Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Sek 2
Ziel
Bearbeiten- mögliche Ursachen für die Unterschiede zwischen Deutschland und Niger ergründen/diskutieren
→ Hauptursache: fehlende Verhütungsmittel - Bewusstsein für die Bedeutsamkeit von Verhütungsmitteln schaffen
- Bewusstsein für die unterschiedliche Sicherheit verschiedener Verhütungsmittel (Bedeutung Pearl-Index) stärken
- Binomialverteilung verstehen und anwenden
- Umgang mit Graphen und Diagrammen fördern
Mathematische Theorie
BearbeitenDefinition diskreter ZV
Bearbeiten- Betrachtung eines diskreten W-Raums , ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)
- Funktion auf mit , heißt diskrete ZV
- bezeichnet mit welcher W-keit angenommen wird
Binomialverteilung
Bearbeiten- Eine diskrete ZV heißt binomialverteilt mit den Parametern (Versuchszahl) und (Trefferwahrscheinlichkeit), falls und:
für alle (Verteilung von X)
- Eine Zufallsvariable ist binomialverteilt, wenn ein Zufallsexperiment -mal (unabhängig voneinander, unter identischen Bedingungen) durchgeführt wird und die Anzahl der Versuche angibt, bei denen ein bestimmtes Ereignis (das bei einer einzelnen Durchführung die Wahrscheinlichkeit hat) eintritt.
Empirisches Gesetz der Großen Zahlen
Bearbeiten- Für ein Zufallsexperiment mit Ergebnismenge definiert man für das Eintreten eines Ereignisses bei -maliger Durchführung:
Anzahl der Durchführungen, bei denen A eingetreten ist (absolute Häufigkeit von )
(relative Häufigkeit von )
- In der Realität beobachtet man, dass sich für große n stabilisiert (Naturgesetz: Empirisches Gesetz der Großen Zahlen).
- Wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt
Statistische Wahrscheinlichkeiten
Bearbeiten- Das Empirische Gesetz der Großen Zahlen wird in der Anwendung zur Gewinnung von Wahrscheinlichkeiten aus Daten genutzt, man spricht dann von frequentistischen Wahrscheinlichkeiten
Bezug zum Lehrplan
Bearbeiten- Leitidee Sek II:
→ „L5: Daten und Zufall“ („die Binomialverteilung und ihre Kenngrößen nutzen“)
→ „L4: Funktionaler Zusammenhang“ („Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilungen zur Beschreibung stochastischer Situationen nutzen“) - konkrete Ziele im Unterricht (Grund-& Leistungsfach):
→ „Die Begriffe „Bernoullikette“ und „Binomialverteilung“ verstehen und wissen, wie man die Werte einer Binomialverteilung bestimmen kann“
→ „Sachaufgaben zur Binomialverteilung lösen“
Modellierung
BearbeitenBinomialverteilung (Ländervergleich)
Bearbeiten- Darstellung der Situation aus Zyklus 1 (Anzahl/ Anteil der Schwangerschaften unter 20) durch binomialverteilte ZV
- → Frequentistische Wahrscheinlichkeiten (schätzen auf Grundlage der Daten/ Ergebnisse aus Zyklus 1)
- Zufallsvariablen:
Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Deutschland
Anzahl der Schwangerschaften von unter 20-Jährigen in Niger (Vereinfachende Annahme: keine Verhütung, da Anteil unter 2%, also sehr klein)
Parameter der Verteilungen
Bearbeiten- Beide Verteilungen werden (aus didaktischen Gründen) mit Variablen betrachtet und werden im Folgenden exemplarisch für dargestellt
- Deutschland: (vgl. Zyklus 1; ist also -verteilt
- Niger: (vgl. Zyklus 1; ist also -verteilt )
Verteilungen
BearbeitenDeutschland
BearbeitenNiger
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Hauptursache: Verhütungsmittel
Bearbeiten- Annahme: Die sichtbaren Unterschiede entstehen durch die in beiden Ländern sehr verschiedene Nutzung von Verhütungsmitteln
- Maß für die Sicherheit einer bestimmten Verhütungsmethode: Pearl-Index
- Pearl-Index gibt an: zu wie vielen ungewollten Schwangerschaften es beim Einsatz einer bestimmten Methode kommt, die ein Jahr lang von 100 Paaren angewendet wurde
- Pearl-Index entspricht also im Sinne einer frequentistischen Wahrscheinlichkeit der Wahrscheinlichkeit (in %), trotz der Verwendung einer bestimmten Verhütungsmethode schwanger zu werden
Pearl-Indizes gängiger Verhütungsmittel unter 20-Jähriger
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Binomialverteilung Verhütung
Bearbeiten- Gesammelte Daten (Pearl-Indizes) → binomialverteilte Zufallsgrößen
- Wirksamkeiten der einzelnen Verhütungsmittel werden hiermit dargestellt
- Für die jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeiten wird arithmetischer Mittelwert von oberer und unterer Grenze des entsprechenden Pearl-Index genutzt
Definition der Zufallsvariablen
Bearbeiten(i) Die ZV gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Pille an
(ii) Die ZV gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Minipille an
(iii) Die ZV gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit Kondom an
(iv) Die ZV gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit der Temperatur-Methode an
(v) Die ZV gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Hormon-Ring an
(vi) Die ZV gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem Coitus Interruptus an
(vii) Die ZV gibt die Anzahl der Schwangerschaften bei Verhütung mit dem der Pille und Kondom an
Pille
Bearbeitenist -verteilt
Minipille
Bearbeitenist -verteilt
Kondom
Bearbeitenist -verteilt
Temperatur-Methode
Bearbeitenist -verteilt
Hormon-Ring
Bearbeitenist -verteilt
Coitus Interruptus
Bearbeitenist -verteilt
Pille & Kondom
Bearbeitenist -verteilt
Interpretation
BearbeitenWirksamkeit einer Verhütungsmethode ablesbar:
Je höher der Balken bei k=0 (also ) ist, desto sicherer ist die dargestellte Methode.
Umsetzung in GeoGebra
Bearbeiten- Die Binomialverteilung wurde durch folgenden Befehl definiert: Name=Binomial(n,pTreffer)
- Grafikrechner statt Statistik-Funktion für gleichbleibende Achsenskalierung & variables n → bessere Visualisierung bei Veränderungen
- In der Tabellenkalkulation-Funktion wurden die Tabelle mit den Pearl-Indizes der einzelnen Verhütungsmethoden aus Abbildung 8 erstellt
- Die Skalierung der Achsen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
- Die Farben der einzelnen Verteilungsgraphen konnte über folgenden Weg verändert werden: Rechte Maustaste auf Graph → Einstellungen → Farbe → Farbe und Deckkraft wählen
Vereinfachungen und Bewertung
BearbeitenVereinfachungen
Bearbeiten- Vereinfachungen aus Sek I
- Annahme: Alle Verhütungsmittel binomialverteilt (WK schwanger zu werden ist nicht immer gleich) → Trefferwahrscheinlichkeit p nicht konstant
- Für Trefferwahrscheinlichkeit wurde der arithmetische Mittelwert des jeweiligen Pearl-Index benutzt
- Pearl-Index bezieht sich nicht auf bestimmte Altersgruppe
- Vernachlässigung Kombinationen anderer Verhütungsmittel
Bewertung
Bearbeiten- gute Visualisierung für Schüler*innen
- exemplarische Werte für eine Klassenstufe berechnen (Regler in GeoGebra verschieben)
- PC-Rechenleistung für große n zu schwach → Lösung: Poisson-Verteilung (Modellierungszyklus III)
Warum Umsetzung in GeoGebra?
Bearbeiten- n variable durch Schiebereglerfunktion → dynamischer
- Umsetzung in Calc und Maxima aufwendiger
- in Maxima nur mit Download der Stochastikfunktion möglich
- Problem: Wie lange GeoGebra noch Open Source?