Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Fake News in Sozialen Medien/Mathematische Grundlagen Zyklus 3

Mathematische Grundlagen für Zyklus 3

Lagrange Interpolation

• Stützpunkte x_i, y_i i = 1,...,n sind gegeben

• geeignete Kurve für beliebige Funktionswerte zwischen kleinster und größter Stützstelle

• Newton-Interpolation: erfolgt schrittweise ⇒ für unsere Modellierung zu aufwendig

• Lagrange-Interpolation: direkte Berechnung des langen Interpolationspolynom

→ Interpolationsploynom = Summe der einzelnen Langrangepolynomen

• Formel für das Lagrangepolynom:

$\ell _{i}(x)=$$\prod _{\begin{smallmatrix}j=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{j}}{x_{i}-x_{j}}}={\frac {x-x_{0}}{x_{i}-x_{0}}}\cdots {\frac {x-x_{i-1}}{x_{i}-x_{i-1}}}\cdot {\frac {x-x_{i+1}}{x_{i}-x_{i+1}}}\cdots {\frac {x-x_{n}}{x_{i}-x_{n}}}$,

• Formel für das Interpolationspolynom:

$P(x)=$$\sum _{i=0}^{n}f_{i}\ell _{i}\left(x\right)$

Aufbau von Matrizen

• Matrizen = eine rechteckige, geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente einer Matrix = Koeffizienten

→ m x n Matrix = m Zeilen und n Spalten

→ m x n Matrix hat Dimension m x n

• besondere Matrizen:

→ Quadratische Matrix: m=n

→ Nullmatrix: alle Koeffizienten = 0.

• allgemeine Formel: $A=$${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}$

Aufbau von Vektoren

• Vektoren = eine geordnete Zusammenfassung von reellen Zahlen

→ einzelne Elemente = Komponenten

→ nur eine Spalte und m Zeilen

→ m-dimensionaler Vektor = m Komponenten

• besondere Vektoren:

→ Nullvektor: alle Komponenten = 0

→ Vektor = Spezialfall von Matrizen

• allgemeine Formel: $x=$${\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}$

Rechnen mit einem Skalar

• Multiplikation von Vektoren mit einem Skalar:

→ jede Komponente des Vektors wird mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert

$x*\lambda =$${\begin{pmatrix}x_{1}*\lambda \\\vdots \\x_{m}*\lambda \end{pmatrix}}$

• Skalar mal Matrix:

→ jedes Element von A wird mit dem Skalar $\lambda$ multipliziert

$\lambda *A=$${\begin{pmatrix}\lambda *a_{11}&\cdots &\lambda *a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda *a_{m1}&\cdots &\lambda *a_{mn}\end{pmatrix}}$

Rechnen mit Matrizen und Vektoren

1. Schritt

• Matrix mal Vektor

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl der Matrix mit Zahl der Komponenten des Vektors übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Einträgen des Vektors multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erste Komponente

$A*x=$${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{m}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}*x_{1}+a_{12}*x_{2}+\cdots +a_{1n}*x_{m}\\\vdots \\\end{pmatrix}}$

2. Schritt

→ zweite Zeile von Matrix A: Rechnung der zweiten Komponente analog

$A*x={\begin{pmatrix}a_{11}*x_{1}+a_{12}*x_{2}+\cdots +a_{1n}*x_{m}\\a_{21}*x_{1}+a_{22}*x_{2}+\cdots +a_{2n}*x_{m}\\\vdots \\\end{pmatrix}}$

→ Wiederholung dieser Rechnung bis zum Ergebnisvektor:

$A*x={\begin{pmatrix}a_{11}*x_{1}+a_{12}*x_{2}+\cdots +a_{1n}*x_{m}\\a_{21}*x_{1}+a_{22}*x_{2}+\cdots +a_{2n}*x_{m}\\\vdots \\a_{m1}*x_{1}+a_{m2}*x_{2}+\cdots +a_{mn}*x_{m}\end{pmatrix}}$

Rechnen mit Matrizen

1. Schritt

• Matrix mal Matrix

→ Überprüfung, ob Spaltenzahl Matrix A mit Zeilenzahl Matrix B übereinstimmt

→ erste Zeile von Matrix A: einzelne Einträge dieser Zeile werden mit den jeweils entsprechenden Spalteneinträgen der Matrix B multipliziert

Bilden der Summe der Ergebnisse der Multiplikationen ⇒ erster Koeffizient

$A*B=$${\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{11}&\cdots &b_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&\cdots &b_{mn}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+\cdots +a_{1n}*b_{m1}&(*)&\cdots \\\vdots &\vdots \\\end{pmatrix}}$

2. Schritt

→ nächster Koeffizienten der Ergebnismatrix in der ersten Zeile und zweiten Spalte: erste Zeile von A und zweite Spalte von B werden multipliziert

Bilden der Summe der Multiplikationen

$A*B={\begin{pmatrix}a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+\cdots +a_{1n}*b_{m1}&a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}+\cdots +a_{1n}*b_{m2}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots \\\end{pmatrix}}$

→ Weitere Koeffizienten der ersten Zeile: Rechnung analog

$A*B={\begin{pmatrix}a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+\cdots +a_{1n}*b_{m1}&a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}+\cdots +a_{1n}*b_{m2}&\cdots &a_{11}*b_{1n}+a_{12}*b_{2n}+\cdots +a_{1n}*b_{mn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\\end{pmatrix}}$

3. Schritt

→ Dies wird für jede weitere Zeile wiederholt bis das Matrizenprodukt A*B die Ergebnismatrix ergibt.

$A*B={\begin{pmatrix}a_{11}*b_{11}+a_{12}*b_{21}+\cdots +a_{1n}*b_{m1}&a_{11}*b_{12}+a_{12}*b_{22}+\cdots +a_{1n}*b_{m2}&\cdots &a_{11}*b_{1n}+a_{12}*b_{2n}+\cdots +a_{1n}*b_{mn}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}*b_{11}+a_{m2}*b_{21}+\cdots +a_{mn}*b_{m1}&a_{m1}*b_{12}+a_{m2}*b_{22}+\cdots +a_{mn}*b_{m2}&\cdots &a_{m1}*b_{1n}+a_{m2}*b_{2n}+\cdots +a_{mn}*b_{mn}\end{pmatrix}}$

Summenzeichen

• Addition von mehreren Zahlen = $\Sigma$ (Sigma)

• der Laufindex k: Variable, über die die Summe läuft

• der Startwert i: kleinster Wert des Laufindex k, die untere Grenze

• der Endwert n: größter Wert des Laufindex k, die obere Grenze

• allgemeine Formel: $\sum _{k=i}^{n}(a_{k}=a_{1}+a_{2}+\cdot +a_{n})$

• Sprich: Die Summe über $a_{k}$ von k=i bis n.

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