Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Perfekter Freistoß/komplette Präsentation
Modellierungsthema
Der perfekte Freistoß
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Definition - (perfekter) Freistoß
BearbeitenDer Schütze spielt den Ball so, dass dieser knapp über die Mauer fliegt und in einem oberen Winkel einschlägt.
Dabei soll der Ball möglichst genau in den Winkel fliegen.
Grundannahmen
Bearbeiten- Tor: Breite 7.32m, Höhe 2.44m
- Ball: Durchmesser 20cm
- Freistoß: Distanz zum Tor 16m (mittig)
- Mauer: Höhe 1,80 (ohne Sprung) 2m (Sprung)
- Distanz Tor-Mauer:6,75m
- Distanz Mauer-Freistoßposition: 9,15m
Modellierungsziel
Bearbeiten- Welche Bedingungen muss der Freistoß erfüllen, um dem "perfekten Freistoß" möglichst nahe zu kommen?
- Wie lassen sich Handlungsempfehlungen an den Schützen formulieren, sodass sein individuelles Schussprofil verbessert werden kann?
- Wie lässt sich ein Schussprofil erstellen?
Nutzergruppe
Bearbeiten- Fortgeschrittene Fußballspieler können ihre Freistoßtechnik analysieren und mittels eines Schussprofils auswerten.
- Zudem können auch Amateurfußballer ein Schussprofil erstellen und Erkenntnisse zu ihrer Schusstechnik gewinnen.
Softwarenutzung
Bearbeiten- Tabellenkalkulation
- Geogebra
- wxMaxima
Zyklus 1: (Niveau Sekundarstufe 1)
BearbeitenVorgehen
BearbeitenZiel: Ermittlung der optimalen Höhe an der Mauer um Handlungsempfehlungen an den Schützen zu geben.
- Ausgehen von einem Spannschuss (lineare Funktion der Form f(x)=ax+b)
- näherungsweise (maschinelles) Annähern an "die perfekte Ballhöhe über der Mauer"
- Aufteilen in zwei lineare Funktionen
perfekte Freistoßkurve als lineare Funktionen
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Berechnung (1)
Bearbeiten- Berechnung der Funktion des Spannschusses anhand der gegebenen Punkte (0/2.24) und (16/0)
- f(x)= -0,14x + 2,24
- Deuten des Ergebnisses: Ball überwindet Mauer nicht
- Benutzen einer Schritttweite als Handlungsempfehlung für den Schützen (10cm)
- Handlungsempfehlung wird so lange ausgeführt, bis der Ball die Mauer überwindet (egal ob Mauer springt oder nicht), ca. 2,1m
Berechnung (2)
Bearbeiten- Einteilung in zwei lineare Funktionen
- Berechnen der linearen Funktionen
- 1. Funktion Freistoßpositon-Mauer: f(x)=-0,23x+3,68
- 2. Funktion Mauer bis Tor f(x)=-0,02x+2,24
perfekte Höhe des Balles bei Mauerposition
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Ergebnisse
Bearbeiten- Höhe des Balles bei Mauer (2,1m)
- Spannschuss geht über das Tor bei optimaler Höhe an der Mauer
- Einteilung in Teilfunktionen, allerdings realitätsfern
- Daher Zyklus 2
Zyklus 2: (Niveau Sekundarstufe 2)
BearbeitenVorgehen
Bearbeiten- Erkenntnisgewinn aus Zyklus 1: Schusstechnik wird entsprechend angepasst
- Betrachten der perfekte Freistoßkurve nun als quadratische Funktion
- Berücksichtigen des Punktes (6,85/2,10)
- Verbesserung der Schusstechnik durch Differenz der Integrale sichtbar
Perfekte Flugkurve
Bearbeiten- Ziel: Durch Handlungsempfehlungen der "perfekten" quadratischen Funktion annähern
Herleitung Integral (1)
Bearbeiten- Idee: Einteilung der Fläche in viele kleine Rechtecke
- Rechtecke berechnen sich als Höhe x Breite, d.h. f(Stützwert) x Abstand der x-Werte
- Breite der Rechtecke ist äquidistant, d.h. gleich breit
- Fläche entspricht der Summe der unendlich vielen und kleinen Rechtecke
Herleitung Integral (2)
Bearbeiten- Abstand der x-Werte der Rechtecke geht gegen 0 und heißt Differential (dx)
- Riemann-Integral ist somit die unendliche Summe von den unendlich kleinen Rechtecken
Definition Integral
BearbeitenBerechnung
BearbeitenwxMaxima
Bearbeiten- Berechnung der Freistoßfunktionen anhand eines Gleichungssystem der Form A*x=b
- b:= gemessene Werte, an den Stellen (x=0, x=16, x=6,85)^T
- Gleichungssystem auflösen nach x:= (a,b,c) durch Multiplikation mit A^-1 auf beiden Seiten
- Dann kann die Funktionsgleichung der Form f(x)= ax² + bx + c abgelesen werden
Exemplarische Berechnung
Bearbeiten- --> Perfekte Freistoßkurve: f(x)=-0,013x²+0,069x+2,24
Geogebra
Bearbeiten- Berechnung der Fläche zwischen den realen Schüssen und der perfekten Kurve
Tabellenkalkulation (1)
Bearbeiten- Betrachtung der relevanten Punkte: Tor (2,24) und Mauer (2,1)
- Wenn der Schuss z.B. deutlich über die Mauer geht soll der Schütze nächstes mal tiefer gehen
- Wenn der Schuss in die Mauer geht, dann soll der Schütze nächstes mal höher schießen
- Analog erfolgt eine Handlungsempfehlung mit Blick auf die Höhe des Balles im Tor
Tabellenkalkulation (2)
Bearbeiten- Berechnete Flächen aus Geogebra dienen zur Interpretation
Ergebnisse
Bearbeiten- Durch individuelle Handlungsempfehlungen konnten wir die Schusstechnik des Schützens verbessern bzw. der perfekten Kurve annähren
- Handlungsempfehlungen dienen jedoch nur als grobe Orientierung
- Genauere Analyse des Schussprofils nötig (Zyklus 3)
Zyklus 3: (Niveau Universität)
BearbeitenVorgehen
BearbeitenZunächst haben wir das Schussprofil (20 Freistöße) mittels einer Dichtefunktion erfasst. Anhand dieser konnten wir das Schussprofil graphisch darstellen und interpretieren.
Dichtefunktion allgemein
BearbeitenEine Funktion f heißt Dichtefunktion (oder Dichte), falls folgende Bedingungen gelten:
- f(x) ≥ 0 für alle x aus der Ergebnismenge
- f ist integrierbar
Ihre Höhe gibt keine Wahrscheinlichkeit, sondern Dichte an.
Unsere Dichtefunktion
Bearbeitenf(x,y,x0,y0,h):=h/(1+Laenge(x-x0,y-y0)^2)
- Laenge(x,y):=sqrt(x^2+y^2)
- x0 und y0 sind die gemessenen Einschlagskoordinaten eines Freistoßes
- h ist die Häufigkeit
- x und y sind die Koordinaten, die betrachtet werden
Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (WDF)
BearbeitenBei uns bietet sich eine WDF an, da zwei Menschen nicht exakt gleich gut schießen bzw. zwei Schüsse kaum exakt gleich sind.
Mit so einer Funktion lässt sich nun die Wahrscheinlichkeit für ein beliebiges Intervall bspw. einer Schussgenauigkeit in einem bestimmten Bereich bestimmen.
Definition WDF
Bearbeitenf: R --> R heißt WDF, falls gilt:
- f ist nicht negativ, d.h. f(x) ≥ 0 für alle x
- f ist integrierbar
- f ist normiert, in dem Sinne, dass
dann ist f eine WDF und wie folgt definiert:
WDF
BearbeitenDiese Formel gilt genauso für die Intervalle (a,b), (a,b] und [a,b]. Denn die WDF gibt im stetigen Fall keine Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Wert an. Die Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Wert X ist P(X)=0.
Kennzahlen WDF
Bearbeiten- Erwartungswert:
- Standardabweichung: Wurzel(Var(x))
Berechnung
BearbeitenwxMaxima
BearbeitenFolgendes Schussprofil (20 Schüsse) konnten wir mithilfe unserer Dichtefunktion erstellen:
Dichte(x,y):=f(x,y,0.2,2.24,1)+f(x,y,0.2,3,1)+f(x,y,2,2.6,1)+....
Problem?
BearbeitenNun wollten wir mittels wxMaxima die Dichte in einem bestimmten Intervall berechnen und ins Verhältnis mit dem Gesamtintegral setzen. Leider kam wxMaxima bei diesem Doppelintegral an seine Grenzen. Jedoch konnten wir das Integral annäherungsweise mittels Tabellenkalkulation (Excel) berechnen.
Tabellenkalkulation
Bearbeiten- Bestimmung der Funktionswerte durch vorgegebene Schrittweite für x und y von 0,1.
- Für jeden Schuss haben wir so einzelne Schussprofile (Tabellenblätter) angelegt.
- Durch aufsummieren aller Schussprofile ergab sich ein Gesamtschussprofil (Dichte) der 20 Schüsse.
- Dividiert man jede Zelle durch das Gesamtintegral (Summe Gesamtbereich) erhält man die WDF, da nun das Gesamtintegral bzw. Gesamtsumme 1 entspricht.
Darstellung - Geogebra
BearbeitenErgebnisse
Bearbeiten- Maxima ist an seine Grenzen gekommen (Berechnungen der Integrale)
- Daher näherungsweise Bestimmung des Volumens durch Excel
- Im näherungsweise "interessanten Intervall": x=[0,1] und y=[0.5,2.4] liegen ca. 23%
- Einschränkend muss erwähnt werden, dass wir als Gesamtintervall nur x ∈ [-1,6] und y ∈ [0,3] betrachtet haben, da -inf bis inf via Excel nicht darstellbar ist
Auswertung
BearbeitenSchwierigkeiten/Probleme
Bearbeiten- Grenzen von wxMaxima in Zyklus 3
- Einige Einflussfaktoren werden nicht berücksichtigt (z.B. Wetter, Platzverhältnisse, Begabung des Schützen)
- Handlungsempfehlungen (Zyklus 1 und 2) dienen eher als Orientierung
Bewertung der Modellbildung
Bearbeiten- Eine Anwendung in der Schule ist möglich
- Ein Schussprofil für jeden Schützen kann angefertigt werden
- Zyklus 3 kann aufgrund einer numerischen Vorgehensweise mittels Tabellenkalkulation vereinfacht dargestellt werden. Dadurch ist eine schnelle Erstellung von Schussprofilen möglich, für Profis, Amateure und für Anfänger.