Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Anteil der ausländischen Bevölkerung an der Gesamtbevölkerung in Deutschland
Hier entsteht ein Portfolio zur Mathematischen Modellbildung zum Thema Anteil der ausländischen Bevölkerung an der Gesamtbevölkerung in Deutschland
Modellierungsproblem
BearbeitenDeutschland ist ein Einwanderungsland. Gerade durch die Flüchtlingskrise im Jahr 2015 kamen ganz viele Flüchtlinge nach Deutschland. Dies ist nicht erst seit 2015, sondern schon früher kamen viele Gastarbeiter nach Deutschland, die in Deutschland sesshaft wurden. Deshalb stellt man sich die Frage, wie sich der ausländische Bevölkerungsanteil in den nächsten 5,10, 20 und 50 Jahren entwickelt.
Definition Ausländer/innen
BearbeitenAusländer/innen sind laut Quelle Personen, die nicht Deutsche im Sinne des Artikels 116 Absatz 1 des Grundgesetzes sind, d.h. keine deutsche Staatsbürgerschaft besitzen, aber in Deutschland melderechtlich erfasst sind. Dazu zählen auch Staatenlose und Personen mit ungeklärter Staatsangehörigkeit. Ausländer/innen gehören zu den Personen mit Migrationshintergrund. Sie können in Deutschland geboren oder zugewandert sein. Die Beobachtung des Anteils der Ausländer/-innen an der Gesamtbevölkerung ermöglicht laut Quelle die strukturelle Beurteilung der Bevölkerung.
Ausgangssituation
Bearbeiten| Jahr | Gesamt-bevölkerung Deutschland in Tsd. | deutsche
Staatsbürger in Tsd. |
Anteil
deutscher Staatsbürger in Prozent |
ausländische Bevölkerung
in Deutschland in Tsd. |
Anteil
ausländischer Bevölkerung in Deutschland in Prozent |
| 2015 | 82176 | 73523 | 89,47 | 8653 | 10,53 |
| 2014 | 81198 | 73655 | 90,71 | 7543 | 9,29 |
| 2013 | 80767 | 73748 | 91,31 | 7019 | 8,69 |
| 2012 | 80524 | 73881 | 91,75 | 6643 | 8,25 |
| 2011 | 80328 | 73982 | 92,10 | 6346 | 7,9 |
| 2010 | 81752 | 74550 | 91,19 | 7202 | 8,81 |
| 2009 | 81802 | 74669 | 91,28 | 7133 | 8,72 |
| 2008 | 82002 | 74819 | 91,24 | 7183 | 8,76 |
| 2007 | 82218 | 74958 | 91,17 | 7260 | 8,83 |
| 2006 | 82315 | 75063 | 91,19 | 7252 | 8,81 |
Fachwisssenschaftliche Grundlagen
BearbeitenAnalysis (Polynominterpolation)
Lineare Algebra (Matrizen berechnen)
Welche fachmathematischen Werkzeugen können/sollen für das Modell verwendet werden und auf welchem Niveau?
BearbeitenSekundarstufe I
BearbeitenTrigonometrische Funktionen
Sekundarstufe II
BearbeitenFunktionsgraphen
Arbeiten mit elektronischen Medien (Geogebra)
Uni
Bearbeiten- Matrizen (Maxima)
- Zeitreihen (zeitliche Entwicklung/Progrosen)
- Folgenbetrachtung im mehrdimensionalen Vektorraum
Modellierungszyklus
BearbeitenZyklus 1 (Uniniveau)
BearbeitenUm den Verlauf des Wachstums der ausländischen Bevölkerung zu beschreiben, wird eine Übergangsmatrix erstellt, um damit die folgenden Jahren zu berechnen. Um die Variablen der Übergangsmatrizen zu bestimmen haben wir folgende Daten über das Jahr 2014 vorliegen.
Bevölkerungsstand 81.197.600
Fortzüge deutscher Staatsbürger 148.636
Einbürgerungen 1,4%
daraus ergibt sich ein prozentualer Anteil der Fortzüge deutscher Staatsbürge von 0,18%
Hieraus können wir nun folgende Übergangsmatrix bestimmen:
Mit dieser Übergangsmatrix möchten wir nun die folgenden Jahren berechnen. Hierzu bestimmen wir die Matrix des Jahres 2015. Diese nennen wir x2015
Die Matrix für das Folgejahr können wir mittels Eingabebefehl in Maxima wie folgt bestimmen:
B2016: A*B2015
Für die Folgejahre kann dies analog berechnet werden.
x2017: A*x2016
x2018: A*x2017
.............
Für viele Folgejahre können wir dies auch verkürzt berechnen, hierzu schauen wir uns an, wie Maxima B2018 berechnet
(I) x2018=A*x2017
(II) x2017= A*x2016
(III) x2016= A*x2015
Durch Einsetzen von (III) in (II) ergibt sich
(II) x2017= A*A*x2015
(II) x2017=(A^2)*x2015
Durch Einsetzen von (II) in (I) ergibt sich
(I) B2018=(A^3)*x2015
Dies gilt für alle Fälle, somit lautet die allgemeine Formel
x(2015+n)=(A^n)*x2015
n= Jahre in der Zukunft von 2015
Folglich ergibt sich für das Jahr 2025:
x(2025)=(A^10)*x2015
Mit dieser Formel können sowohl in die Zukunft als auch in die Vergangenheit blicken.
| Jahr | Anteil der ausländischen Bevölkerung | Anteil der deutschen Staatsbürger | Anteil der ausländischen Bevölkerung | Anteil der deutschen Staatsbürger |
| berechnete Werte | reale Werte | |||
| 2010 | 4,1 | 95,9 | 8,81 | 91,19 |
| 2011 | 5,4 | 94,6 | 7,9 | 92,1 |
| 2012 | 6,71 | 93,29 | 8,25 | 91,75 |
| 2013 | 8 | 92 | 8,69 | 91,31 |
| 2014 | 9,28 | 90,72 | 9,29 | 90,71 |
| 2015 | 10,53 | 89,47 | 10,53 | 89,47 |
| 2016 | 11,76 | 88,24 | ||
| 2017 | 12,98 | 87,02 | ||
| 2018 | 14,17 | 85,83 | ||
| 2019 | 15,35 | 84,65 | ||
| 2020 | 16,51 | 83,49 | ||
| 2021 | 17,65 | 82,35 | ||
| 2022 | 18,77 | 81,23 | ||
| 2027 | 24,11 | 75,89 | ||
| 2037 | 33,61 | 66,39 | ||
| 2067 | 54,5 | 45,5 | ||
In den nächsten Jahren scheinen die Ergebnisse der Berechnungen realitätsnah. Der Ausländeranteil steigt allerdings immer mehr gleichzeitig nimmt die Steigung dabei ab. Ähnlich einer Logarithmusfunktion. Unsere Matrix nähert sich einem Ausländeranteil von 88,7% an. In der Vergangenheit nimmt die Prognose negative Werte an, dies ist nicht möglich.
Leider liefern uns diese Ergebnisse keinen zufriedenstellenden Ausblick in die Zukunft, aus diesem Grund müssen wir einen neuen Zyklus durchführen um die Prognosen zu verbessern
Zyklus 2 (Sekundarstufe II)
BearbeitenModellbildung auf dem Niveau der Sekundarstufe I
Wie kann die Entwicklung des Anteils der ausländischen Bevölkerung an der Gesamtbevölkerung mittels eines Funktionsgraphen beschrieben werden.
Damit eine Funktion interpoliert werden kann, müssen zunächst Funktionswerte bestimmt werden.
Da im Jahr 2015 der Zuwachs von Flüchtlingen außergewöhnlich groß war, betrachten wir die Jahre vor 2015 um die Zukunft zu prognostizieren.
x entspricht den Jahren, wobei das Jahr 2012 x=0
y entspricht dem Anteil der ausländischen Personen in Prozent
folglich ergeben sich folgende Punkte
A (0 / 8,25)
B (1 / 8,69 )
C ( 2 / 9,29 )
Mittels Polynominterpolation berechnet uns Geogebra die Funktion
Hierzu müssen wir in Geogebra folgenden Befehl in der Eingabezeile eingeben: Polynom({A, B, C})
f(x) = 0,08x^2+ 0,36x +8,25
damit wir gleichzeitig den Anteil der deutschen Bevölkerung berechnen können, bestimmen wir die Punkte analog.
D (0 / 91,75)
E (1 / 91,31)
F (2 / 90,71)
Mittels Polynominterpolation berechnet uns Geogebra die Funktion
Befehl in Geogebra : Polynom({D, E, F})
g(x) = -0,08x^2-0,36x +91,75
Um zu überprüfen ob die Funktionswerte von f(x) und g(x) 100 Prozent ergeben, erstellen wir die Funktion h(x)= f(x)+g(x)
Hierzu geben wir in die Eingabezeile folgendes ein: f(x)+g(x)
Die Funktionen liefern uns folgende Werte:
| Jahr | Anteil der Ausländischen Bevölkerung | Anteil deutscher Staatsbürger |
| 2017 | 12,05 | 87,95 |
| 2018 | 13,29 | 86,71 |
| 2019 | 14,69 | 85,31 |
| 2020 | 16,25 | 83,75 |
| 2021 | 17,97 | 82,03 |
| 2022 | 19,85 | 80,15 |
| 2023 | 21,89 | 78,11 |
| 2024 | 24,09 | 75,91 |
| 2025 | 26,45 | 73,55 |
| 2026 | 28,97 | 71,03 |
| 2027 | 31,65 | 68,35 |
| 2037 | 67,25 | 32,75 |
| 2044 | 101,69 | -1,69 |
| 2067 | 270,05 | -170,05 |
Bei den Funktionen kommt in den nächsten Jahren ein sehr realistisches Ergebnis zu Stande. Jedoch kann man schlecht eine längere Prognose für die Zukunft anstellen, da die Funktionen z.B. für das Jahr 2067 ein Ergebniss über 100 Prozent liefert und dies ist nicht möglich. Deshalb ist diese Funktion nur für einen kurzen Zeitraum als Prognosemittel geeignet.
Aus diesem Grund müssen wir eine andere Vorgehensweise wählen.
In den nächsten Jahren scheinen die Ergebnisse der Berechnungen realitätsnah, allerdings ist auch zu erkennen, dass ab dem Jahr 2044 der Anteil der ausländischen Bevölkerung über 100% beträgt. Dies ist praktisch nicht möglich.
Wir haben festgestellt, je höher der Grad der Funktion, desto schneller wird der y-Wert 100 erreicht. Im Umkehrschluss bedeutet dies, je niedriger der Grad desto besser die Prognose. Somit liefert eine lineare Funktion eine noch bessere Näherung als die quadratische Funktion.
| Jahr | Anteil der ausländischen Bevölkerung | Anteil deutscher Staatsbürger |
| 2012 | 9,17 | 90,83 |
| 2013 | 9,23 | 90,77 |
| 2014 | 9,29 | 90,71 |
| 2015 | 9,35 | 90,65 |
| 2016 | 9,41 | 90,59 |
| 2017 | 9,47 | 90,53 |
| 2018 | 9,53 | 90,47 |
| 2019 | 9,59 | 90,41 |
| 2020 | 9,65 | 90,35 |
| 2021 | 9,71 | 90,29 |
| 2022 | 9,77 | 90,23 |
| 2023 | 9,83 | 90,17 |
| 2024 | 9,89 | 90,11 |
| 2025 | 9,95 | 90,05 |
| 2026 | 10,01 | 89,99 |
| 2027 | 10,07 | 89,93 |
| 2037 | 10,67 | 89,33 |
| 2067 | 12,47 | 87,53 |
| 3526 | 100,01 | -0,01 |
Diese Funktion liefert uns zwar realistische Werte, jedoch kann der Graph niemals linear sein, da der Wanderungsprozess eher einem zyklischen Modell, als einem linearen Prozess ähnelt. Ebenso kann der Anteil der ausländischen Bevölkerung niemals mehr als 100 Prozent erreichen.
Anbei der Link zum dazugehörigen Geogebra-Applet : https://ggbm.at/WwDRqMRA
Zyklus 3 (Sekundarstufe I)
BearbeitenPrognose mittels einer trigonometrischen Funktion
Aufgrund der vorhandenen Daten ist es möglich eine Näherung mittels durch eine Funktion mittels Schieberegler zu bestimmen.
Der Anteil von ausländischen Bürgern und Bürgerinnen in Deutschland kommt schubweise, ähnlich einer Wellenform. Dies erinnert an eine Sinus-Funktion.
Um eine passende Sinus-Funktion zu ermitteln, ist es hilfreich in Geogebra mittels Schieberegler zu arbeiten.
Die allgemeine Sinus-Funktion lautet: sin(x)= a*(b*x-c)+d
Die Variablen a,b,c und d werden als Schieberegler festgelegt.
Die Punkte 2011 bis 2014 haben wir definiert:
A (0, 8,25)
B (1, 8,69)
C (2, 9,29)
D (-1 ,7,9)
Die mögliche Funktion soll möglichst nahe an allen vier Punkten sein. Hierzu haben wir folgende Funktion gefunden: q(x)= 0.8*sin(0.8*x-1.2)+8,6
| Jahr | Anteil der Ausländisches Bevölkerung | Anteil deutscher Staatsbürger |
| 2017 | 8,87 | 91,13 |
| 2018 | 8,25 | 91,75 |
| 2019 | 7,84 | 92,16 |
| 2020 | 7,89 | 92,11 |
| 2021 | 8,38 | 91,62 |
| 2022 | 9,00 | 91,00 |
| 2023 | 9,37 | 90,63 |
| 2024 | 9,28 | 90,72 |
| 2025 | 8,78 | 91,22 |
| 2026 | 8,16 | 91,84 |
| 2027 | 7,82 | 92,18 |
| 2037 | 8,56 | 91,44 |
| 2067 | 7,86 | 92,14 |
| 3526 | 8,23 | 91,77 |
Grafik
Anbei der Link zur dazugehörigen Geogebra- Datei : https://ggbm.at/KZQVkacH
Fazit
BearbeitenZuordnung zu den Nachhaltigkeitszielen
BearbeitenDeutschland ist ein Sozialstaat. Dies wird in Artikel 20 des GG festgelegt. "Die Bundesrepublik Deutschland ist ein demokratischer und sozialer Bundesstaat." Deshalb wird das Wohlergehen aller gesichert und es werden die Einhaltung der Menschenrechte garantiert. Deutschland als Sozialstaat setzt sich zum Ziel, menschenwürdige Lebensverhältnisse sicherzustellen, Armut zu bekämpfen, in Notlagen zu helfen, Chancengleichheit zu schaffen, ein Einkommen im Alter zu sichern, das Risiko bei Arbeitslosigkeit zu minimieren sowie bei Krankheit, Pflege und bei der Kindererziehung finanziell zu unterstützen. Da die Durchsetzung dieser Garantien Geld kostet, wird ein erheblicher Teil der Steuereinnahmen für die soziale Sicherung verwendet. Die Bürger eines Sozialstaats sind Teil einer Solidargemeinschaft, die im Ernstfall füreinander einsteht. Der Staat übernimmt die Organisation der sozialen Absicherung.
Genau aus diesem genannten Grund, ist Deutschland ein sehr lukratives Einwanderungsland für viele Menschen und deshalb wandern immer mehr Menschen nach Deutschland ein.
- SDG16, Peace, Justice and Strong Institutions
Da die Bundesrepublik Deutschland ein Rechtstaat ist, wird der Zugang zur Justiz allen Menschen gewährleistet. Dadurch, dass die Menschenrechte berücksichtigt werden, herrscht im Deutschland ein harmonisches Zusammenleben, im Vergleich zu anderen Ländern. Deshalb ist Deutschland, wie bereits oben erwähnt, ein sehr interessantes Land für die Einwanderer, vor allem für die, bei denen aktuell Krieg herrscht.
Quellenverzeichnis
Bearbeitenhttps://www.gesetze-im-internet.de/gg/art_20.html
https://de.statista.com/statistik/daten/studie/157440/umfrage/auswanderung-aus-deutschland/