Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Energiekosten/Modellierungszyklus - Uni

Optimierung der Wassertemperatur und der Öffnungszeiten mittels Ideen der Fuzzy Logik

Idee dieses letzten Modellierungszyklus ist es die schon gewonnenen Kenntnisse über den Energieverbrauch eines Hallenschwimmbades zu nutzen und durch Optimierung der Wassertemperatur und der Öffnungszeiten weiter auszubauen.

Grundlage für unsere Überlegungen waren die Ideen der Fuzzy Logik.

Die Fuzzy Logik ist eine Methode der Verarbeitung unsicherer oder ungenauer Informationen. Es wurde in den 1960er Jahren von Lotfi Zadeh entwickelt und basiert auf der Idee, dass die Realität oft ungenau und unscharf ist. Im Gegensatz zur klassischen Logik, bei der ein Ausdruck entweder wahr oder falsch ist, ermöglicht die Fuzzy Logik die Verarbeitung von Ausdrücken, die graduelle Wahrheiten ausdrücken. In unserem Fall wäre das eine angenehme Wassertemperatur. In der klassischen Logik müsste man als dann eine Grenze definieren ab der dann die Temperatur nicht mehr angenehm wäre. Läge diese Grenze bei 24°C würde es bedeuten, dass bereits 23,99°C als unangenehm empfunden werden würden. Dies ist natürlich völliger Quatsch. So ist eine graduelle Zugehörigkeit zu der Variable "angenehme Temperatur" nötig. Beispielsweise würde man so einer Temperatur von 22°C vielleicht noch einen Zugehörigkeit von 60% zur Variable "angenehme Temperatur" zusprechen. Für manche Personengruppen wäre dies vielleicht sogar noch im Rahmen.

So ist ein wichtiges Anwendungsgebiet der Fuzzy Logik die Modellierung von menschlichen Entscheidungsprozessen. Da die menschliche Sprache oft unscharf und ungenau ist, ermöglicht die Fuzzy Logik es, Entscheidungsregeln zu formulieren, die der menschlichen Sprache und Denkweise ähneln. Da wir für unsere Modellbildung keine Umfrage von mehreren Personen durchführen konnten nehmen wir als Werte für die Temperatur die als angenehm oder nicht angenehm empfunden wird von den Durchschnittswerten eines durschnittlichen Erwachsenen.

Als erstes wird eine Funktion modelliert, die die Zugehörigkeit zur Variablen "angenehme Temperatur" beschreibt. Auf der x- Achse werden die möglichen Temperaturen in Grad Celsius aufgetragen. Die y-Achse besitzt Werte zwischen 0 und 1. Je nach Übereinstimmung der Temperatur mit der Variable "angenehme Temperatur".

Die Daten entsprechen den Durchschnittswert einer normalen Person. Wir haben die optimale Wassertemperatur auf 28°C gesetzt.

Die zweite Funktion stellt die optimale Öffungszeit dar. Hier beginnen wir bei 0 Stunden mit dem Wert 0 und es folgt ein linearer Anstieg auf den Maximalwert von 12 Stunden, welchem den Wert 1 zugeordnet wird.

Die Funktion:

$\mu (t,o)={\frac {1}{1+({\frac {t-28}{s}})^{2}}}+{\frac {1}{12}}\cdot o$

t= Wassertemperatur in °C

o= Öffnungszeiten in Stunden

s= Anstieg steiler oder langsamer bis zum Peak (hier wurde s=7 gesetzt)

soll eine Gütefunktion definieren. Das μ gibt hier den Grad der Übereinstimmung mit der optimalen Temperatur und der optimalen Öffnungszeit an. Im Sinne der Fuzzy Logik kann dies maximal den Wert 1 erreichen.

Via Geogebra lässt sich diese Funktion sehr gut veranschaulichen. Der Peak gibt das optimale Tupel an, bei der die optimale Temperatur und die optimale Öffnungszeit erreicht wird. Hierbei ist zu beachten, dass diese Funktion eine Funktion zweier veränderlicher ist. Durch die Addition der beiden Teile wird dieser optimale Punkt maximal den Wert 2 aufweisen. Zu bemerken ist hier, dass zwei Funktionen miteinander durch eine Addition verknüpft werden. Durch diese Addition kommt der Maximal-Wert von 2 zustande. Wollte man dies im Sinne der Fuzzy Logik auf 1 normieren, so müsste man diese ganze Funktion durch 2 dividieren. Wir haben es in unserer Simulation allerdings so belassen.

Im Sinne der Fuzzy Logik ist hier das perfekte Übereinstimmungsmaß für Temperatur und Öffnungezeit erreicht.

Da dies nun erreicht ist, können nun Intervalle bestimmt werden, in denen beide Interessen (Temperatur angenehm und Öffnungszeiten lange genug) im Sinne von Energie und Kosteneffizienz gut vertreten werden. Beispielsweise wäre eine Verbsserung des Systems, dass man Altersgruppen unterschiedlich behandelt. Ist es für ältere Menschen oder Kleinkinder wichtig, dass eine gewisse Temperatur erreicht wird, kann dies für Jüngere etwas anderes aussehen. So könnte man für die Gütefunktion μ unterschiedliche Untergrenzen für diese angenehme Temperatur und die optimalen Öffnungszeiten festlegen.

$\mu \in \left(1,6\to 2\right)\Rightarrow Erwachsene$

$\mu \in \left(1,4\to 2\right)\Rightarrow Kleinkinder$

Nun können exakte Tupel abgelesen werden. Dies kann mittels einer Schnittebene erfolgen, die in der jeweiligen Höhe liegt und deren Normalenvektor in z-Richtung zeigt.

Um nun eine Überprüfung der Modellierung vorzunehmen können nach Umsetzung der Maßnahmen nach einer gewissen Zeit, bspw. einem Jahr, Vergleiche gezogen werden- Sprich hatten die Maßnahmen Wirkung auf Energiekosten und welche Auswirkungen sind im Hinblick auf die Besucheranzahl und deren Zufriedenheit auszumachen. Die Fuzzy Funktion muss oder kann dann aufgrund der neu gewonnenen Kenntnisse verändert bzw. modifiziert werden.

Da die Funktion die wir hier entwickelt haben auf jedes Individuum anzuwenden möglich ist kann zu einer Verbesserung eine Konvexkombination behilflich sein. Die Konvexkombination beinhaltet das folgendes gilt $\lambda _{1}+\lambda _{2}=1$ Dies lässt sich auch auf unsere Funktion anwenden. Da folgendes bei Funktionen mithilfe der Konvexkombination möglich ist. Für Funktionen gilt $K(t):=(1-t)\cdot f+t\cdot g$ Das t kann im Intervall [0,1] gewählt werden. Wenn $t<0,5$ wird die Funktion mehr Richtung f gewichtet (in unserem fall in Richtung der Temperatur). Wenn $t\geq 0,5$ findet eine stärkere Gewichtung in die Richtung von der Funktion g statt (Bei uns dann in Richtung der Öffnungszeiten). Somit kann unsere Funktion mittels der konvexkombination angepasst werden ob die Besucher des Schwimmbades mehr Interesse an der Temperatur s Wasser haben oder ob ihnen doch die Öffnungszeiten wichtiger sind.