Kurs:Mathematische Modellbildung/Themen/Sprache und Semantische Netze/Einführung Thema

Einleitung

• Ziel: Erstellung eines Epochenschlüssels zur Einordnung unbekannter/undatierter Gedichte
• untersuchte Textart: Gedichte (bieten sich für eine Untersuchung am besten an, da sie häufig einem schematischen Aufbau folgen und es distinktive Merkmale gibt im Gegensatz zu anderen Gattungen wie Epos oder Dramen)
• Epochen: Renaissance, Romantik, Moderne
• untersuchte Merkmale: Versanzahl, Reimschema, Metrum

Theorie zur Bestimmung der Rohdaten

Epochen

• Renaissance:1500-1649
• Romantik: 1780-1837
• Moderne: 1914-1945

Metrum

(unbetont: x, betont: /)

• Jambus: x/
• Trochäus: /x
• Daktylus: /xx
• Anapäst: xx/

Reimschemata

• Paarreim: aabb
• Kreuzreim: abab
• umarmender Reim: abba
• verschränkender Reim: abc abc

Tabellarische Darstellung der Rohdaten am Beispiel Renaissance

Mathematische Aspekte

Problemstellung der Modellierung

• Besteht die Möglichkeit undatierte Gedichte anhand eines von uns definierten Epochenschlüssels einer Epoche zuordnen zu können ?

Mathematische Grundlagen/Theorien zur Berechnung

Sekundarstufe I:

• Satz des Pythagoras
• Tabellenkalkulation, Daten in Excel eintragen
• Anteil verschiedener Merkmale der Gedichte als Bruch ausdrücken
• Brüche in Prozentschreibweise umwandeln
• Berechnung arithmetisches Mittel

Sekundarstufe II:

• Eintragen von Punkten und Vektoren im Koordinatensystem des ℝ³
• Bestimmen/Berechnen von Punkten im ℝ³
• Abstandsberechnung von Punkten im ℝ³
• Vektorrechnung im ℝ³ (Bestimmen von Längen)
• Einsatz von GeoGebra
• Kugelgleichung im ℝ³
• Normen, Metrik, Topologie

Universität:

• Gradientenabstiegsverfahren
• mehrdimensionale Differentialrechnung (v.a. partielle Ableitung und Bestimmung Gradient)
• Fehlerrechnung

Programme zur Berechnung

• Sek I: GeoGebra, Tabellenkalkulation
• Sek II: GeoGebra
• Universität: wxMaxima, Tabellenkalkulation

Durchführung Modellierungszyklus 1

Ziel

• Bestimmen von Kugeln im ℝ³ (=Epochen), um Gedichte (dargestellt als Punkte im ℝ³) mit Berechnung des Abstands zur Kugel zu Epochen zuordnen zu können
• Annahme: Gedichte gehören zu der Epoche, zu der sie den geringsten Abstand aufweisen.

Modellierung

Erhebung der Daten

• durch eigene Analyse von Gedichten (je 5 Trainingsgedichte, 3 Testgedichte pro Epoche)
• Eintragen der Daten in Tabellenkalkulationsprogramm
• Bestimmen des arithmetischen Mittels für jedes untersuchte Merkmal

Bestimmung der Punkte der Gedichte und Epochen im ℝ³

Punkte Trainingsgedichte Renaissance (GeoGebra)

• Beschränkung auf x: Jambus, y: Trochäus, z: Verszahl der Gedichte aus Daten
• Verwendung von x,y,z als Koordinaten der Punkte der Gedichte
• Epochen dargestellt durch Durchschnittswerte für x,y,z

Bestimmung Kugelgleichung anhand der Trainingsgedichte

• Durchschnittswerte der Epoche für x,y,z als Mittelpunkt der Kugel
• Radius: größter Abstand eines zugehörigen Trainingsgedichts zur Epoche

Bestimmung Abstände Trainingsgedichte zu Mittelpunkt 1

Quader um die Punkte Renaissance und Donne (GeoGebra)

• größter Abstand = Radius Kugel
• Erstellen Quader um den Mittelpunkt und Punkt eines Trainingsgedichts (Seiten parallel zu Ebenen definiert durch Achsen)
• Raumdiagonale Quader entspricht Abstand der Punkte

Bestimmung Abstände Trainingsgedichte zu Mittelpunkt 2

• mithilfe Satz des Pythagoras kann Länge Raumdiagonale bestimmt werden

Abbildung des Satz des Pythagoras zur Bestimmung des Abstandes der Punkte Renaissance und Donne (GeoGebra)

• Erstellen der Formel für weitere Berechnungen:

${\begin{aligned}\mid Quaderdiagonale\mid ^{2}&=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}\\&=(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}\Rightarrow \mid Quaderdiagonale\mid &={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}\\&={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}\end{aligned}}$

• Berechnungen können mithilfe von GeoGebra überprüft werden

Bestimmung der Kugelgleichung

Kugeln aller Epochen und alle Testgedichte

• aus Durchschnittspunkt der Epoche (=Kugelmittelpunkt) und größtem Abstand Trainingsgedicht zu Durchschnittspunkt Epoche (=Radius)
• Einsetzen der Werte in Koordinatenform: $(x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}+(z-z_{M})^{2}=r^{2}$
• Darstellung mit GeoGebra

Test des Modells mithilfe der Testgedichte

• Überprüfung Güte des Modells
• Überprüfung, ob Testgedichte zur passenden Epoche zugeteilt werden durch Berechnung des Abstands zu allen Kugelmittelpunkten
• Berechnung durch Bestimmung Länge Verbindungsvektor (Überprüfung mit GeoGebra)
• Zuordnung zu Epoche in Tabellenkalkulation dargestellt (=WENN(UND(C4<D4;C4<E4);"Renaissance"; WENN(UND(D4<C4;D4<E4);"Romantik";"Moderne")))
• Ausgabe richtige oder falsche Zuordnung in Tabellenkalkulation (=WENN(F4="Renaissance";"ja";"nein"))

Bewertung und Optimierung Modellierungszyklus 1

• nur 4 von 9 Testgedichten richtig zugeordnet
• Optimierungsvorschläge:
• mehr Merkmale beachten
• mehr Daten (Trainings- und Testgedichte)
• prozentuale Zuordnung und nicht "1:1"-Zuordnung bestimmen

Durchführung Modellierungszyklus 2

Ziel

• Finden einer Funktion f zur prozentualen Zuordnung der Gedichte zu den Epochen
• Berechnung Fehler der Funktion f
• Bestimmen Fehlerfunktion E zur Funktion f
• Minimieren des Fehlers mithilfe des Gradientenabstiegsverfahrens/ Optimierung der Funktion f

Modellierung

Aufstellen der Funktion f 1

• gibt prozentuale Zuordnung der Gedichte zu den 3 Epochen aus
• mögliche Werte müssen im Intervall $[0,1]$ liegen
• "perfekte" Zuordnung hat Wert 1, keine Übereinstimmung bei Wert 0
• Form f: Spaltenvektor mit der Zuordnung $\left({\begin{array}{c}Renaissance\\Romantik\\Moderne\end{array}}\right)$
• Berechnung der Funktionswerte mit WxMaxima

Aufstellen der Funktion f 2

Funktion f Zuordnung Gedichte zu Epochen

Berechnung des Fehlers von f

• Bestimmen der Güte der Funktion
• $F(t)=(\mid f(t)-z(t)\mid )^{2}=\left(\left|f\left(\left({\begin{array}{c}x_{t}\\y_{t}\\z_{t}\end{array}}\right)\right)-z\left(\left({\begin{array}{c}x_{t}\\y_{t}\\z_{t}\end{array}}\right)\right)\right|\right)^{2}$
• Vergleich der Länge der Vektoren der Funktionswerte und der tatsächlichen Zuordnungen
• Quadrieren: positive Ergebnisse, Differenzierbarkeit
• $F_{f}(t)=\sum _{i=1}^{15}(\mid (f(t_{i})-z(t_{i}))\mid )^{2}$
• Gesamtfehler der Funktion durch Bildung der Summe aller Fehler der Trainingsgedichte

Aufstellen der Fehlerfunktion E

Fehlerfunktion E

• Ersetzen der Daten der Mittelpunkte der Kugeln durch Variablen
• später: Optimierung der Kugelmittelpunkte und Minimierung Fehler

Gradientenabstiegsverfahren

• Iteratives Verfahren
• Optimierung der Fehlerfunktion (Finden des Minimums von E)
• Verschiebung Kugelmittelpunkte
• Verringerung Fehler
• Verwenden des negativen Gradienten (Richtung stärkster Abstieg) zum Finden des Minimums der Funktion
• Abbruchkriterium: Gradient wird 0
• in unserem Fall: Wert Optimierung = 0

Bestimmen Gradient

• Bestimmen partielle Ableitungen der Fehlerfunktion E
• $-\sum _{i=1}^{15}\operatorname {grad} (E)=-\sum _{i=1}^{15}\nabla E=-{\begin{pmatrix}\sum _{i=1}^{15}{\frac {\partial E}{\partial a_{1}}}\\\vdots \\\sum _{i=1}^{15}{\frac {\partial E}{\partial a_{9}}}\end{pmatrix}}$
• Verwendung WxMaxima

Berechnung Gradientenabstiegsverfahren mithilfe Tabellenkalkulation 1

• 18 Iterationsschritte -> zeitliche Begrenzung
• Eingabe Startwerte (Mittelpunkte der Kugeln, Schrittweite 1)
• Veränderung der Variablen (Mittelpunkte der Kugeln) (durch Tabellenkalkulation =WENN($ AE3<$ AD3;A3+T3;A3))

Gradientenabstiegsverfahren: Variablen

Berechnung Gradientenabstiegsverfahren mithilfe Tabellenkalkulation 2

• falls optimierter Funktionswert von E kleiner als vorheriger Funktionswert: Addition des Schritts zur Variable
• Eintragen Wert partieller Ableitungen (berechnet mit WxMaxima als Summe aller Werte der partiellen Ableitungen der einzelnen Trainingsgedichte)
• Schrittweite α als 1 festlegen: bei fehlender Optimierung des Funktionswertes von E wird diese halbiert (durch Tabellenkalkulation =WENN(AE3>AD3;S3/2;S3))

Gradientenabstiegsverfahren: partielle Ableitungen, Schrittweite

Berechnung Gradientenabstiegsverfahren mithilfe Tabellenkalkulation 3

• Berechnung Schritt der Variablen: negativer Wert normierter Gradient (Division durch seine Vektorlänge) wird mit Schrittweite multipliziert (durch Tabellenkalkulation =-J3*S3/AC3)

Gradientenabstiegsverfahren: Schritte, Vektorlänge

• Berechnung Vektorlänge Gradient zur Normierung des Gradienten durch euklidische Norm des Gradientenvektors (durch Tabellenkalkulation =WURZEL(J3^2+K3^2+L3^2+M3^2+ N3^2+O3^2+P3^2+Q3^2+R3^2))

Berechnung Gradientenabstiegsverfahren mithilfe Tabellenkalkulation 4

• Berechnung Funktionswert der Fehlerfunktion E vor der Optimierung des Iterationsschritts (durch WxMaxima)
• Berechnung Funktionswert der Fehlerfunktion E nach Optimierung durch Addition Schritt zur Variable (durch WxMaxima)
• Bestimmung der Optimierung: Subtraktion neuer von altem Funktionswert (durch Tabellenkalkulation =AD3-AE3)

Gradientenabstiegsverfahren Optimierung

Bestimmen der verbesserten Funktion f und der Funktionswerte und Fehler

• Einsetzen der neu berechneten Punkte in die Funktion f
• mit neuer Funktion Funktionswerte Trainingsgedichte berechnen
• Fehler der Trainingsgedichte mit neuen Kugelmittelpunkten bestimmen

Bestimmen der Zuordnung der Testgedichte anhand der verbesserten Funktion f

• Bestimmen der Funktionswerte der verbesserten Funktion f mit den Werten der Testgedichte
• in WxMaxima
• Eingabe in Tabellenkalkulation, Zuordnung automatisch ausgegeben

=WENN(UND(C4>D4;C4>E4);"Renaissance"; WENN(UND(D4>C4;D4>E4);"Romantik";"Moderne"))

• automatische Ausgabe in Tabellenkalkulation, ob richtig zugeordnet

=WENN(F5="Renaissance";"ja";"nein")

Bewertung und Optimierung Modellierungszyklus 2

• Funktion zur prozentualen Zuordnung erstellt
• Fehler konnte verringert werden
• verbesserte Funktion erstellt
• mehr Iterationsschritte möglich
• Automatisierung Gradientenabstiegsverfahren
• geringe Anzahl an verwendeten Merkmalen
• wenige Daten verwendet

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