Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Modellierungszyklus 1

Datenerhebung

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  • Grundlage für unser Modellierungszyklus sind Daten zum deutschen Fleischkonsums vom Bundesinformationszentrum Landwirtschaft (BZL)
  • listet seit 1991 den jährlichen Pro-Kopf-Verbrauch in Deutschland auf
  • Daten standen uns bis 2021 zur Verfügung
  • wachsende und schrumpfende Bevölkerung kann aufgrund des erhobenen Pro-Kopf-Verbrauch ignoriert werden
  • berücksichtigen keine statischen Effekte

Erste Näherung: Lineare Regression

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  • Daten mit einfachen linearen Regression beschreiben
  • unabhängige Variable x: jeweiligen Jahre (Jahr 1991 bis 2050)
  • abhängige Variable y: deutschen Pro-Kopf-Fleischverbrauch
  • Regressionsgerade wurde mit Hilfe von Tabellenkalkulation in LibreOffice Calc erstellt


Lineare Funktion mit Hilfe der Regressionsgerade
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  • erhalten folgende Funktion:  
  • y-Achsenabschnitt bezieht sich auf das Jahr 0 (Funktion macht ab Beginn der Daten im Jahr 1991 Sinn)
  • Steigung m beträgt -0,2633, d.h. der Fleischkonsum pro Kopf sinkt jährlich um ca.  -Kilogramm
Graph der Regressionsgerade
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Abbildung 1: Fleischkonsum in Deutschland
Prognosewerte der linearen Funktion
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  • mit Hilfe der linearen Funktion haben wir nun die ersten Prognosen für die folgenden Jahre erstellt
  • z.B.:
    • Jahr 2023: ca. 85,7 kg/pro Kopf,
    • Jahr 2025: ca. 85,2 kg/pro Kopf,
    • Jahr 2030: ca. 83,9 kg/pro Kopf,
    • Jahr 2040: ca. 81,3 kg/pro Kopf,
    • Jahr 2050: ca. 78,7 kg/pro Kopf
Bewertung und Optimierung
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  • man erkennt Trend eines abfallenden Fleischkonsums → jedoch eher gering
  • Fehler wird für die letzten erhobenen Daten besonders groß
  • Problematik:
    • stärker abnehmende Trend von 2018-2021 wird keine Bedeutung zugemessen
    • Gerade würde irgendwann die x-Achse schneiden und somit in den negativen Fleischkonsum gelangen
  • um Schülerinnen und Schüler einen ersten Trend erkennen zu lassen und eine Vorstellung für die Größenordnung zu entwickeln, ist das Modell sinnvoll
Software
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  • Tabellenkalkulation

Zweite Näherung: Funktionstypen im Vergleich

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Beobachtungen

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  • Fleischkonsum stagniert in den 90er-Jahren
  • springt zum Teil nach oben (besonders in den Jahren 1998 und 1999)
  • klare Abnahme des Konsums findet erst ab 2018 statt
  • um dies zu berücksichtigen, betrachten wir die zwei folgenden Funktionstypen

Exponentialfunktion

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  •   Exponentialfunktion (roter Funktionsgraph)
  • betrachten Graphen erst ab Stelle x=0, da wir eine Prognose für die Zukunft anstreben (Werte vorher sind für uns unrelevant)
  • konvergiert für x -> ∞ gegen 0 und verfügt über keine Nullstellen
  • Parameter a = Anfangswert des Fleischkonsums
  • Parameter s = staucht bzw. streckt den Graphen
  • Maximum befindet sich im Punkt (0|a)
  • im x-Bereich von 0 bis ∞ besitzt die Funktion eine Wendestelle

Gebrochenrationale Funktion

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  •   gebrochenrationale Funktion (grüner Funktionsgraph)
  • konvergiert für x -> ∞ gegen 0 und verfügt über keine Nullstellen
  • ähnelt stark der Gaußfunktion, jedoch schmiegt sich die gebrochenrationale Funktion langsamer an die x-Achse an
  • Parameter a = Anfangswert des Fleischkonsums
  • Parameter s = staucht bzw. streckt den Graphen
  • Maximum befindet sich im Punkt (0|a)
  • verfügt über eine Wendestelle im positiven x-Bereich

Graphen der Funktionen

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Abbildung 2: Annäherungen in Geogebra

GeoGebra-Datei und Einstellen der Parameter

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  • beide Graphen in GeoGebra ploten
  • Jahr 1991: Jahr 0 auf der x-Achse
  • Jahr 2021:Jahr 30 auf der x-Achse
  • Betrachte Datenpunkte des Jahres 1991 D0 (0|95,3) und 2021 D30 (30|81.7)
  • Vorteil: Beide Punkte liegen genau auf dem Graphen drauf
  • Parameter a = Maximum unserer Funktion, stellt Funktionswert an der Stelle x=0 dar → a wird auf 95,3 eingestellt (Anfangswert unserer Datenreihe)
  • Parameter s wird so gewählt, dass der Graph durch den Punkt D30 geht
  • beide Graphen laufen somit durch beide Punkte

Vergleich der beiden Graphen

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  • beide Funktionen stellen eine deutliche Verbesserung im Vergleich zur linearen Funktion dar
  • Bereich 0 bis 30 sind kaum Unterschiede zu erkennen, erst nach dem x-Wert 30
  • g(x) (rote Funktion) nähert sich deutlich schneller der x-Achse
  • bevorzugen deshalb die gebrochenrationale Funktion f(x)

Anpassung der Prognosefunktion

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  • mit der Funktionsgleichung einer gebrochenrationalen Funktion   können wir die Parameter a, s genau bestimmen
  • Ziel: Punkte D0 (0|95,3) und D30 (30|81,7) sollen genau auf den Graphen liegen
  • Parameter a gibt den Funktionswert an der Stelle x= 0 da, weshalb a = 95,3 ist
  • Einsetzen von D30 (30|81,7) und Parameter a=95,3 in die Funktionsgleichung
 ->  
  • Gleichung lässt sich in „Maxima“ mit der Funktion „solve“ schnell lösen
  • Parameter s = 73,5 (gerundet)
 
Abbildung 3: Anpassung der Prognosefunktion

Bewertung und Optimierung

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  • Modell konnte im Vergleich zur linearen Regression deutlich verbessert werden
  • Verhindern eines negativen Fleischkonsums und das Berücksichtigen einer stärkeren Abnahme in den letzten Jahren wurde umgesetzt
  • Funktion wurde so bestimmt, dass sie mit den zwei Punkten übereinstimmt
  • zur Vereinfachung wurden nur zwei Datenpunkte gewählt
  • anderen Datenpunkte wurden noch nicht berücksichtigt

Vergleich der Prognosefunktion mit vorliegenden Daten

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  • gebrochenrationale Funktion scheint eine gute Annäherung an den Fleischkonsum zu liefern
  • im nächsten Schritt soll der Fehler zwischen Prognosefunktion und den tatsächlichen Daten berechnet werden
 
Abbildung 4: Vergleich zwischen Prognose und vorliegenden Daten

Software

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  • LibreOffice Calc
  • GeoGebra
  • Maxima