Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Schwangerschaft/Modellierungszyklus Uni
Ziel
Bearbeiten- Betrachtung einer größeren Gruppengröße
- Bestimmung Anz. unter 20-Jährige, die in Niger verhüten müssten, um auf unter 6 % Jugendschwangerschaften zu kommen
- dabei Vergleich Verhütung mit Kondom/ Pille
- Kosten mit einbeziehen
Mathematische Theorie
BearbeitenDefinition diskreter ZV
Bearbeiten- Betrachtung eines diskreten W-Raums , ist also diskret (d.h. endlich oder abzählbar unendlich)
- Funktion auf mit , heißt diskrete ZV
- bezeichnet mit welcher W-keit angenommen wird
Poissonverteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse)
Bearbeiten- Eine diskrete ZV heißt Poisson-verteilt mit Parameter (erwartete Ereignishäufigkeit), falls und:
für alle (Verteilung von X)
- → Ergibt sich aus Binomialverteilung für große & kleine (also für seltene Ereignisse), denn
- wird typischerweise aus Daten gewonnen, jedoch kann man bei (passender) zugrundeliegender Binomialverteilung setzen
- Faustregel hierfür: und
Erwartungswert diskreter ZV
Bearbeiten- Für eine diskrete ZV definiert man: falls diese Summe konvergiert.
- EW bezieht sich nicht auf Daten, sondern auf eine zukünftige Durchführung des zugehörigen Zufallsexperiments.
- Entspricht durchschnittlich zu erwartendem Wert, der von der ZV angenommen wird
- Eigenschaften:
- (i) bzw. (Linearität)
- (ii) Falls unabhängig sind:
Erwartungswert ausgewählter diskreter ZV
Bearbeiten- Eine binomialverteilte Zufallsvariable hat den Erwartungswert:
- Eine Poisson-verteilte Zufallsvariable hat den Erwartungswert:
Modellierung
BearbeitenPoissonverteilung
Bearbeiten- Poissonverteilung als Verbesserung für kleine p und große n (Binomialverteilung hier zu großer Rechenaufwand)
- n = 2.549.082
- Zufallsvariablen:
- Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit der Pille schwanger werden
- Anzahl unter 20-Jährige, die trotz Verhütung mit Kondom schwanger werden
- Anzahl unter 20-Jährige, die ohne Verhütung in Niger schwanger werden
Parameter λ für Verteilung
BearbeitenPille:
Kondom:
Niger:
Verteilungen
BearbeitenPille
BearbeitenKondom
BearbeitenNiger
BearbeitenUngleichung
Bearbeiten- Ziel: Jugendschwangerschaften auf unter 6 % (Pille auch unter 2 %) drücken --> Verbesserung um 3 Prozentpunkte
- gesucht: n (= Anzahl Teenager, die verhüten müssten)
- 6% stellen relative Häufigkeit aller Teenagerschwangerschaften dar mit oder ohne Verhütung (Mengen sind disjunkt)
, wobei h:= Gesamtzahl aller Jugendschwangerschaften
1)
2) (für Kondom, bzw. für Pille: 2) )
zu 1) Schwanger ohne Verhütung, zu 2) Schwanger trotz Verhütung
Rechnung in Maxima
BearbeitenAufstellung Ungleichung Kondom
BearbeitenLösung Ungleichung Kondom
BearbeitenLösung Ungleichung Pille 6%
BearbeitenLösung Ungleichung Pille 2 %
BearbeitenKostenberechnung
Bearbeiten- Schätzung Produktionskosten Kondom 10 ct pro Stück , Pille auf 2 € pro Monatspackung
- Schätzung Teenager haben 10 mal im Monat Geschlechtsverkehr
Kostenfunktion
BearbeitenKosten bezogen auf vorherige Ergebnisse
Bearbeiten- Kostenfunktion zeigt, dass Kosten für Pille pro Monat ca. doppelt so hoch
- bezogen auf Anzahl n von Ungleichung:
- Kondom:
- Pille:
- Unterschied von 640.000 € (Fazit folgt später)
Umsetzung in Geogebra
Bearbeiten- Poissonverteilung: Name=Poisson(λ)
- Skalierung der Achsen: Rechte Maustaste → Grafik → für x-Achse und y-Achse gewünschte Skalierung eintragen
- Befehl "Strahl" mit Punkt A=(0,0) und B=(1,1) für die Kostenfunktion von Kondomen (B=(1,2) für Pille)
Umsetzung in Maxima
Bearbeiten- ratsimp(%oX); → Vereinfacht den Term der in Zeile %oX steht
- load(to_poly_solve); → ermöglicht die Verwendung eines Packages (beim ersten Download von Maxima dabei, aber nicht in den Standardfunktionen enthalten), dass das Lösen von Ungleichungen möglich macht
- to_poly_solve(u,n); → löst die zuvor definierte Ungleichung mit dem Namen u nach der Variable n
Vereinfachungen
Bearbeiten- absolute Anzahl aller unter-20-Jährigen wurde betrachtet, können aber nicht alle schon schwanger werden
- möchten ggf. keine Verhütungmittel verwenden (Kinder bedeuten in Niger oft soziale Sicherheit)
- Annahme, dass Wsk., dass Frau schwanger wird jeden Tag gleich hoch ist
- Abweichung von Erwartungswert wird nicht berücksichtigt
- Schätzungen Produktionspreise und keine Berücksichtigung Transport/ Mengenrabatt
- Schätzung Anzahl benötigte Kondome pro Monat, Frau sorgt für Verhütung
Bewertung
Bearbeiten- Jugendschwangerschaften durch die Pille deutlich stärker auf einen kleinen Anteil gedrückt
- Vergleich zu Deutschland: Anteil der Schwangeren bereits viel kleiner
→ bessere Aufklärung und verbreitete Verhütung mit Pille und Kombination
→ auch Nutzung der Pille danach - Richtwert für Hilfsorganisationen kann geschaffen werden
→ zusätzliche Berücksichtigung sozialer und gesundheitlicher Aspekte
Warum Umsetzung in Maxima
Bearbeiten- Rechenschritte und Lösung nachvollziehbar
- in Libre Calc Ungleichungen nicht einfach lösbar