Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Migration und Immigration in Deutschland/Zyklus 2

Zielsetzung

Wir verwenden die Punkte, die wir von den gesammelten Daten über Ein -und Auswanderung bekommen haben, um Regressionspolynome zu berechnen. Diese Polynome geben uns Funktionen, die eine mögliche weitere Entwicklung – über die gesammelten Daten hinausgehend – prognostizieren. Unser Ziel ist es zunächst zu prüfen, wie genau die Regressionspolynome die Punkte tatsächlich annähern. Wir suchen somit die Differenz zwischen den bekannten Punkten und den Punkten der Regressionspolynome (jeweils an der gleichen Stelle x0).

Lineare Regressionsgerade

Quadratische Regression

Kubische Regression

Regression vierten Grades

Regression zehnten Grades

Um unser Ergebnis aus den graphischen Darstellungen zu überprüfen, haben wir in den folgenden Tabellen jeweils für jede Funktion eine Übersicht über die jeweiligen Regressionen erstellt, in der wir die Differenz zwischen den ursprünglichen Punkten und der neuen Punkte (aus der Regression) an der selben Stelle x0 berechnet haben. Anschließend haben wir für jede Differenz den mittleren quadratischen Fehler berechnet. Je geringer dieser Wert ist, desto besser ist die Annäherung. In unserem Fall besteht die beste Annäherung aus einer Regression zehnten Grades.

Mittlerer quadratischer Fehler - Einwanderung

Mittlerer quadratischer Fehler - Auswanderung

Ergebnis

In unserem letzten Schritt konnte mithilfe einer Regression zehnten Grades eine Funktion gefunden werden, die den Verlauf der gesammelten Punkte sehr gut beschreibt. Insgesamt kann man sagen: Je höher der Grad der Funktion, desto besser ist die Annäherung an die Punkte. Allerdings betrifft dies lediglich den Abschnitt im gegebenen Zeitraum von 2000 bis 2015. Die Werte für die Zukunft sind hier sehr unrealistisch und können daher nicht verwendet werden. Da es unser Ziel war, Werte für die Zukunft zu prognostizieren, müssen wir an dieser Stelle einen neuen Weg finden, der uns die gesuchten Werte liefern kann. In einem dritten Zyklus versuchen wir nun ein geeignetes Modell aus der Linearen Algebra zu finden, welches uns bessere Prognosen liefert.