Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Modellierungszyklus 3
Modellierungszyklus 3 - Uni-Niveau
BearbeitenZiel des Modellierungszyklus
Bearbeiten- Funktion optimieren
- Berücksichtigung aller Datenpunkte
- Bisherige Wahl der Parameter: a = 95,3 und s = 73,5
- Wahl der Parameter, sodass der Fehler der Funktion minimal wird
- Werkzeug: Gradientenabstiegsverfahren
Fehlerfunktion und Partielle Ableitungen
Bearbeiten- Fehlerfunktion: .
- E(a,s) berechnet das Mittel der quadratischen Abweichungen der Prognose und der Daten
- Alle 31 Datenpunkte werden in der Fehlerfunktion berücksichtigt
- Zur Bestimmung des Gradienten werden die partiellen Ableitungen benötigt:
- partielle Ableitung nach a:
- partielle Ableitung nach s:
Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (1)
Bearbeiten- Ziel: Minimum der Fehlerfunktion E(a,s) finden
- 1.Schritt: Startpunkt und Schrittweite wählen
- 2.Schritt: Fehler mit den Startwerten berechnen
- 3.Schritt: Gradienten an der Stelle mit Hilfe der partiellen Ableitungen berechnen
- 4.Schritt: Länge des Gradienten bestimmen
Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (2)
Bearbeiten- 5.Schritt: in entgegengesetzte Richtung des Gradienten verschieben und auf Schrittweite normieren
- 6.Schritt: Überprüfen, ob sich der Fehler verringert hat
- 7.Schritt: Falls sich der Fehler nicht verringert hat: Schrittweite halbieren und zurück zu Schritt 5 gehen
- 8.Schritt: Schritte 3 bis 7 beliebig wiederholen
Durchführung des Gradientenabstiegsverfahren
Bearbeiten- Umsetzung mit LibreOffice Calc
- Startwerte: (Werte aus vorherigen Zyklen)
Konvergenz des Gradientenabstiegsverfahrens
Bearbeiten- Verfahren konvergiert nach vielen Iterationsschritten gegen folgende Werte:
Ergebnisse (1)
Bearbeiten- Deutliche Minimierung des Fehlers E(a,s)
- Mittlerer quadratischer Fehler mit Ausgangswerten: 7,57
- Mittlerer quadratischer Fehler am Ende des Verfahrens: 3,65
- Konvergenz für die Werte a ≈ 92,81 und s ≈ 101,91
Ergebnisse (2)
Bearbeiten- Verbesserte Prognosefunktion:
- Grün: Optimierte Prognosefunktion f(x)
- Grau: Prognosefunktion aus Zyklus 2
Bewertung und Optimierung (1)
Bearbeiten- Deutliche Optimierung der Prognosefunktion
- Fehler der Prognose hat sich mehr als halbiert
- Auszug einiger Prognosewerte:
2025: ca. 83,51 kg/Kopf;
2030: ca. 80,95 kg/Kopf;
2035: ca. 78,23 kg/Kopf;
2040: ca. 75,38 kg/Kopf;
2045: ca. 72,46 kg/Kopf;
2050: ca. 69,51 kg/Kopf;
2060: ca. 63,64 kg/Kopf
Bewertung und Optimierung (2)
Bearbeiten- Werte erscheinen auf den ersten Blick realistisch
- Bestehendes Problem: Fleischkonsum laut Prognose in den nächsten Jahren wieder leicht erhöht (siehe Prognose 2025: 83,51 kg/Kopf und gemessener Wert 2021: 81,7 kg/Kopf)
- Besonders für weiter in der Zukunft liegende Werte aber gut nutzbar
- Mit den vorliegenden Daten diese Prognosefunktion aktuell nicht optimierbar
- Für noch genauere Prognose anderer Funktionstyp nötig
Ausblick
Bearbeiten- Aber: Prognose kann in Zukunft mit weiteren Daten gefüttert werden
- Dann Verbesserung dieser Prognosefunktion möglich
- Gradientenabstiegsverfahren liefert dann neue Werte für Parameter a und s