Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sport - Elfmeterschießen/Mathematische Grundlagen - Zyklus 2

Sekundarstufe 2

Binomialverteilte Zufallsvariable

• Zufallsexperiment wird unabhängig voneinander und unter identischen Bedingungen n-mal durchgeführt
• Zufallsvariable Z gibt Anzahl der Versuche an, in denen ein bestimmtes Ereignis, das die Wahrscheinlichkeit p hat, eintritt
• Bildmenge der Zufallsvariable abzählbar, jedes Ereignis kann in einer natürlichen Zahl angegeben werden
• Formel zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit mit Versuchszahl n ∈ ℕ und Wahrscheinlichkeit p ∈[0, 1], falls Z(Ω) = {0,…,n}
• P(Z = k) = ${\binom {n}{k}}$ •p^k • (1-p)^n-k für alle k ∈ {0,…,n}

Erwartungswert

• gibt die zu erwartende Trefferzahl in Abhängigkeit der jeweiligen Trefferwahrscheinlichkeit und der Versuchszahl an
• E (Z) = n • p

Varianz

• durch die Varianz wird die zu erwartende quadratische Abweichung vom Erwartungswert angegeben
• große Varianz: viele Daten weichen vom Erwartungswert ab
• kleine Varianz: geringe Streuung
• V (Z) = n • p • (1 - p)

Standardabweichung

• Standardabweichung ist die Wurzel der Varianz
• Streumaß, das Auskunft über die zu erwartenden Abweichungen vom Erwartungswert gibt
• σ(Z)= ${\sqrt {V(Z)}}$ ∈[0, ∞)
• durch das Ziehen der Wurzel wird das Quadrieren aus der Berechnung der Varianz (Standardformel zur Berechnung der Varianz: V(Z) := E( (Z - E(Z))² ) ∈[0, ∞) ) ausgeglichen.

Approximation der Binomialverteilung durch die Normalverteilung

• um praktische Regeln der Normalverteilung nutzen zu können
• binomialverteilte Zufallsvariable mit Versuchszahl n ∈ ℕ und Trefferwahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] kann durch die Normalverteilung approximiert werden
• für ein "großes" n gilt dann für alle k, l ∈ {1,…,n-1} mit k ≤ l:
• P(X=l) ≈ Φ ${\frac {(l+o.5-np)}{\sqrt {np(1-p)}}}$ - Φ ${\frac {(l-o.5-np)}{\sqrt {np(1-p)}}}$
• als Faustregel gilt hier, dass dies bei n•p•(1-p) = V(x) ≥ 9 in der Praxis eine ausreichend gute Näherung ist

σ-Regeln der Normalverteilung

Für μ = Erwartungswert und σ = Standardabweichung gilt:
P (|Z-μ| ≤ ${\frac {1}{2}}$ σ) = 2•Φ(${\frac {1}{2}}$)-1 ≈ 0.3829
P (|Z-μ| ≤ σ) = 2•Φ(1) - 1 ≈ 0.6827
P (|Z-μ| ≤ 2•σ) = 2•Φ(2) - 1 ≈ 0.9545
P (|Z-μ| ≤ 3•σ) = 2•Φ(3) - 1 ≈ 0.9973

• Angabe der Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Ereignisse möglich, die in einem σ-Intervall vom Erwartungswert entfernt liegen
• geht man zum Beispiel vom Erwartungswert eine Standardabweichung nach rechts und eine nach links, liegt die Wahrscheinlichkeit für alle Werte in diesem σ-Intervall bei ungefähr 68,27 %.

Punkte im Koordinatensystem

• mithilfe eines Koordinatensystems können Punkte in der Ebene oder im Raum eindeutig beschrieben werden
• bei Punkten im Raum sind drei Koordinaten erforderlich
• somit ergibt sich ein Punkt im Raum mit folgender Schreibweise: (x|y|z), wobei x die Koordinate bzgl. der x-Achse, y die Koordinate bzgl. der y-Achse und z die Koordinate bzgl. der z-Achse angibt
• jeder Punkt ist also durch seine Komponenten eindeutig bestimmt.

Vektoren im Raum

• Vektoren können dazu verwendet werden, Punkte in einem Koordinatensystem zu beschreiben und das Rechnen zu ermöglichen
• um einen Punkt in einem Koordinatensystem mittels Vektors angeben zu können, werden Ortsvektoren benötigt
• mithilfe des Ortsvektors ${\vec {p}}={\overrightarrow {OP}}$, wobei O(0|0|0) gilt, kann dann also der Punkt P angegeben werden

Vektoren im Raum

• Vektoren im $\mathbb {R} ^{3}$ können durch ein Zahlentripel ${\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}$ angegeben werden (Spaltenvektor)
• wie in der gewählten Schreibweise schon erkennbar ist, bildet die erste Komponente des Tripels die x-Koordinate, die zweite die y-Koordinate und die dritte Komponente bildet die z-Koordinate

Addition und Subtraktion zweier Vektoren

• Vektoren können addiert werden, indem sie hintereinander ausgeführt werden, wodurch sich ein Vektorzug bildet
• ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$
• die Subtraktion funktioniert ähnlich, wobei hier beispielsweise ${\vec {a}}$ und ${\vec {-b}}$ miteinander addiert werden, da ${\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+({\vec {-b}})$ gilt
• ${\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\a_{3}-b_{3}\end{pmatrix}}$.

Betrag eines Vektors

• der Betrag eines Vektors gibt seine Länge an und kann mit folgender Formel berechnet werden:
• $a=|{\vec {a}}|={\Bigg |}{\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\Bigg |}={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}$
• Berechnung des Abstands zweier Punkte möglich
• ${\overline {PQ}}=|{\vec {p}}-{\vec {q}}|={\Bigg |}{\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}q_{1}\\q_{2}\\q_{3}\end{pmatrix}}{\Bigg |}$,
• Betragsformel für den Abstand zweier Punkte:
• ${\overline {PQ}}={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}$

Physikalische Grundlagen: Gleichförmige Bewegung

• bei Ball- und Torwartbewegung soll es sich um gleichförmige Bewegungen handeln
• Bewegung mit gleichbleibender Geschwindigkeit und gleichbleibender Richtung
• dabei gilt: in der gleichen Zeit wird immer die gleiche Strecke zurückgelegt (Geschwindigkeit bleibt konstant)
• es gilt:
• $v={\tfrac {s}{t}}\;\!\iff t={\tfrac {s}{v}}$

Das Minimum zweier Zahlen

• die Funktion $min(.)$ gibt das kleineste Element einer Menge an
• $min(x,y)=x,falls:x<y$ ,
• $min(x,y)=y,falls:x>y$,
• $min(x,y)=x=y,falls:x=y$.

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