Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Softwarenutzung/Tabellenkalkulation

Allgemeines

• Arbeitsblatt mit Spalten und Zeilen
• einfach zu Bedienen
• viele Funktionen und Verwendungsmöglichkeiten:

Wertetabellen, Diagramme, numerische Verfahren, stochastische Experimente etc.

Formeln

• Formeln beginnen mit "="
• Wert der Zelle A1: "=A1"
• Bezug auf andere Zellen möglich

z.B.: Multiplikation der Werte der Zellen A1 und A2:

"=A1*A2"

• relative Bezüge bleiben beim Kopieren oder Verschieben erhalten

verschieden Funktionen

• "=SUMME()": bildet Summe
• "=MITTELWERT()": bildet Mittelwert
• "=VARIANZ()": bildet empirische Stichprobenvarianz
• "=STABW()": bildet Standardabweichung der Stichprobe

Beispiel: Aufgabe Tiere

Erstellen von Diagrammen

• Säulen-, Balken-, Kreis-, Linien-, XY-Streudiagramme möglich
• Datenbereich markieren und über "Einfügen" eine Diagrammart wählen
• Diagrammtyp, Datenbereiche, Beschriftungen, Legenden, Farben etc. können im Nachhinein angepasst werden

Beispiel: Aufgabe Tiere

Aufgabe Tiere Diagramm

weitere wichtige Befehle

• "=ZUFALLSZAHL()*x": erzeugt eine zufällige Zahl aus [0,x[
• "=ZUFALLSBEREICH(x;y)": erzeugt eine zufällige ganze Zahl aus [x,y]
• Wenn-Abfragen:

"=WENN(Bedingung; Wert wenn wahr; Wert wenn falsch)"

"=ZÄHLENWENN(Bereich; Bedingung)"

Beispiel: Monte-Carlo-Simulation

• Näherungsweise Bestimmung von π
• Zwei Spalten X und Y (500 Punkte) in denen jeweils Zufallszahlen in [0,1] simuliert werden
• Überprüfung, ob der simulierte Punkt innerhalb des Kreises liegt
• Näherungsweise Bestimmung von π durch:

$\pi \approx {{4\cdot Treffer-in-Kreisfl{\ddot {a}}che} \over {Treffer-im-Quadrat}}$

Monte-Carlo-Simulation

Beispiel: Monte-Carlo Simulation

Das Newtonverfahren

• Verfahren zur numerischen Nullstellenbestimmung einer Funktion
• Idee: Nullstelle der Tangente in (x_n,f(x_n)) an den Graphen ist neuer Iterationspunkt
• Iterationsvorschrift: $x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$
• Abbruchbedingung: $|x_{n+1}-x_{n}|<\varepsilon$

Umsetzung in Excel

• Tabelle mit $x_{n},f(x_{n}),f'(x_{n}),x_{n+1},$ anlegen
• Überprüfung der Abbruchbedingung:

"=WENN((ABS($x_{n+1}-x_{n})<\varepsilon$));"JA";"NEIN")"

Umsetzung in Excel

Gradientenabstiegsverfahren

• Numerisches Näherungsverfahren im Bereich der Optimierung (z.B: Minimierungsproblem)
• Gradient: Vektor, der in Richtung des steilsten Anstieges zeigt
• Idee: Wähle Startpunkt. Verschiebe diesen immer wieder stückweise in Richtung des negativen Gradienten, bis der Gradient gleich Null ist → Minimum oder Sattelpunkt

Umsetzung in Excel

• Wähle Startstelle $(x_{1},x_{2})$
• Berechne $df \over {dx_{1}}$ und $df \over {dx_{2}}$
• Schritt in $x_{1}$Richtung:

"=- $df \over dx_{1}$ * Schrittweite / WURZEL(${df \over {dx_{1}}}^{2}$ + ${df \over {dx_{2}}}^{2}$)"

• Schritt in $x_{2}$ Richtung analog
• neue Schrittweite:

"=WENN(f($x_{n+1}$) > f($x_{n}$); Schrittweite/2; Schrittweite)"

Umsetzung in Excel

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