Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona-Modellierung/Zyklus 2 Teilprojekt 1

Einführung in das Thema Bearbeiten

Kurzvorstellung Bearbeiten

Untersuchen der Luftqualität in Klassenräumen im Hinblick auf die Sitzordnung

im ersten Lockdown (März 2020) Schließungen von jeglichen Bildungseinrichtungen

Präsenzunterricht soll nicht mehr ausfallen

deshalb mittlerweile (seit Juni 2020) Hygiene-Konzepte, die neben den AHA-Regeln auch regelmäßiges Lüften vorsehen

aufgrund dieser Relevanz Thema dieses Projekts

Mathematische Aspekte Bearbeiten

Fragestellung der Modellierung:

Wie gut werden verschiedenen Raumpunkte und Bereiche in einem Klassenzimmer gelüftet und was bedeutet dies für die Sitzordnung?

Bezug zur Mathematik

Modellierung auf verschiedenen Niveaus:

Sekundarstufe 1: elementare Geometrie
Sekundarstufe 2: analytische Geometrie
Universität: mehrdimensionale Analysis
verwendete Programme: Geogebra, Maxima

Modellierungszyklus 2 - Niveau Sekundarstufe 2 Bearbeiten

Ablauf eines Modellierungszyklus' Bearbeiten

Modellbildungszyklus

Einführung Bearbeiten

Betrachtung des Klassenzimmers als dreidimensionaler Körper

⇒ Luftgüte ist jedem einzelnen Raumpunkt zuzuordnen

3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer Bearbeiten

3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer

Vorläufiges Modell Bearbeiten

Luftströme zwischen Tür und Fenster als schiefe Pyramidenstümpfe
inkl. zusätzlichem Teilstück um die Fenster und die Tür

⇒Annahme: Gesamter Pyramidenstumpf optimal belüftet

Abstand des Raumpunkts zur Oberfläche des äußersten Pyramidenstumpfes als Maß für die Luftqualität
berechenbar über das Lotfußpunktverfahren

Problematik Bearbeiten

16 Ebenen und 36 Kanten, zu denen Abstand bestimmt werden könnte

⇒ Zuordnung und resultierende Berechnung wird zu komplex

Lösung des Problems Bearbeiten

Betrachtung der Geraden zwischen den Schwerpunkten der Tür und der Fenster
Berechnung wird ohne Verlust an Aussagekraft vereinfacht, eher Verbesserung

⇒ realitätsnäher

nur Bereich der Gerade wird optimal belüftet, je weiter weg, desto schlechter

Überarbeitetes 3D Modell zur Bewertung der Luftqualität im Klassenzimmer - https://www.geogebra.org/classic/sd7cj7x4
Bearbeiten

[1]

Berechnung Bearbeiten

Vorgehensweise (1) Bearbeiten

Abstand des Punktes zu den Schwerpunktgeraden zwischen der Tür und den Fenstern als Indikator für Lüftungsqualität
Verwendung des Lotfußpunktverfahrens oder Abstand zwischen dem Schwerpunkt des jeweiligen Fensters und dem Raumpunkt
Abstände zu allen Strecken in Kombination werden betrachtet

Vorgehensweise (2) Bearbeiten

Die Lüftungsgüte wird so normiert, sodass sie auf jede einzelne Strecke bezogen nur einen Wert zwischen Null und Eins erreichen kann
Eins ist optimale Lüftung, Null keine Lüftung
Die Lüftungsgüte der einzelnen Strecken werden addiert: Gesamtlüftungsgüte hat Werte zwischen Null und Vier

Beispielrechnung Bearbeiten

1. Bearbeiten

Berechnung vom Abstand von einem beliebigen Punkt $P$ zu allen Strecken, welche von der Tür zu einem der vier Fenster verlaufen

1.1 Bearbeiten

Abstand des Punktes $P$ zur Strecke $\epsilon$
Punkt $T$ sei der Mittelpunkt der Tür, Punkt $F_{4}$ der Mittelpunkt des vierten Fensters.
Gerade $e$ ist die Trägergerade der Strecke $\epsilon$

1.2 Bearbeiten

Geradengleichung von $e$ : ${\vec {x}}={\vec {T}}+\lambda \cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})$ .
Abstand von $P$ zu $e$ mithilfe des Lotfußpunktverfahrens.

1.3 Bearbeiten

Normalengleichung der Hilfsebene $h_{4}$ : $({\vec {P}}-{\vec {x}})\cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})={\vec {0}}$ (Skalarprodukt)
Schnittpunkt der Gerade $e$ und der Hilfsebene $h_{4}$ :
Einsetzen der Geradengleichung in die Ebenengleichung: $({\vec {P}}-({\vec {T}}+\lambda \cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})))\cdot ({\vec {F_{4}}}-{\vec {T}})={\vec {0}}$
Auflösen nach Parameter $\lambda$
Einsetzen in die Geradengleichung von $e$ ergibt den Lotfußpunkt $LF_{4}$ von $P$ auf $e$ .

Fallunterscheidung Bearbeiten

Fall 1:

Lotfußpunkt $LF_{4}$ liegt innerhalb des Klassenzimmers $[0;9]$ x $[0;7]$ x $[0;3]$
Betrag des Vektors $|{\vec {P}}-{\vec {LF_{4}}}|$ ist Abstand von Punkt $P$ zur Strecke $\epsilon =|TF_{4}|$
Betrag berechnet sich durch: ${\vec {x}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$
Es folgt: $|{\vec {P}}-{\vec {LF_{4}}}|={\sqrt {(P_{x}-LF_{4x})^{2}+(P_{y}-LF_{4y})^{2}+(P_{z}-LF_{4z})^{2}}}$ .

Fallunterscheidung Bearbeiten

Fall 2:

Lotfußpunkt $LF_{4}$ liegt außerhalb des Klassenzimmers $[0;9]$ x $[0;7]$ x $[0;3]$
Abstand zur Trägergeraden entspricht nicht dem geringsten Abstand zur eigentlichen Strecke
Lage des Lotfußpunkts ist an dessen y-Koordinate zu erkennen
Ist y-Koordinate > 7, so befindet sich der Lotfußpunkt nicht mehr im Quader
Abstand von Punkt $P$ zum Schwerpunkt $F_{4}$ von Fenster 4: $|{\vec {P}}-{\vec {F_{4}}}|={\sqrt {(P_{x}-F_{4x})^{2}+(P_{y}-F_{4y})^{2}+(P_{z}-F_{4z})^{2}}}$

2. Bearbeiten

Berechnung der Lüftungsqualität

2.1 Bearbeiten

Abstand muss sinnvoll normiert werden. Hierzu wurde folgende Gleichung gewählt: $L_{4}={1 \over {1+{s_{4}}^{2}}}$
$L_{4}$ ist Lüftungsqualität im Bezug zu Fenster 4
$s_{4}$ Abstand zu der Lüftungsgeraden von Fenster 4
Die Lüftungsgüte kann nur Werte im Bereich $(0,1]$ annehmen
Mit immer größer werdendem Abstand konvergiert Lüftungsqualität gegen Null
Quadrieren des Abstandes führt dazu, dass Abständen im Bereich $(0,1)$ um die Schwerpunktgeraden herum kleinere Werte zugeordnet werden

2.2 Bearbeiten

Insgesamt Lüftungsgüte $L_{gesamt}\in (0,4]$ : Summe der einzelnen Werte $L_{1}$ bis $L_{4}$ : $L_{gesamt}=L_{1}+L_{2}+L_{3}+L_{4}$
Lüftungsgüte von vier bedeutet eine ideale Lüftung