Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Darts

klassische Dartscheibe

Modellierungsproblem

Beim Darts geht es darum mit Pfeilen auf eine Scheibe zu werfen, welche in verschiedene Segmente unterteilt ist. Die verschiedenen Segmente sind mit unterschiedlichen Punktzahlen versehen. So ergibt sich nach dreimaligem Werfen auf eine Dartsscheibe eine individuelle Punktzahl. Die Dartsscheibe teilt sich wie folgt auf: Im Inneren ein Kreis, das Bullseye, umgeben von einem Ring, dem Single Bull. Des weiteren teilt sich die Scheibe in 20 Segmente, wie ein Rad mit Speichen. Diese sind durchnummeriert und haben die Wertigkeiten von 1 bis 20 in folgender Reihenfolge: 20 – 1 – 18 – 4 − 13 – 6 – 10 – 15 – 2 – 17 – 3 – 19 – 7 – 16 – 8 – 11 – 14 – 9 – 12 – 5 (im Uhrzeigersinn). Des weiteren gibt es zwei Ringe auf der Dartsscheibe, welche dreifache bzw. doppelte Punkte geben (siehe Dartscheibe). In der hier durchgeführten Modellierug geht es um die Frage der Visualisierung vom Können eines Werfers und darum einen Weg zu finden sein Wurfverhalten mathematisch darzustellen.

Fragen:

Wie lässt sich die Verteilung von Würfen eines Werfers darstellen?

Gibt es eine Richtung in die der Werfer tendenziell eher wirft und wenn ja, wohin?

Gibt es ein Maß für die Güte eines Werfers, welches unabhängig von den Punkten funktioniert?

Kann man für einen Werfer eine Empfehlung aussprechen, auf welchen Punkt er zielen soll um möglichst viele Punkte zu erreichen?

Fachwissenschaftliche Grundlagen

• Wahrscheinlichkeit
  • Sekundarstufe I
    • absolute Häufigkeit
    • relative Häufigkeit
    • Streuung (Ballisitk)

• • Sekundarstufe II
    • Erwartungswert
    • Varianz
    • stetige Wahrscheinlichkeitsverteilung

• • Uni-Niveau
    • Vektoralgebra
    • diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung
    • Erstellen einer umfassend verknüpften Tabelle in einem Tabellenkalkulationsprogramm

Softwarenutzung

Da innerhalb der Modellierung geometrische Werkzeuge benötigt werden aber auch Daten miteinander in Beziehung gestellt werden müssen werden folgende Programme verwendet:

• GeoGebra, für die grafische Darstellung einer Dartscheibe und zur Berechnung einzelner Zielbereiche.
• Eine Software für Tabellenkalkulationen, zum Erfassen der Wurfdaten und zur Berechnung verschiedener Parameter wie z.B. der durchschnittlichen Abweichung vom Zielpunkt.

Datenerhebung

Zur Erhebung der Daten werden freiwillige Darts-Laien oder Anfänger gebeten 100 mal auf eine Scheibe zu werfen, welche in ein Raster unterteilt wurde. Der Punkt auf den sie zielen sollen (Zielpunkt_Ziel) ist quadratisch mit einer Kantenlänge von 1cm. Das Raster besteht aus insgesamt 441 solcher Quadrate, geordnet in 21 Zeilen und 21 Spalten. Der Zielpunkt ist der Punkt genau in der Mitte des Rasters. Die Tabelle, welche sich so ergibt wird wie ein Koordinatensystem eingeteilt. Dabei wird der Zielpunkt in Zeile 11 und Spalte 11 als Punkt mit dem X-Achsenwert X=0 und dem Y-Achsenwert Y=0 benannt. Nach rechts steigt der X-Wert mit jedem Feld um 1 und sinkt mit nach links mit jedem Feld um 1. Gleiches gilt Für die Y-Werte nach oben oder unten. So hat das Feld ganz oben Links die Werte X=-10 und Y=10, das Feld rechts unten hat die Werte X=10 und Y=-10. Das Raster wurde nach mehreren Selbstversuchen so gewählt, da es insgesamt groß genug ist um es nicht zu verfehlen, kleinschrittig genug um verschiedene Würfe gut von einander differenzieren zu können und dabei mit 441 Feldern eine überschaubare Anzahl an Feldern bietet um gut damit arbeiten zu können. Die Anzahlen der Würfe pro Trefferfeld werden in eine Tabelle innerhalb eines Tabellenkalkulationsprogramms eingegeben. So ergibt sich beispielsweise die abgebildete Tabelle.

100 erfasste Würfe von Werfer Erik

Modellierungszyklen

In den Modellierungszyklen werden zunächst die realen Situationen mathematisiert. So wird versucht die Realsituation mathematisch abzubilden um sie am Ende der Zyklen die mathematischen Ergebnisse zurück auf die Realsituation zu beziehen.

Modellbildungszyklus

Zyklus 1

Beim Blick auf die Dartscheibe sieht man recht schnell, dass maximal 60 Punkte mit einem Wurf erzielt werden können. Logischerweise würde man also bei 100 Würfen und dem Ziel, so viele Punkte wie möglich zu erreichen, auf die Triple 20 zielen. Man zielt also immer auf die gleiche Stelle auf der Dartscheibe. Deshalb wurde sich bei der Erhebung der Daten zunächst nur auf einen bestimmten Zielpunkt konzentriert und die Beschaffenheiten der Dartscheibe zunächst außer Acht gelassen.

Im ersten Modellierungszyklus werden also zunächst die erhobenen Daten betrachtet. Anschließend wird mit Hilfe eines Tabellenkalkulationsprogramms (s. Bild)

Raster zur Erfassung der Würfe

eine Tabelle entworfen. Da bei der Datenerhebung ein zweiachsiges Raster gewählt wurde bietet sich dies an. Die Anzahlen der Trefferpunkte im jeweiligen Segment können nun in die Tabelle eingetragen werden. Mit Hilfe des Programms wird eine einfache Form einer Heatmap (s. Bild)

Heatmap von Werfer Lukas

erstellt um ein Gefühl für das jeweilige Trefferbild zu entwickeln. Die Zellen der Tabelle werden so miteinander verknüpft, dass ein Wert für die Rechts-Links-Verschiebung und ein Wert für die Verschiebung nach oben oder unten angegeben werden. Die Werte berechnen sich aus dem Arithmetisches Mittel, welches aus den einzelnen Trefferpunkten errechnet wird. Dadurch erhält man zwei Werte. Diese beiden Größen geben nun den Punkt an, welcher im Durchschnitt vom Werfer getroffen wurde. Hinter der Berechnung dieser Werte steckt der Gedanke der Vektoraddition. Interpretiert werden diese Werte im Anschluss so: Der X-Wert (X_mittel) zeigt die durchschnittliche Abweichung vom Zielpunkt nach links oder rechts. Ist der Wert negativ so wirft der Werfer tendenziell eher links am Ziel vorbei. Der Y-Wert (Y_mittel) gibt an, ob der Werfer eher über oder unter das Ziel wirft. Ist der Wert positiv liegt sein durchschnittlicher Trefferpunkt über dem Zielpunkt. Ist er negativ liegt er darunter. Betrachtet man die beiden Werte so, könnte man einen neuen Zielpunkt (Zielpunkt_neu) bestimmen, auf welchen der Werfer nun zielen müsste um im Durchschnitt den ursprünglichen Zielpunkt (Zielpunkt_Ziel) zu treffen. Zielpunkt_neu ergibt sich aus dem Vektor mit den Werten x = -X_mittel und y = -Y_mittel. Dieser gibt nun an um wie viele Zentimeter Zielpunkt_neu vom gewollten Zielpunkt entfernt sein muss. Dabei verschiebt man den Punkt um -X_mittel Zentimeter auf der X-Achse und um -Y_mittel Zentimeter auf der Y-Achse. Diese Methode zeigte sich jedoch als wenig praktisch. Bei Werfer Henry ergab sich ein neuer Zielpunkt, welcher nur lediglich 0,15 Zentimeter über und 0,26 Zentimeter links vom ursprünglichen gewollten Zielpunkt lag.

Trefferbild von Werfer Henry mit Abweichung in X- und Y-Richtung und Distanz_mittel

Bei seinem Trefferbild, welches aber nur wenige Trefferpunkte in direkter Nähe zum Zielpunkt hat ist eine solche Verschiebung fast wirkungslos. Weiterhin überschneiden sich Zielpunkt_neu und Zielpunkt_Ziel in diesem Beispiel zu circa 63%, was kaum einer Veränderung entspricht.

Zyklus 2

Um über die Güte des Trefferbildes eine Aussage zu treffen wird nun auch die mittlere Distanz zum Zielpunkt betrachtet. Hierzu werden die Werte in der Tabelle der Tabellenkalkulation miteinander verknüpft. Mit Hilfe des Satz des Pythagoras werden zunächst die Abstände der einzelnen Trefferfelder zum Zielpunkt ermittelt. Dafür wird immer vom Mittelpunkt des jeweiligen Trefferfeldes ausgegangen und eine Tabelle erstellt (s. Bild).

Abstände zum Zielpunkt der jeweiligen Trefferfelder

Die Anzahlen der jeweiligen Trefferfelder werden dann mit ihrem Abstand zum Zielpunkt multipliziert und anschließend werden die Produkte aller Trefferfelder addiert. Die entstandene Zahl wird durch die Gesamtzahl der Würfe geteilt. Die Tabelle ist so aufgebaut, dass eine beliebige Anzahl an Würfen eingetragen werden kann. Sie berechnet sofort den mittleren Trefferpunkt (Trefferpunkt_mittel) und die durchschnittliche Distanz zum Zielpunkt (Distanz_mittel). Damit einhergehend wurde die mittlere Abweichung vom Trefferpunkt_mittel (Distanz_TPmittel) berechnet also die Distanz, welche alle Treffer durchschnittlich von Trefferpunt_mittel haben. Auch diese Operation wurde in der Tabellenkalkulation ausgeführt.

Auf die Realsituation bezogen kann so nun ein Maß angegeben werden für die Güte eines Spielers. Güte bedeutet in diesem Fall, dass der Werfer möglichst genau den Zielpunkt trifft. Je kleiner der Betrag vom Vektor Trefferpunkt_mittel desto genauer trifft der Werfer den Zielpunkt im Durchschnitt. Je kleiner der Betrag von Distanz_mittel, desto näher wirft er im Durchschnitt an den Zielpunkt. Je kleiner der Betrag von Distanz_TPmittel, desto weniger stark sind die Treffer über die ganze Scheibe verteilt, sondern auf einen Punkt "zentriert".

Zyklus 3

Im dritten Zyklus wird nun die quadratische Standardabweichung ($m$) berechnet, wie sie auch in der Ballistik genutzt wird. Die Formel ergibt sich aus der Anzahl der Treffer $n$ und der jeweiligen Distanz zum mittleren Zielpunkt $l_{n}$.

Die Formel lautet: $m={\sqrt {\frac {\sum l_{n}^{2}}{n-1}}}$

Zusätzlich wird eine GeoGebra-Datei erstellt, welche eine Dartsscheibe zeigt. Auf diese Scheibe werden zwei Kreise gelegt, deren Radien mit einem Schieberegler verstellt werden können, sodass diese immer den selben Betrag haben.

GeoGebra-Datei mit Dartsscheibe und gleichgroßen Kreisen

Die Mittelpunkte der beiden Kreise liegen einmal genau in der Mitte des DoubleBull und einmal zentral in Triple 20. Für verschiedene Radien wird nun die durchschnittliche Punktzahl pro Wurf berechnet, welche sich ergeben würde, träfe man den Kreis in jedem seiner Punkte einmal. Die Wertetabellen, welche sich so erstellen lassen, werden miteinander verglichen.

Nach diesen beiden Schritten ist eine erste Aussage möglich, mit welcher quadratischen Standradabweichung $m$ auf welchen Zielpunkt geworfen werden sollte, entweder das Double Bull oder Triple 20. Dafür geht man bei der Standardabweichung $m$ davon aus, sie entspräche dem Radius der beiden Kreise auf der Scheibe.

Zusammenhang zu den Sustainable Development Goals

Die Sustainable Development Goals, kurz SDGs, gelten als von den Vereinten Nationen festgelegte Agenda für eine nachhaltige Entwicklung von Umwelt, Gesellschaft und Wirtschaft.

SDG3: Darts wird als Sport seit Anfang des 20. Jahrhunderts praktiziert und ist schon lange aus keinem Pub mehr wegzudenken. Als professioneller Sport aber auch als Freizeitbeschäftigung trägt es dazu bei, dass Menschen sich treffen und sich persönlich, wie sportlich, miteinander auseinandersetzen. Das trägt zu einer gesunden Gesellschaft bei und zum Wohlergehen einzelner. Innerhalb der Modellierung können Zusammenhänge hergsetellt werden zwischen Wohlbefinden der einzelnen Probanden und deren Leistungen innerhalb der Datenerhebung. Sind Werfer, welche oft Sport machen, besser als andere oder besteht kein mathematischer Zusammenhang zur Leistung. Auch können mathematische Zusammenhänge zwischen Links- und Rechtshändern dargestellt werden, sofern solche bestehen.

SDG5 : Frauen und Mädchen sollen im Rahmen der Sustainable Development Goals Mänern absolut gleichgestellt werden. In der Modellierung zum Thema Darts wird versucht die Leistungen von Frauen und Männern zu vergleichen. Da es beim Darts weniger um körperliche Stärke und viel mehr um Geschicklichkeit geht werden die Leistungen von weiblichen und männlichen Werfern verglichen. Wer wirft insgesamt genauer? Wer verbessert sich durch die angestrebte Optimierung stärker?