich die Beschleunigungskomponenten:
(9) $a_{1}={\frac {F_{1}}{m}}$
(10) $a_{2}={\frac {F_{2}}{m}}$

Im nächsten Schritt lassen sich die Zuwächse der Geschwindigkeitskomponenten berechnen:
(11) $v_{1}=v_{1_{0}}+a_{1}\cdot \Delta t$
(12) $v_{2}=v_{2_{0}}+a_{2}\cdot \Delta t$

Wir haben nun neue Werte für $v_{1}$ und $v_{2}$, aus denen sich die x- und y-Komponenten der Sprungbahn ergeben:
(13) $x=x+v_{1}\cdot \Delta t$
(14) $y=y+v_{2}\cdot \Delta t$

Rechnung

Um einen aussagekräftigen Vergleich zwischen den beiden Modellierungszyklen zu ermöglichen, behalten wir die Masse des Pferdes konstant bei 500 kg. Im Rahmen der zweiten Modellierung, in der wir den Luftwiderstand berücksichtigen, wird die Bedeutung der spezifischen Örtlichkeit besonders relevant. In unserem Beispiel nehmen wir den Innenbereich einer Reithalle als Ausgangspunkt. In dieser sind es 15°C und mit mittlerer Luftfeuchtigkeit. So ergeben sich für die Formel des Luftwiderstandes (3) folgende Werte:

• Luftdichte $\rho =1,2$ $\mathrm {kg/m^{3}}$
• Koeffizient des Luftwiderstands $c_{w}=1,0$
• Angriffsfläche (Körperansicht von vorne während des Sprungs) $A=1,6\mathrm {m^{2}}$
• Geschwindigkeit $v=6m/s$ (bzw. $21,6km/h$)

Für die nachfolgenden Berechnungen haben wir eine Ecxel Tabelle angefertigt und aus den berechneten Werten unsere Absprungkurve mit Luftwiderstand plotten lassen.

Literatur

Deutsche Reiterliche Vereinigung (Hrsg.). (2020). Die Reitabzeichen 5-1 der Deutschen Reiterlichen Vereinigung. Warendorf: FNverlag.

Fercher, C. (2023). Biomechanische Verfahren zur objektivierten Analyse der Sprungbewegung von Springpferden im Hochleistungssport [Dissertation, Justus-Liebig-Universität Gießen].

LEIFIphysik. (n.d.). Luftreibung – Grundwissen. Abgerufen am 2. Januar 2025, von https://www.leifiphysik.de/mechanik/reibung-und-fortbewegung/grundwissen/luftreibung

GeoGebra. (n.d.). Modellierung der Luftreibung (S4EyHaFa). Abgerufen am 2. Januar 2025, von https://www.geogebra.org/m/S4EyHaFa

Westermann Gruppe. (n.d.). Luftwiderstand und Energiebedarf: Auszug aus Physik 11 (ISBN: 978-3-507-10724-3) [PDF]. Abgerufen am 2. Januar 2025, von https://c.wgr.de/f/pdf/978-3-507-10724-3-13-l.pdf

Spirig, J. (n.d.). Physik-Unterrichtsmaterialien: Luftwiderstand und Bewegung [PDF]. Abgerufen am 2. Januar 2025, von https://ti-unterrichtsmaterialien.net/fileadmin/documents/Spirig02.pdf