Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Mathematische Grundlagen
Mathematische Grundlagen Sek 1
BearbeitenEinfache lineare Regression
BearbeitenBei der einfachen linearen Regression betrachten wir den linearen Zusammenhang zwischen einer abhängigen Variablen (Kriterium) und einer unabhängigen Variable (Prädiktor).
Ziel ist es, mit Hilfe der Prädiktorvariable eine Vorhersage für die Werte der Kriteriumsvariable zu finden.
Regressionsgleichung
Bearbeiten : Vorhergesagter Wert auf dem Kriterium y für den jeweiligen Messwert
: Messwert auf dem Prädiktor x (Wert der Variablen, die zur Vorhersage genutzt wird)
: Regressionsgewicht/ -koeffizent, Steigung der Regressionsgeraden
:y-Achsenabschnitt der Regressionsgeraden
Berechnung der Regressionsgleichung
BearbeitenVorrausetzung: Daten mit zwei verschiedenen Variablen (Kriterium und Prädiktor)
Regressionsgerade einzeichnen
Bearbeiten- lineare Gleichungen der Form : in ein Koordinatensystem einzeichnen
Gebrochenrationale Funktion
BearbeitenGrundlagen
Bearbeiten- Allgemeine Form:
mit natürlichen Zahlen und
- Einfluss verschiedener Parameter bei der gewählten Funktion:
- a: Verschiebung des Maximums auf der y-Achse
- s: Graf wird steiler/flacher
natürliche Exponentialfunktion
Bearbeiten- auch "e-Funktion" genannt
- Definition: Funktionen, der Form → , x→ , wobei e die eulersche Zahl ist.
Grenzverhalten e-Funktion
BearbeitenVerkettete e-Funktion und Einfluss von Parametern
BearbeitenMathematische Grundlagen Sek 2
BearbeitenGleitender Mittelwert
Bearbeiten- Methode zur Glättung von Datenreihen
- Folge von arithmetische Mittelwerten über eine sich ändernde aber gleich groß bleibende Untermenge der insgesamt erhobenen Werte
- einfacher gleitender Durchschnitt n-ter Ordnung:
Flächeninhalt unter Kurve mit Hilfe von Trapezen bestimmen
Bearbeiten- Flächeninhalt Trapez:
- Flächeninhalt unter Kurve in Trapeze einteilen, einzelne Flächeninhalte berechnen und addieren
Integralrechnung
Bearbeiten- Stammfunktion bilden (gegebenenfalls mit Computeralgebrasystem)
- Grenzen wählen und in Stammfunktion einsetzen
Mathematische Grundlagen Uni-Niveau
BearbeitenDifferenzieren
Bearbeiten- Partielle Ableitung: Ableiten einer Funktion mit mehreren Variablen nach einer Variablen
- Gradient: Vektor aus den ersten partiellen Ableitungen
Gradientenabstiegsverfahren
Bearbeitensiehe Gradientenabstiegsverfahren
Idee
Bearbeiten- Verfahren, um allgemeine Orientierungsprobleme zu löse
- Minimierungsverfahren: man startet bei Näherungswert und geht schrittweise in Richtung des negativen Gradienten bis man keine Verbesserung mehr der Näherungswerte erhält
Animation
BearbeitenVerfahren
Bearbeiten- Fehlerfunktion bilden
- Gradient aus partiellen Ableitungen bilden (Gradient gibt Steigung an)
- Gradient normieren: Länge/Norm berechnen: , mit Kehrwert multiplizieren
- negativer Gradient zeigt in die Richtung, in der die Funktionswerte fallen
- falls man bei einem Iterationsschritt über Maximum springt, wird die Schrittweite verkleinert
- Abbruchkriterium: wenn der Gradient null ist