Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Corona und Motivation/Modellierungszyklus 2

Einleitung

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Optimierung von Zyklus 1

• Von linearer Interpolation zu glatter Interpolation
• Stückweise Interpolation (über Sinus)
• glätten der linearen Interpolation aus Zyklus 1

Zielgruppe

• Lehrkräfte

Aufgaben für Lernende / Studierende

• Auf Vorwissen der SuS zurückgreifen
• Beispielsweise durch Fragestellungen
• SuS mit der Sinus Formel arbeiten und verschieben lassen
• Ähnlich zu Unterstufe, lin Fkt verschieben lassen

Mathematische Werkzeugeund benutzte Formeln

• Glättung der linearen Interpolation durch stückweise Interpolation über Sinus Kurve

Herangehensweise über Programm ("Ausprobieren")

• Punkte des Mittelwerts in Koordinatensystem eintragen
• Sinus Standard Funktion Hinzufügen
• So lange Schieben bis Verbindung vom ersten zum zweiten Punkt entsteht
• Vorteil: Schieben von Funktionen in Geogebra kennen SuS bereits
• Wenn Funktionsgraph gefunden dann an restlichen Stellen 0 setzen
• Wiederholen und so ensteht glattere Interpolation

• https://www.geogebra.org/classic/cqya3qgv

Mathematische Herleitung

• Über Ausprobieren sieht man groben Verlauf der Interpolation
• Parameter Stück für Stück herausfinden

• Zur Interpolation von $n$ Stützstellen $(x_{j},y_{j})$ mit $j=0,...,n$ definiere:

$g:[x_{0};x_{n}]\to \mathbb {R} ,g(x)=\sum _{j=0}^{n-1}\,f_{j}(x)$

• Die Funktion g interpoliert die Stützstellen

Herleitung über Sinus Kurve

• Dabei ist $f_{j}(x)$ über eine verschobene und gestreckte, beziehungsweise gestauchte Sinusfunktion definiert als:

$f_{j}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f_{j}(x)={\begin{cases}{{y_{j+1}-y_{j}} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {x_{j+1}-x_{j}}}\cdot {(x-{{x_{j+1}+x_{j}} \over 2})}})+{{y_{j+1}+y_{j}} \over 2}&{\text{wenn}}&x_{j}\leq x\leq x_{j+1}\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

Beispiel

Für die Stützstellen $(x_{0},y_{0})=(0,-0.2)$ und $(x_{1},y_{1})=(1,3.9)$ ist

$f_{0}:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,f_{0}(x)={\begin{cases}{{y_{1}-y_{0}} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {x_{1}-x_{0}}}\cdot {(x-{{x_{1}+x_{0}} \over 2})}})+{{y_{1}+y_{0}} \over 2}&{\text{wenn}}&x_{0}\leq x\leq x_{1}\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

$={\begin{cases}{{3.9-(-0.2)} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {1-0}}\cdot {(x-{{1+0} \over 2})}})+{{3.9+(-0.2)} \over 2}&{\text{wenn}}&0\leq x\leq 1\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

$={\begin{cases}{{4.1} \over 2}\cdot \sin({{\pi \over {1}}\cdot {(x-{{1} \over 2})}})+{{3.7} \over 2}&{\text{wenn}}&0\leq x\leq 1\\0&{\text{sonst}}&\end{cases}}$

Benutzte Programme

• Geogebra zur Implementierung der Funktion
• Man kann hier Funktion verschieben

Optimierung

• Hier nur mit den Mittelwerten gearbeitet
• ggf auch andere Stützstellen bei anderen Werten
• Verfahren finden um dies gut variieren zu können: Newton

Siehe auch

• Wiki2Reveal

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