Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Uni

  • Betrachtung einer größeren Gruppengröße
  • Bestimmung Anz. unter 20-Jährige, die in Niger verhüten müssten, um auf unter 6 % Jugendschwangerschaften zu kommen
  • dabei Vergleich Verhütung mit Kondom/ Pille
  • Kosten mit einbeziehen

Mathematische Theorie

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Definition diskreter ZV

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  • Betrachtung eines diskreten W-Raums  ,   ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)


  • Funktion   auf   mit   ,   heißt diskrete ZV


  •   bezeichnet mit welcher W-keit   angenommen wird


Poissonverteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse)

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  • Eine diskrete ZV   heißt Poisson-verteilt mit Parameter   (erwartete Ereignishäufigkeit), falls   und:

  für alle   (Verteilung von X)

  • → Ergibt sich aus Binomialverteilung für große   & kleine   (also für seltene Ereignisse), denn  
  •   wird typischerweise aus Daten gewonnen, jedoch kann man bei (passender) zugrundeliegender Binomialverteilung   setzen
  • Faustregel hierfür:   und  


Erwartungswert diskreter ZV

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  • Für eine diskrete ZV   definiert man:   falls diese Summe konvergiert.
  • EW bezieht sich nicht auf Daten, sondern auf eine zukünftige Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments.
  • Entspricht durchschnittlich zu erwartendem Wert, der von der ZV angenommen wird
  • Eigenschaften:
  • (i)   bzw.   (Linearität)
  • (ii) Falls   unabhängig sind:  


Erwartungswert ausgewählter diskreter ZV

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  • Eine binomialverteilte Zufallsvariable   hat den Erwartungswert:  
  • Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable   hat den Erwartungswert:  

Modellierung

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Poissonverteilung

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  • Poissonverteilung als Verbesserung für kleine p und große n (Binomialverteilung hier zu großer Rechenaufwand)
  • n = 2.549.082
  • Zufallsvariablen:
  •   Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit der Pille schwanger werden
  •   Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit Kondom schwanger werden
  •   Anzahl unter 20-Jährige, die ohne Verhütung in Niger schwanger werden

Parameter λ für Verteilung

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Pille:  


Kondom:  


Niger:  

Verteilungen

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Abbildung 16: Poissonverteilung Verhütung mit Pille
 
Abbildung 17: Poissonverteilung Verhütung mit Kondom
 
Abbildung 18: Poissonverteilung Niger ohne Verhütung

Ungleichung

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  • Ziel: Jugendschwangerschaften auf unter 6 % (Pille auch unter 2 %) drücken --> Verbesserung um 3 Prozentpunkte
  • gesucht: n (= Anzahl Teenager, die verhüten müssten)
  • 6% stellen relative Häufigkeit aller Teenagerschwangerschaften dar mit oder ohne Verhütung (Mengen sind disjunkt)

  , wobei h:= Gesamtzahl aller Jugendschwangerschaften

1)  

2)   (für Kondom, bzw. für Pille: 2)  )
zu 1) Schwanger ohne Verhütung, zu 2) Schwanger trotz Verhütung

Rechnung in Maxima

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Aufstellung Ungleichung Kondom

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Abbildung 19: Rechnung in Maxima, Aufstellung Ungleichung Kondom

Lösung Ungleichung Kondom

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Abbildung 20: Rechnung in Maxima, Lösung der Ungleichung zu Kondom

Lösung Ungleichung Pille 6%

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Abbildung 21: Rechnung in Maxima, Lösung der Ungleichung zu Pille für 6%

Lösung Ungleichung Pille 2 %

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Abbildung 22: Rechnung in Maxima, Lösung der Ungleichung zu Pille für 2%

Kostenberechnung

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  • Schätzung Produktionskosten Kondom 10 ct pro Stück , Pille auf 2 € pro Monatspackung
  • Schätzung Teenager haben 10 mal im Monat Geschlechtsverkehr

Kostenfunktion

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Abbildung 23: Kostenfunktion für Pille und Kondom

Kosten bezogen auf vorherige Ergebnisse

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  • Kostenfunktion zeigt, dass Kosten für Pille pro Monat ca. doppelt so hoch
  • bezogen auf Anzahl n von Ungleichung:
  • Kondom:  
  • Pille:  
  • Unterschied von 640.000 € (Fazit folgt später)

Umsetzung in Geogebra

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  • Poissonverteilung: Name=Poisson(λ)
  • Skalierung der Achsen: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
  • Befehl "Strahl" mit Punkt A=(0,0) und B=(1,1) für die Kostenfunktion von Kondomen (B=(1,2) für Pille)


Umsetzung in Maxima

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  • ratsimp(%oX); → Vereinfacht den Term der in Zeile %oX steht
  • load(to_poly_solve); → ermöglicht die Verwendung eines Packages (beim ersten Download von Maxima dabei, aber nicht in den Standardfunktionen enthalten), dass das Lösen von Ungleichungen möglich macht
  • to_poly_solve(u,n); → löst die zuvor definierte Ungleichung mit dem Namen u nach der Variable n


Vereinfachungen

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  • absolute Anzahl aller unter-20-Jährigen wurde betrachtet, können aber nicht alle schon schwanger werden
  • möchten ggf. keine Verhütungmittel verwenden (Kinder bedeuten in Niger oft soziale Sicherheit)
  • Annahme, dass Wsk., dass Frau schwanger wird jeden Tag gleich hoch ist
  • Abweichung von Erwartungswert wird nicht berücksichtigt
  • Schätzungen Produktionspreise und keine Berücksichtigung Transport/ Mengenrabatt
  • Schätzung Anzahl benötigte Kondome pro Monat, Frau sorgt für Verhütung

Bewertung

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  • Jugendschwangerschaften durch die Pille deutlich stärker auf einen kleinen Anteil gedrückt
  • Vergleich zu Deutschland: Anteil der Schwangeren bereits viel kleiner
    → bessere Aufklärung und verbreitete Verhütung mit Pille und Kombination
    → auch Nutzung der Pille danach
  • Richtwert für Hilfsorganisationen kann geschaffen werden
    → zusätzliche Berücksichtigung sozialer und gesundheitlicher Aspekte

Warum Umsetzung in Maxima

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  • Rechenschritte und Lösung nachvollziehbar
  • in Libre Calc Ungleichungen nicht einfach lösbar