Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Modellierungszyklus 1
Datenerhebung
Bearbeiten- Grundlage für unser Modellierungszyklus sind Daten zum deutschen Fleischkonsums vom Bundesinformationszentrum Landwirtschaft (BZL)
- listet seit 1991 den jährlichen Pro-Kopf-Verbrauch in Deutschland auf
- Daten standen uns bis 2021 zur Verfügung
- wachsende und schrumpfende Bevölkerung kann aufgrund des erhobenen Pro-Kopf-Verbrauch ignoriert werden
- berücksichtigen keine statischen Effekte
Erste Näherung: Lineare Regression
Bearbeiten- Daten mit einfachen linearen Regression beschreiben
- unabhängige Variable x: jeweiligen Jahre (Jahr 1991 bis 2050)
- abhängige Variable y: deutschen Pro-Kopf-Fleischverbrauch
- Regressionsgerade wurde mit Hilfe von Tabellenkalkulation in LibreOffice Calc erstellt
Lineare Funktion mit Hilfe der Regressionsgerade
Bearbeiten- erhalten folgende Funktion:
- y-Achsenabschnitt bezieht sich auf das Jahr 0 (Funktion macht ab Beginn der Daten im Jahr 1991 Sinn)
- Steigung m beträgt -0,2633, d.h. der Fleischkonsum pro Kopf sinkt jährlich um ca. -Kilogramm
Graph der Regressionsgerade
BearbeitenPrognosewerte der linearen Funktion
Bearbeiten- mit Hilfe der linearen Funktion haben wir nun die ersten Prognosen für die folgenden Jahre erstellt
- z.B.:
- Jahr 2023: ca. 85,7 kg/pro Kopf,
- Jahr 2025: ca. 85,2 kg/pro Kopf,
- Jahr 2030: ca. 83,9 kg/pro Kopf,
- Jahr 2040: ca. 81,3 kg/pro Kopf,
- Jahr 2050: ca. 78,7 kg/pro Kopf
Bewertung und Optimierung
Bearbeiten- man erkennt Trend eines abfallenden Fleischkonsums → jedoch eher gering
- Fehler wird für die letzten erhobenen Daten besonders groß
- Problematik:
- stärker abnehmende Trend von 2018-2021 wird keine Bedeutung zugemessen
- Gerade würde irgendwann die x-Achse schneiden und somit in den negativen Fleischkonsum gelangen
- um Schülerinnen und Schüler einen ersten Trend erkennen zu lassen und eine Vorstellung für die Größenordnung zu entwickeln, ist das Modell sinnvoll
Software
Bearbeiten- Tabellenkalkulation
Zweite Näherung: Funktionstypen im Vergleich
BearbeitenBeobachtungen
Bearbeiten- Fleischkonsum stagniert in den 90er-Jahren
- springt zum Teil nach oben (besonders in den Jahren 1998 und 1999)
- klare Abnahme des Konsums findet erst ab 2018 statt
- um dies zu berücksichtigen, betrachten wir die zwei folgenden Funktionstypen
Exponentialfunktion
Bearbeiten- Exponentialfunktion (roter Funktionsgraph)
- betrachten Graphen erst ab Stelle x=0, da wir eine Prognose für die Zukunft anstreben (Werte vorher sind für uns unrelevant)
- konvergiert für x -> ∞ gegen 0 und verfügt über keine Nullstellen
- Parameter a = Anfangswert des Fleischkonsums
- Parameter s = staucht bzw. streckt den Graphen
- Maximum befindet sich im Punkt (0|a)
- im x-Bereich von 0 bis ∞ besitzt die Funktion eine Wendestelle
Gebrochenrationale Funktion
Bearbeiten- gebrochenrationale Funktion (grüner Funktionsgraph)
- konvergiert für x -> ∞ gegen 0 und verfügt über keine Nullstellen
- ähnelt stark der Gaußfunktion, jedoch schmiegt sich die gebrochenrationale Funktion langsamer an die x-Achse an
- Parameter a = Anfangswert des Fleischkonsums
- Parameter s = staucht bzw. streckt den Graphen
- Maximum befindet sich im Punkt (0|a)
- verfügt über eine Wendestelle im positiven x-Bereich
Graphen der Funktionen
BearbeitenGeoGebra-Datei und Einstellen der Parameter
Bearbeiten- beide Graphen in GeoGebra ploten
- Jahr 1991: Jahr 0 auf der x-Achse
- Jahr 2021:Jahr 30 auf der x-Achse
- Betrachte Datenpunkte des Jahres 1991 D0 (0|95,3) und 2021 D30 (30|81.7)
- Vorteil: Beide Punkte liegen genau auf dem Graphen drauf
- Parameter a = Maximum unserer Funktion, stellt Funktionswert an der Stelle x=0 dar → a wird auf 95,3 eingestellt (Anfangswert unserer Datenreihe)
- Parameter s wird so gewählt, dass der Graph durch den Punkt D30 geht
- beide Graphen laufen somit durch beide Punkte
Vergleich der beiden Graphen
Bearbeiten- beide Funktionen stellen eine deutliche Verbesserung im Vergleich zur linearen Funktion dar
- Bereich 0 bis 30 sind kaum Unterschiede zu erkennen, erst nach dem x-Wert 30
- g(x) (rote Funktion) nähert sich deutlich schneller der x-Achse
- bevorzugen deshalb die gebrochenrationale Funktion f(x)
Anpassung der Prognosefunktion
Bearbeiten- mit der Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion können wir die Parameter a, s genau bestimmen
- Ziel: Punkte D0 (0|95,3) und D30 (30|81,7) sollen genau auf den Graphen liegen
- Parameter a gibt den Funktionswert an der Stelle x= 0 da, weshalb a = 95,3 ist
- Einsetzen von D30 (30|81,7) und Parameter a=95,3 in die Funktionsgleichung
->
- Gleichung lässt sich in „Maxima“ mit der Funktion „solve“ schnell lösen
- Parameter s = 73,5 (gerundet)
Bewertung und Optimierung
Bearbeiten- Modell konnte im Vergleich zur linearen Regression deutlich verbessert werden
- Verhindern eines negativen Fleischkonsums und das Berücksichtigen einer stärkeren Abnahme in den letzten Jahren wurde umgesetzt
- Funktion wurde so bestimmt, dass sie mit den zwei Punkten übereinstimmt
- zur Vereinfachung wurden nur zwei Datenpunkte gewählt
- anderen Datenpunkte wurden noch nicht berücksichtigt
Vergleich der Prognosefunktion mit vorliegenden Daten
Bearbeiten- gebrochenrationale Funktion scheint eine gute Annäherung an den Fleischkonsum zu liefern
- im nächsten Schritt soll der Fehler zwischen Prognosefunktion und den tatsächlichen Daten berechnet werden
Software
Bearbeiten- LibreOffice Calc
- GeoGebra
- Maxima