Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Modellierung Fleischkonsum/Modellierungszyklus 3

Modellierungszyklus 3 - Uni-Niveau

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Ziel des Modellierungszyklus

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  • Funktion   optimieren
  • Berücksichtigung aller Datenpunkte
  • Bisherige Wahl der Parameter: a = 95,3 und s = 73,5
  • Wahl der Parameter, sodass der Fehler der Funktion minimal wird
  • Werkzeug: Gradientenabstiegsverfahren

Fehlerfunktion und Partielle Ableitungen

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  • Fehlerfunktion:  .
  • E(a,s) berechnet das Mittel der quadratischen Abweichungen der Prognose und der Daten
  • Alle 31 Datenpunkte werden in der Fehlerfunktion berücksichtigt
  • Zur Bestimmung des Gradienten werden die partiellen Ableitungen benötigt:
  • partielle Ableitung nach a:  
  • partielle Ableitung nach s:  

Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (1)

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  • Ziel: Minimum der Fehlerfunktion E(a,s) finden
  • 1.Schritt: Startpunkt   und Schrittweite wählen
  • 2.Schritt: Fehler mit den Startwerten   berechnen
  • 3.Schritt: Gradienten an der Stelle   mit Hilfe der partiellen Ableitungen berechnen
  • 4.Schritt: Länge des Gradienten   bestimmen

Ablauf Gradientenabstiegsverfahren (2)

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  • 5.Schritt:   in entgegengesetzte Richtung des Gradienten verschieben und auf Schrittweite normieren
  • 6.Schritt: Überprüfen, ob sich der Fehler verringert hat
  • 7.Schritt: Falls sich der Fehler nicht verringert hat: Schrittweite halbieren und zurück zu Schritt 5 gehen
  • 8.Schritt: Schritte 3 bis 7 beliebig wiederholen

Durchführung des Gradientenabstiegsverfahren

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  • Umsetzung mit LibreOffice Calc
  • Startwerte:   (Werte aus vorherigen Zyklen)
 

Konvergenz des Gradientenabstiegsverfahrens

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  • Verfahren konvergiert nach vielen Iterationsschritten gegen folgende Werte:
 
Abbildung 10: Gradientenabstiegsverfahren Tabelle 2

Ergebnisse (1)

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  • Deutliche Minimierung des Fehlers E(a,s)
  • Mittlerer quadratischer Fehler mit Ausgangswerten: 7,57
  • Mittlerer quadratischer Fehler am Ende des Verfahrens: 3,65
  • Konvergenz für die Werte a ≈ 92,81 und s ≈ 101,91

Ergebnisse (2)

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  • Verbesserte Prognosefunktion:  
 
  • Grün: Optimierte Prognosefunktion f(x)
  • Grau: Prognosefunktion aus Zyklus 2

Bewertung und Optimierung (1)

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  • Deutliche Optimierung der Prognosefunktion
  • Fehler der Prognose hat sich mehr als halbiert
  • Auszug einiger Prognosewerte:

2025: ca. 83,51 kg/Kopf;

2030: ca. 80,95 kg/Kopf;

2035: ca. 78,23 kg/Kopf;

2040: ca. 75,38 kg/Kopf;

2045: ca. 72,46 kg/Kopf;

2050: ca. 69,51 kg/Kopf;

2060: ca. 63,64 kg/Kopf

Bewertung und Optimierung (2)

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  • Werte erscheinen auf den ersten Blick realistisch
  • Bestehendes Problem: Fleischkonsum laut Prognose in den nächsten Jahren wieder leicht erhöht (siehe Prognose 2025: 83,51 kg/Kopf und gemessener Wert 2021: 81,7 kg/Kopf)
  • Besonders für weiter in der Zukunft liegende Werte aber gut nutzbar
  • Mit den vorliegenden Daten diese Prognosefunktion aktuell nicht optimierbar
  • Für noch genauere Prognose anderer Funktionstyp nötig

Ausblick

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  • Aber: Prognose kann in Zukunft mit weiteren Daten gefüttert werden
  • Dann Verbesserung dieser Prognosefunktion möglich
  • Gradientenabstiegsverfahren liefert dann neue Werte für Parameter a und s