Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Sek 2

  • mögliche Ursachen für die Unterschiede zwischen Deutschland und Niger ergründen/diskutieren
    → Hauptursache: fehlende Verhütungsmittel
  • Bewusstsein für die Bedeutsamkeit von Verhütungsmitteln schaffen
  • Bewusstsein für die unterschiedliche Sicherheit verschiedener Verhütungsmittel (Bedeutung Pearl-Index) stärken
  • Binomialverteilung verstehen und anwenden
  • Umgang mit Graphen und Diagrammen fördern

Mathematische Theorie

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Definition diskreter ZV

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  • Betrachtung eines diskreten W-Raums  ,   ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)


  • Funktion   auf   mit  ,   heißt diskrete ZV


  •   bezeichnet mit welcher W-keit   angenommen wird

Binomialverteilung

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  • Eine diskrete ZV   heißt binomialverteilt mit den Parametern   (Versuchszahl) und   (Trefferwahrscheinlichkeit), falls   und:

  für alle   (Verteilung von X)

  • Eine Zufallsvariable   ist binomialverteilt, wenn ein Zufallsexperiment  -mal (unabhängig voneinander, unter identischen Bedingungen) durchgeführt wird und   die Anzahl der Versuche angibt, bei denen ein bestimmtes Ereignis (das bei einer einzelnen Durchführung die Wahrscheinlichkeit   hat) eintritt.


Empirisches Gesetz der Großen Zahlen

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  • Für ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge   definiert man für das Eintreten eines Ereignisses   bei  -maliger Durchführung:

  Anzahl der Durchführungen, bei denen A eingetreten ist (absolute Häufigkeit von  )
  (relative Häufigkeit von  )

  • In der Realität beobachtet man, dass sich   für große n stabilisiert (Naturgesetz: Empirisches Gesetz der Großen Zahlen).
  • Wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt

Statistische Wahrscheinlichkeiten

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  • Das Empirische Gesetz der Großen Zahlen wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt, man spricht dann von frequentistischen Wahrscheinlichkeiten

Bezug zum Lehrplan

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  • Leitidee Sek II:
    „L5: Daten und Zufall“ („die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen“)
    „L4: Funktionaler Zusammenhang“ („Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen“)
  • konkrete Ziele im Unterricht (Grund-& Leistungsfach):
    → „Die Begriffe „Bernoullikette“ und „Binomialverteilung“ verstehen und wissen, wie man die Werte einer Binomialverteilung bestimmen kann“
    → „Sachaufgaben zur Binomialverteilung lösen“

Modellierung

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Binomialverteilung (Ländervergleich)

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  • Darstellung der Situation aus Zyklus 1 (Anzahl/ Anteil der Schwangerschaften unter 20) durch binomialverteilte ZV
  • → Frequentistische Wahrscheinlichkeiten (schätzen auf Grundlage der Daten/ Ergebnisse aus Zyklus 1)
  • Zufallsvariablen:


  Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Deutschland
  Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Niger (Vereinfachende Annahme: keine Verhütung, da Anteil unter 2%, also sehr klein)

Parameter der Verteilungen

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  • Beide Verteilungen werden (aus didaktischen Gründen) mit Variablen   betrachtet und werden im Folgenden exemplarisch für   dargestellt
  • Deutschland:   (vgl. Zyklus 1;   ist also  -verteilt


  • Niger:   (vgl. Zyklus 1;   ist also  -verteilt )

Verteilungen

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Deutschland

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Abbildung 6: Binomialverteilung Schwangerschaften unter 20-Jährige in Deutschland (GeoGebra)
 
Abbildung 7: Binomialverteilung Schwangerschaften unter 20-Jährige in Niger (GeoGebra)


Hauptursache: Verhütungsmittel

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  • Annahme: Die sichtbaren Unterschiede entstehen durch die in beiden Ländern sehr verschiedene Nutzung von Verhütungsmitteln
  • Maß für die Sicherheit einer bestimmten Verhütungsmethode: Pearl-Index
  • Pearl-Index gibt an: zu wie vielen ungewollten Schwangerschaften es beim Einsatz einer bestimmten Methode kommt, die ein Jahr lang von 100 Paaren angewendet wurde
  • Pearl-Index entspricht also im Sinne einer frequentistischen Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit (in %), trotz der Verwendung einer bestimmten Verhütungsmethode schwanger zu werden

Pearl-Indizes gängiger Verhütungsmittel unter 20-Jähriger

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Abbildung 8: Pearl-Indizes gängiger Verhütungsmittel (GeoGebra)


Binomialverteilung Verhütung

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  • Gesammelte Daten (Pearl-Indizes) → binomialverteilte Zufallsgrößen
  • Wirksamkeiten der einzelnen Verhütungsmittel werden hiermit dargestellt
  • Für die jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeiten wird arithmetischer Mittelwert von oberer und unterer Grenze des entsprechenden Pearl-Index genutzt

Definition der Zufallsvariablen

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(i) Die ZV   gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Pille an
(ii) Die ZV   gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Minipille an
(iii) Die ZV   gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit Kondom an
(iv) Die ZV   gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Temperatur-Methode an
(v) Die ZV   gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Hormon-Ring an
(vi) Die ZV   gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Coitus Interruptus an
(vii) Die ZV   gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem der Pille und Kondom an

  ist  -verteilt

 
Abbildung 9: Binomialverteilung Verhütung mit Pille (GeoGebra)

Minipille

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  ist  -verteilt

 
Abbildung 10: Binomialverteilung Verhütung mit Minipille (GeoGebra)

  ist  -verteilt

 
Abbildung 11: Binomialverteilung Verhütung mit Kondom (GeoGebra)

Temperatur-Methode

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  ist  -verteilt

 
Abbildung 12: Binomialverteilung Verhütung mit Temperatur-Methode (GeoGebra)

Hormon-Ring

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  ist  -verteilt

 
Abbildung 13: Binomialverteilung Verhütung mit Hormon-Ring (GeoGebra)

Coitus Interruptus

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  ist  -verteilt

 
Abbildung 14: Binomialverteilung Verhütung mit Coitus Interruptus (GeoGebra)

Pille & Kondom

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  ist  -verteilt

 
Abbildung 15: Binomialverteilung Verhütung mit Pille & Kondom (GeoGebra)

Interpretation

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Wirksamkeit einer Verhütungsmethode ablesbar:
Je höher der Balken bei k=0 (also  ) ist, desto sicherer ist die dargestellte Methode.

Umsetzung in GeoGebra

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  • Die Binomialverteilung wurde durch folgenden Befehl definiert: Name=Binomial(n,pTreffer)
  • Grafikrechner statt Statistik-Funktion für gleichbleibende Achsenskalierung & variables n → bessere Visualisierung bei Veränderungen
  • In der Tabellenkalkulation-Funktion wurden die Tabelle mit den Pearl-Indizes der einzelnen Verhütungsmethoden aus Abbildung 8 erstellt
  • Die Skalierung der Achsen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
  • Die Farben der einzelnen Verteilungsgraphen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste auf Graph → Einstellungen → Farbe → Farbe und Deckkraft wählen

Vereinfachungen und Bewertung

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Vereinfachungen

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  • Vereinfachungen aus Sek I
  • Annahme: Alle Verhütungsmittel binomialverteilt (WK schwanger zu werden ist nicht immer gleich) → Trefferwahrscheinlichkeit p nicht konstant
  • Für Trefferwahrscheinlichkeit wurde der arithmetische Mittelwert des jeweiligen Pearl-Index benutzt
  • Pearl-Index bezieht sich nicht auf bestimmte Altersgruppe
  • Vernachlässigung Kombinationen anderer Verhütungsmittel

Bewertung

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  • gute Visualisierung für Schüler*innen
  • exemplarische Werte für eine Klassenstufe berechnen (Regler in GeoGebra verschieben)
  • PC-Rechenleistung für große n zu schwach → Lösung: Poisson-Verteilung (Modellierungszyklus III)


Warum Umsetzung in GeoGebra?

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  • n variable durch Schiebereglerfunktion → dynamischer
  • Umsetzung in Calc und Maxima aufwendiger
  • in Maxima nur mit Download der Stochastikfunktion möglich
  • Problem: Wie lange GeoGebra noch Open Source?