Modellierungszyklus 1
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mathematische Theorie des 1. Modellierungszyklus (Sek I und Sek II)
Berechnung arithmetisches Mittel 1
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benötigt um Durchschnittspunkte der Epochen zu bestimmen
durchgeführt mit Tabellenkalkulationsprogramm
gibt Zentrum einer Verteilung an ("Mittelpunkt der Messwerte")
keine Auskunft über Streuung der Werte
Berechnung arithmetisches Mittel 2
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für eine Zahlenmenge
A
=
{
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
}
{\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}
:
x
¯
=
{
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
}
n
=
1
n
⋅
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\{a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\}}{n}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}}
Bsp.:
A
=
{
2
,
3
,
6
,
7
}
{\displaystyle A=\{2,3,6,7\}}
x
¯
=
2
+
3
+
6
+
7
4
=
9
2
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2+3+6+7}{4}}={\frac {9}{2}}}
benötigt um Merkmale der Gedichte in Tabelle darzustellen
A
n
t
e
i
l
=
B
r
u
c
h
t
e
i
l
G
a
n
z
e
s
{\displaystyle Anteil={\frac {Bruchteil}{Ganzes}}}
Bsp.: 5 von 14
=
5
14
{\displaystyle ={\frac {5}{14}}}
Umwandlung Brüche in Prozentschreibweise
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benötigt um prozentuale Angaben in Tabelle zu erstellen
Prozent: von Hundert
Prozente: Brüche, die im Nenner den Wert 100 haben
Bruch in Prozentschreibweise bringen: Nenner auf 100 kürzen/erweitern oder Zehntel- und Hundertstelstelle als Prozentzahl verwenden
Bsp. 1:
4
20
=
20
100
=
20
%
{\displaystyle {\frac {4}{20}}={\frac {20}{100}}=20\%}
Bsp. 2:
2
:
7
≈
0,285
714
≈
0
,
29
≈
29
%
{\displaystyle 2:7\approx 0{,}285714\approx 0{,}29\approx 29\%}
kartesisches Koordinatensystem
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kartesisches Koordinatensystem 1
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benötigt um Punkte der Gedichte darzustellen, spätere Berechnung Abstände im ℝ3
Darstellung: mit GeoGebra
Koordinatensystem im euklidischen Raum ℝ3 : System von 3 skalierten Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt (Ursprung O) verlaufen und nicht in einer Ebene liegen
kartesisches Koordinatensystem: Achsen bilden jeweils rechte Winkel (Renè Descartes) bzw. gebildet durch 3 paarweise zueinander orthogonalen Vektoren
kartesisches Koordinatensystem 2
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Punkt im Raum: eineindeutiges Zahlentripel (x,y,z)
Elemente x,y,z: Koordinaten des Punktes
im Raum: Punkt P hat eineindeutigen Ortsvektor
O
P
=
x
e
1
+
y
e
2
+
z
e
3
{\displaystyle OP=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}}
(x,y,z Koordinaten des Punktes, e1 ,e3 ,e3 Einheitsvektoren)
Darstellung der Punkte im ℝ3
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benötigt um Punkte der Gedichte darzustellen, spätere Berechnung Abstände im ℝ3
Darstellung: mit GeoGebra
Bsp.: Punkt P(3,4,5) -> von Ursprung drei Einheiten in Richtung positiver x-Achse, vier Einheiten in Richtung positiver y-Achse und 5 Einheiten in Richtung positiver z-Achse
Abstand zweier Punkte im ℝ3
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benötigt um Radius Kugeln zu bestimmen, Testgedichte zu Epochen zuzuordnen
Darstellung: mit GeoGebra
Herleitung über die Quaderdiagonale 1
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Quader zur Berechnung der Abstände zweier Punkte im Raum
gesucht: Abstand P(p1 ,p2 ,p3 ) und Q(q1 ,q2 ,q3 ) im Raum
P,Q als Eckpunkte eines achsenparallelen Quaders im kartesischen Koordinatensystem
Abstand PQ entspricht Raumdiagonale Quader
Herleitung über die Quaderdiagonale 2
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Quader zur Berechnung der Abstände zweier Punkte im Raum
Kantenlängen des Quaders entsprechen Betrag der Differenz der Koordinaten
|
P
A
→
|
=
a
1
=
q
1
−
p
1
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PA}}\right|=a_{1}=q_{1}-p_{1}}
,
|
A
B
→
|
=
a
2
=
q
2
−
p
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|=a_{2}=q_{2}-p_{2}}
,
|
B
Q
→
|
=
a
3
=
q
3
−
p
3
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {BQ}}\right|=a_{3}=q_{3}-p_{3}}
Herleitung über die Quaderdiagonale 3
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alle Kanten Quader orthogonal zueinander (,da achsenparallel)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
PAB, PBQ rechtwinklige Dreiecke
Satz des Pythagoras zur Berechnung
|
d
|
{\displaystyle \left|d\right|}
und
|
P
Q
→
|
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|}
anwendbar
|
P
Q
→
|
2
=
d
2
+
a
3
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=d^{2}+a_{3}^{2}}
d
2
=
a
1
2
+
a
2
2
{\displaystyle d^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}
Herleitung über die Quaderdiagonale 4
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durch Einsetzen der zweiten in die erste Gleichung erhält man:
|
P
Q
→
|
2
=
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
=
(
q
1
−
p
1
)
2
+
(
q
2
−
p
2
)
2
+
(
q
3
−
p
3
)
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}
⇒
|
P
Q
→
|
=
(
q
1
−
p
1
)
2
+
(
q
2
−
p
2
)
2
+
(
q
3
−
p
3
)
2
{\displaystyle \Rightarrow \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}}
wegen Quadrieren auch Reihenfolge
(
p
1
−
q
1
)
2
{\displaystyle (p_{1}-q_{1})^{2}}
möglich
in Formel werden die Koordinaten des Verbindungsvektors
P
Q
→
=
q
→
−
p
→
=
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {q}}-{\overrightarrow {p}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)}
quadriert
Beispiel: Herleitung über die Quaderdiagonale
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Bsp.: P(1,2,3), Q(6,7,8)
dann: A(6,2,3), B(6,7,3)
|
P
A
→
|
=
a
1
=
q
1
−
p
1
=
6
−
1
=
5
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PA}}\right|=a_{1}=q_{1}-p_{1}=6-1=5}
|
A
B
→
|
=
a
2
=
q
2
−
p
2
=
7
−
2
=
5
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|=a_{2}=q_{2}-p_{2}=7-2=5}
|
B
Q
→
|
=
a
3
=
q
3
−
p
3
=
8
−
3
=
5
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {BQ}}\right|=a_{3}=q_{3}-p_{3}=8-3=5}
|
P
Q
→
|
2
=
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
=
(
5
)
2
+
(
5
)
2
+
(
5
)
2
=
75
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=(5)^{2}+(5)^{2}+(5)^{2}=75}
⇒
|
P
Q
→
|
=
(
5
)
2
+
(
5
)
2
+
(
5
)
2
=
75
{\displaystyle \Rightarrow \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|={\sqrt {(5)^{2}+(5)^{2}+(5)^{2}}}={\sqrt {75}}}
Satz des Pythagoras 1
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Satz des Pythagoras
rechtwinkligen Dreiecken: Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
Satz des Pythagoras 2
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Berechnung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck
z.B.
c
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
Beispiel: Satz des Pythagoras
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a=3 b=4
c
2
=
a
2
+
b
2
=
3
2
+
4
2
=
25
⇒
c
=
a
2
+
b
2
=
3
2
+
4
2
=
25
=
5
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25\Rightarrow c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}
Vektor: eine Größe, zu deren vollständiger Beschreibung neben einer Zahl die Angabe einer Richtung erforderlich ist.
Ortsvektor
O
A
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}
eines Punktes A hat die selben Koordinaten wie A: A(x,y,z)
⇒
O
A
→
=
(
x
y
z
)
{\displaystyle \Rightarrow {\overrightarrow {OA}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)}
Verbindungsvektor: Vektor, der 2 Punkte P,Q verbindet
Koordinaten des Verbindungsvektors
P
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}
entsprechen Koordinatendifferenzen der Punkte
P(p1 ,p2 ,p3 ), Q(q1 ,q2 ,q3 )
P
Q
→
=
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)}
Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung
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Länge des Verbindungsvektors zweier Punkte: Abstand der Punkte
Länge Verbindungsvektor durch Betrag Verbindungsvektor (Norm des Verbindungsvektor)
|
A
→
|
=
|
(
x
A
y
A
z
A
)
|
=
(
x
A
)
2
+
(
y
A
)
2
+
(
z
A
)
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {A}}\right|=\left|\left({\begin{array}{c}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{array}}\right)\right|={\sqrt {(x_{A})^{2}+(y_{A})^{2}+(z_{A})^{2}}}}
|
P
Q
→
|
=
|
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
|
=
(
q
1
−
p
1
)
2
+
(
q
2
−
p
2
)
2
+
(
q
3
−
p
3
)
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|=\left|\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)\right|={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}}
Beispiele: Vektoren im ℝ3 , Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung 1
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P(1,3,5)
⇒
O
P
→
=
(
1
3
5
)
{\displaystyle \Rightarrow {\overrightarrow {OP}}=\left({\begin{array}{c}1\\3\\5\end{array}}\right)}
Koordinaten Verbindungsvektor
P
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}
P(1,3,5), Q(2,4,6)
P
Q
→
=
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
=
(
2
−
1
4
−
3
6
−
5
)
=
(
1
1
1
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}2-1\\4-3\\6-5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}}\right)}
Beispiele: Vektoren im ℝ3 , Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung 2
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Länge Verbindungsvektor durch Betrag Verbindungsvektor (Norm des Verbindungsvektor)
P(1,3,5), Q(2,4,6)
|
P
Q
→
|
=
|
(
2
−
1
4
−
3
6
−
5
)
|
=
(
2
−
1
)
2
+
(
4
−
3
)
2
+
(
6
−
5
)
2
=
(
1
)
2
+
(
1
)
2
+
(
1
)
2
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|&=\left|\left({\begin{array}{c}2-1\\4-3\\6-5\end{array}}\right)\right|\\&={\sqrt {(2-1)^{2}+(4-3)^{2}+(6-5)^{2}}}\\&={\sqrt {(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}}\\&={\sqrt {3}}\end{aligned}}}
Topologie, Metrik, Normen
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Topologie: Teilgebiet der Mathematik -> ermöglicht intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“
topologische Räume werden definiert, in dem man beispielsweise Norm auf Grundräumen definiert
Topologie: Mengensystem
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
bestehend aus Teilmengen (offene Mengen) einer Grundmenge
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
für die, die Axiome
(T1)
∅
,
X
∈
T
{\displaystyle \emptyset {,}{\mathcal {X}}\in {\mathcal {T}}}
(T2)
U
∩
V
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\in {\mathcal {T}}}
für alle
U
,
V
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {U}}{,}{\mathcal {V}}\in {\mathcal {T}}}
(T3) Für eine beliebige Indexmenge
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
und
U
i
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}\in {\mathcal {T}}}
gilt für alle
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {i}}\in {\mathcal {I}}}
:
⋃
i
∈
I
U
i
∈
T
{\displaystyle \bigcup _{{\mathcal {i}}\in {\mathcal {I}}}{\mathcal {U}}_{i}\in {\mathcal {T}}}
Menge
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
mit Topologie
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
auf
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
: typologischer Raum
(
T
,
X
)
{\displaystyle \left({\mathcal {T}}{,}{\mathcal {X}}\right)}
Metrik
d
{\displaystyle {\mathcal {d}}}
: Zuordnung von Abstand
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})}
zwischen
x
,
y
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}}
zu Elementen
x
,
y
∈
X
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {X}}}
aus Grundraum
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
Definition:
Sei
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
beliebige Menge
Abbildung
d
:
X
×
X
→
R
{\displaystyle {\mathcal {d}}:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }
heißt Metrik auf
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
, wenn für beliebige Elemente
x
,
y
,
z
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}{,}{\mathcal {z}}}
von
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
folgende Axiome erfüllt sind:
(M1) Trennung:
d
(
x
,
y
)
=
0
⇔
x
=
y
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})=0\Leftrightarrow {\mathcal {x}}={\mathcal {y}}}
(M2) Symmetrie:
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})={\mathcal {d}}({\mathcal {y}}{,}{\mathcal {x}})}
(M3) Dreiecksungleichung:
d
(
x
,
y
)
≤
d
(
x
,
z
)
+
d
(
z
,
y
)
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})\leq {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {z}})+{\mathcal {d}}({\mathcal {z}}{,}{\mathcal {y}})}
Nichtnegativität:
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})\geq 0}
- Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
von einem Vektorraum
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
über einem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
der reellen oder komplexen Zahlen in
R
0
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}
- ordnet jedem Vektor
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
seine Länge
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
zu
Sei
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
ein
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-Vektorraum und
∥
⋅
∥:
V
→
R
0
+
,
x
↦∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel :{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}{,}{\mathcal {x}}\mapsto \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
heißt Norm, wenn Axiome (N1),(N2),(N3) erfüllt sind:
(N1) Definitheit:
∥
x
∥=
0
⇒
x
=
0
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel =0\Rightarrow {\mathcal {x}}=0}
für alle
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
(N2) absolute Homogenität:
∥
λ
⋅
x
∥=
|
λ
|
⋅
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \lambda \cdot {\mathcal {x}}\parallel =\left|\lambda \right|\cdot \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
für alle
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
und
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
(N3) Dreiecksungleichung:
∥
x
+
y
∥≤∥
x
∥
+
∥
y
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}+{\mathcal {y}}\parallel \leq \parallel {\mathcal {x}}\parallel +\parallel {\mathcal {y}}\parallel }
für alle
x
,
y
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {V}}}
normierter Raum / metrischer Raum: normierter Raum
(
V
,
∥
⋅
∥
)
{\displaystyle \left({\mathcal {V}}{,}\parallel \cdot \parallel \right)}
ist zugleich metrischer Raum
- Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
ordnet Vektor
v
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {v}}\in {\mathcal {V}}}
seine Vektorlänge
∥
v
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {v}}\parallel }
zu
- Mit der Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
kann man über
d
(
x
,
y
)
:=∥
x
−
y
∥
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}):=\parallel {\mathcal {x}}-{\mathcal {y}}\parallel }
eine Metrik definieren
Beispiele: Normen für Vektoren 1
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euklidische Norm (2-Norm):
Definition:
‖
⋅
‖
2
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
2
:=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
{\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{2}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}
beschreibt im
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
und
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
die Länge von Vektoren
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
2
=
(
2
)
2
+
(
3
)
2
+
(
4
)
2
=
29
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{2}={\sqrt {(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}={\sqrt {29}}}
Beispiele: Normen für Vektoren 2
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nicht verwendete Normen:
1-Norm:
Definition:
‖
⋅
‖
1
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
1
:=
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
⋯
+
|
x
n
|
{\displaystyle \|\cdot \|_{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\dotsb +\left|x_{n}\right|}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
1
=
|
2
|
+
|
3
|
+
|
4
|
=
9
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{1}=\left|2\right|+\left|3\right|+\left|4\right|=9}
Maximum-Norm:
Definition:
‖
⋅
‖
m
a
x
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
m
a
x
:=
m
a
x
{
|
x
1
|
,
|
x
2
|
,
⋯
,
|
x
n
|
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{max}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{max}:=max\{\left|x_{1}\right|{,}\left|x_{2}\right|{,}\dotsb {,}\left|x_{n}\right|\}}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
m
a
x
=
m
a
x
{
|
2
|
,
|
3
|
,
|
4
|
}
=
4
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{max}=max\{\left|2\right|{,}\left|3\right|{,}\left|4\right|\}=4}
benötigt um Kugeln der Epochen zu definieren
Darstellung: mit GeoGebra
Definition Kugel: Menge aller Punkte X des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kugel(fläche) k mit Mittelpunkt M und Radius r.
k
[
M
,
r
]
=
{
X
∈
R
3
;
X
M
¯
=
r
}
{\displaystyle k[M,r]=\{X\in \mathbb {R} ^{3};{\overline {XM}}=r\}}
Vektorform der Kugelgleichung:
(
X
−
M
)
2
=
r
2
{\displaystyle (X-M)^{2}=r^{2}}
Koordinatenform der Kugelgleichung für
X
=
(
x
y
z
)
{\displaystyle X=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)}
und
M
=
(
x
M
y
M
z
M
)
{\displaystyle M=\left({\begin{array}{c}x_{M}\\y_{M}\\z_{M}\end{array}}\right)}
:
(
x
−
x
M
)
2
+
(
y
−
y
M
)
2
+
(
z
−
z
M
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}+(z-z_{M})^{2}=r^{2}}
(ergibt sich aus Anwendung skalarer Multiplikation auf Vektorform)
Beispiel: Kugelgleichung
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M(2,3,4), r=5
Vektorform:
(
(
x
y
z
)
−
(
2
3
4
)
)
2
=
5
2
{\displaystyle \left(\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right)^{2}=5^{2}}
Koordinatenform:
(
x
−
2
)
2
+
(
y
−
3
)
2
+
(
z
−
4
)
2
=
5
2
{\displaystyle (x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(z-4)^{2}=5^{2}}
Modellierungszyklus 2
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mathematische Theorie des 2. Modellierungszyklus (Universitätsniveau)
vektorwertige Funktionen
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benötigt zum Aufstellen der Funktion f für die Zuordnung
Zielmenge
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
ist Vektorraum (
f
:
D
→
V
{\displaystyle f:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {V}}}
)
Struktur Definitionsmenge
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
nicht relevant
Bsp.:
f
:
R
→
R
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}
,
f
(
x
)
=
(
x
2
−
3
x
)
{\displaystyle f(x)=\left({\begin{array}{c}x^{2}\\-3x\end{array}}\right)}
Funktionen mehrerer Veränderlicher
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benötigt zur Bestimmung der Fehlerfunktion und für Berechnungen anhand dieser
Definitionsbereich
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
ist Teilmenge von
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
(n Veränderliche)
ordnet durch Funktion f n-Tupel aus
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
eine reelle Zahl zu
f
:
R
n
⊇
D
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\supseteq {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} }
Bsp.:
f
:
R
2
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
,
f
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
+
x
2
{\displaystyle f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}}
benötigt zur Berechnung des Fehlers der Funktion f, Aufstellen der Fehlerfunktion, Berechnung Vektorlänge Gradient
- Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
von einem Vektorraum
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
über einem Körper
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
der reellen oder komplexen Zahlen in
R
0
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}
- ordnet jedem Vektor
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
seine Länge
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
zu
Sei
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
ein
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
-Vektorraum und
∥
⋅
∥:
V
→
R
0
+
,
x
↦∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel :{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}{,}{\mathcal {x}}\mapsto \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
heißt Norm, wenn Axiome (N1),(N2),(N3) erfüllt sind:
(N1) Definitheit:
∥
x
∥=
0
⇒
x
=
0
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel =0\Rightarrow {\mathcal {x}}=0}
für alle
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
(N2) absolute Homogenität:
∥
λ
⋅
x
∥=
|
λ
|
⋅
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \lambda \cdot {\mathcal {x}}\parallel =\left|\lambda \right|\cdot \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
für alle
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
und
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
(N3) Dreiecksungleichung:
∥
x
+
y
∥≤∥
x
∥
+
∥
y
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}+{\mathcal {y}}\parallel \leq \parallel {\mathcal {x}}\parallel +\parallel {\mathcal {y}}\parallel }
für alle
x
,
y
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {V}}}
normierter Raum / metrischer Raum: normierter Raum
(
V
,
∥
⋅
∥
)
{\displaystyle \left({\mathcal {V}}{,}\parallel \cdot \parallel \right)}
ist zugleich metrischer Raum
- Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
ordnet Vektor
v
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {v}}\in {\mathcal {V}}}
seine Vektorlänge
∥
v
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {v}}\parallel }
zu
- Mit der Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
kann man über
d
(
x
,
y
)
:=∥
x
−
y
∥
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}):=\parallel {\mathcal {x}}-{\mathcal {y}}\parallel }
eine Metrik definieren
Beispiele: Normen für Vektoren 1
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euklidische Norm (2-Norm):
Definition:
‖
⋅
‖
2
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
2
:=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
{\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{2}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}
beschreibt im
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
und
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
die Länge von Vektoren
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
2
=
(
2
)
2
+
(
3
)
2
+
(
4
)
2
=
29
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{2}={\sqrt {(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}={\sqrt {29}}}
Beispiele: Normen für Vektoren 2
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nicht verwendete Normen:
1-Norm:
Definition:
‖
⋅
‖
1
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
1
:=
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
⋯
+
|
x
n
|
{\displaystyle \|\cdot \|_{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\dotsb +\left|x_{n}\right|}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
1
=
|
2
|
+
|
3
|
+
|
4
|
=
9
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{1}=\left|2\right|+\left|3\right|+\left|4\right|=9}
Definition:
‖
⋅
‖
m
a
x
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
m
a
x
:=
m
a
x
{
|
x
1
|
,
|
x
2
|
,
⋯
,
|
x
n
|
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{max}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{max}:=max\{\left|x_{1}\right|{,}\left|x_{2}\right|{,}\dotsb {,}\left|x_{n}\right|\}}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
m
a
x
=
m
a
x
{
|
2
|
,
|
3
|
,
|
4
|
}
=
4
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{max}=max\{\left|2\right|{,}\left|3\right|{,}\left|4\right|\}=4}
benötigt zur Berechnung des Fehlers von f, Aufstellen der Fehlerfunktion E zu f
beschäftigt sich mit dem Einfluss von Messfehlern (Abweichungen der Messwerte von wahren Werten) auf das Messergebnis
Bsp. anhand unserer Modellierung: Messfehler treten bei den Funktionswerten unserer Funktion f auf, da diese von den "perfekten" Zuordnungen abweichen.
quadratischer Fehler
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quadratische Differenz zwischen den berechneten Werten und den wahren Werten
F
(
t
i
)
=
(
|
(
f
(
t
i
)
−
z
(
t
i
)
)
|
)
2
{\displaystyle F(t_{i})=(\left|\left(f(t_{i})-z(t_{i})\right)\right|)^{2}}
Gesamtfehler durch Berechnung der Summe der quadratischen Differenzen zwischen den berechneten Werten und den wahren Werten
durch das Quadrieren: positiv und differenzierbar (-> Gradientenabstiegsverfahren)
Beispiel: quadratischer Fehler
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f
(
t
i
)
=
(
2
3
4
)
{\displaystyle f(t_{i})=\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)}
,
z
(
t
i
)
=
(
1
0
0
)
{\displaystyle z(t_{i})=\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)}
(
|
f
(
t
1
)
−
z
(
t
1
)
|
)
2
=
(
|
(
2
3
4
)
−
(
1
0
0
)
|
)
2
=
(
|
(
1
3
4
)
|
)
2
=
(
1
2
+
3
2
+
4
2
)
2
=
26
{\displaystyle {\begin{aligned}(\left|f(t_{1})-z(t_{1})\right|)^{2}&=\left(\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)\right|\right)^{2}\\&=\left(\left|\left({\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}}\right)\right|\right)^{2}\\&=\left({\sqrt {1^{2}+3^{2}+4^{2}}}\right)^{2}=26\end{aligned}}}
Funktion zur Bestimmung des Fehlers einer ursprünglichen Funktion f
Funktion bestehend aus der Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte von f und der wahren Werte (-> quadratischer Fehler)
feste Werte von f werden zu Variablen umgewandelt, damit diese Werte verbessert werden können (Fehler minimiert) -> Funktionswerte von f sollen dadurch so nah wie möglich an den wahren Werten liegen
Funktionswert von E abhängig von den festen Werten von f
Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate 1
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Verfahren zur Ausgleichsrechnung
Ausgleichsrechnung: math. Optimierungsmethode, um Parameter einer Funktion bestimmen, um diese Funktion bestmöglich an wahre Werte anzunähern
Bestimmen, ob die Funktion f ein guter Ersatz für eine Funktion ist, die die wahren Werte ausgibt.
Bestimmen der Summe der Fehlerquadrate (-> quadratischer Fehler) -> darstellbar durch Funktion F
je kleiner Summe der Fehlerquadrate, desto besser Funktion f zum approximieren der wahren Werte
Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate 2
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Fehlerquadrate zeigen den Abstand des wahren Wertes vom Funktionswert f (euklidische Norm/Länge eines Vektors) -> je kürzer Fehlervektor, desto besser ist Funktion f
‖
(
f
(
t
i
)
−
z
(
t
i
)
)
‖
2
=
∑
i
=
1
n
|
f
(
t
i
)
−
z
(
t
i
)
|
2
{\displaystyle \|(f(t_{i})-z(t_{i}))\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|f(t_{i})-z(t_{i})|^{2}}}}
Ziel: Erstellen eines Fehlervektors mit der Länge 0
Idee: Verwendung der Differentialrechnung auf von Parametern abhängige Fehlerfunktion E (gibt Fehler der Funktion aus) um Fehlerquadrate zu minimieren
-> finden des Minimums der Funktion E
Gradientenabstiegsverfahren
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benötigt zur Optimierung der Funktion f (Minimierung des Fehlers)
Verfahren, um Optimierungsprobleme zu lösen
hier: Verfahren zum Finden des Minimums einer Funktion mehrerer Veränderlicher (mehrdimensional)
Gradientenabstiegsverfahren allgemein
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Einsetzbarkeit: zur Minimierung einer reellwertigen, differenzierbaren Funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
Optimierungsproblem:
m
i
n
x
∈
R
n
f
(
x
)
{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} ^{n}}{\rm {min}}}\ f(x)}
sehr langsame Konvergenz
negativer Gradient zeigt in Richtung stärkster Abfall der Funktionswerte von f
Annäherung an das Minimum in Schritten (Schrittweite wird festgelegt und muss bei Überspringen des Minimums möglicherweise verkleinert werden)
Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 1
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Abbruchbedingung: durch Iterationsschritte wird Stelle gefunden, an der der Gradient von f der Nullvektor ist
Gradient ist nicht Nullvektor: Normierung des Gradienten auf Länge 1, multiplizieren mit Schrittweite αj
halbieren der Schrittweite, wenn nach dem Iterationsschritt Funktionswert nicht minimiert wird
Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 2
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Start : Auswählen einer Stelle x(0) aus Definitionsbereich von f, für die das Minimum angenähert werden soll
Richtung des steilsten Abstiegs : bestimmt durch
−
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
∈
R
n
{\displaystyle -Grad\left(f(x^{(j)})\right)\in \mathbb {R} ^{n}}
(negativer Gradient von f an Stelle x)
-> stellt Richtungsvektor dar, der in Richtung des steilsten Abfalls zeigt -> in diese Richtung müssen Variablen verändert werden
falls
−
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
=
0
{\displaystyle -Grad\left(f(x^{(j)})\right)=0}
Abbruch des Verfahren (lokales Minimum gefunden)
Normierung des Richtungsvektors : durch
d
(
j
)
=
−
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
‖
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
‖
:
{\displaystyle d^{(j)}=-{\frac {Grad\left(f(x^{(j)})\right)}{\left\|Grad\left(f(x^{(j)})\right)\right\|}}:}
mit der euklidischen Norm
‖
x
‖
:=
‖
(
x
1
,
…
,
x
n
)
‖
:=
∑
k
=
1
n
x
k
2
{\displaystyle \|x\|:=\|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|:={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}}
-> der Richtungsvektor erhält dadurch die Länge 1
Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 3
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Veränderung der x-Werte :
x
(
j
+
1
)
=
{
x
(
j
)
+
α
(
j
)
d
(
j
)
,
wenn
f
(
x
(
j
)
+
α
(
j
)
d
(
j
)
)
<
f
(
x
(
j
)
)
(Verbesserung)
x
(
j
)
,
sonst
{\displaystyle x^{(j+1)}={\begin{cases}x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)},&{\text{wenn }}f(x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)})<f(x^{(j)}){\text{ }}{\text{ (Verbesserung) }}\\x^{(j)},&{\text{sonst }}\end{cases}}}
falls keine Optimierung des Funktionswertes durch Addition der x(j) mit der Schrittweite multipliziert mit dem normierten Richtungsvektor entstanden ist: bleibt x(j) im nächsten Iterationsschritt gleich, ansonsten wird x(j) mit der Schrittweite multipliziert mit dem normierten Richtungsvektor addiert und bildet dadurch x(j+1)
Vorgehen Gradientenabstiegsverfahren 4
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Festlegen der Schrittweite : Verwendung der anfangs gewählten Schrittweite αj bis keine Optimierung des Funktionswertes mehr durch den Iterationsschritt entsteht -> dann Halbierung αj
α
(
j
+
1
)
=
{
α
(
j
)
,
wenn
f
(
x
(
j
)
+
α
(
j
)
d
(
j
)
)
<
f
(
x
(
j
)
)
(Verbesserung)
α
(
j
)
2
,
sonst
{\displaystyle \alpha ^{(j+1)}={\begin{cases}\alpha ^{(j)},&{\text{wenn }}f(x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)})<f(x^{(j)}){\text{ (Verbesserung) }}\\{\frac {\alpha ^{(j)}}{2}},&{\text{sonst }}\end{cases}}}
(könnte auch anstatt einer Halbierung durch Multiplikation mit einem festgelegten Faktor
δ
{\displaystyle \delta }
(
0
<
δ
<
1
{\displaystyle 0<\delta <1}
) verändert werden)
Differentialrechnung
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Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen
1.Ableitung: gibt Steigung der Funktion an
Ableitung der Funktion (entspricht Tangentensteigung im Punkt)
Anwendung: Bestimmen von Extremwerten
Bsp.:
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x}
f
′
(
x
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle f'(x)=2x+3}
Faktorregel:
f
(
x
)
=
c
∗
g
(
x
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
c
∗
g
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=c*g(x)-->f'(x)=c*g'(x)}
Bsp.:
f
(
x
)
=
2
∗
x
3
−
−
>
f
′
(
x
)
=
6
∗
x
2
{\displaystyle f(x)=2*x^{3}-->f'(x)=6*x^{2}}
Produktregel :
f
(
x
)
=
g
(
x
)
∗
h
(
x
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
∗
h
(
x
)
+
g
(
x
)
∗
h
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)*h(x)-->f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)}
Bsp.:
f
(
x
)
=
x
3
∗
x
5
−
−
>
f
′
(
x
)
=
3
x
2
∗
x
5
+
x
3
∗
5
x
4
=
3
x
7
+
5
∗
x
7
=
8
∗
x
7
{\displaystyle f(x)=x^{3}*x^{5}-->f'(x)=3x^{2}*x^{5}+x^{3}*5x^{4}=3x^{7}+5*x^{7}=8*x^{7}}
Quotientenregel :
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
h
(
x
)
∗
g
′
(
x
)
−
g
(
x
)
∗
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}-->f'(x)={\frac {h(x)*g'(x)-g(x)*h'(x)}{{h(x)}^{2}}}}
Bsp.:
f
(
x
)
=
x
3
x
5
−
−
>
f
′
(
x
)
=
x
5
∗
3
∗
x
2
−
x
3
∗
5
∗
x
4
(
x
5
)
2
=
3
∗
x
7
−
5
∗
x
7
x
10
=
−
2
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}}{x^{5}}}-->f'(x)={\frac {x^{5}*3*x^{2}-x^{3}*5*x^{4}}{(x^{5})^{2}}}={\frac {3*x^{7}-5*x^{7}}{x^{10}}}=-2x^{-3}}
Kettenregel :
f
(
x
)
=
g
(
h
(
x
)
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
g
′
(
h
(
x
)
)
∗
h
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(h(x))-->f'(x)=g'(h(x))*h'(x)}
Bsp.:
f
(
x
)
=
(
x
4
+
5
)
2
−
−
>
f
′
(
x
)
=
2
∗
(
x
4
+
5
)
∗
4
∗
x
3
{\displaystyle f(x)=(x^{4}+5)^{2}-->f'(x)=2*(x^{4}+5)*4*x^{3}}
partielle Ableitung 1
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Ableitung Funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
, die von mehreren Veränderlichen abhängt
"Festhalten" aller Veränderlicher bis auf eine Veränderliche xi
-> Entstehung Funktion, die nur von einer Veränderlichen xi abhängt
Berechnung der Ableitung nach xi , andere Veränderliche werden wie Konstanten behandelt
partielle Ableitung 2
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Bezeichnungen:
d
f
d
x
i
=
D
i
f
=
f
x
i
=
δ
i
f
{\displaystyle {\frac {df}{dx_{i}}}={\mathcal {D}}_{i}f=f_{x_{i}}=\delta _{i}f}
n Ableitungen pro Funktion möglich
-> "gesammelt" in einem Vektor: Gradient von f
grad
(
f
)
=
∇
(
f
)
=
(
d
f
d
x
1
,
…
,
d
f
d
x
n
)
T
=
(
D
1
f
,
…
,
D
n
f
)
T
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla (f)=\left({\frac {df}{dx_{1}}}{,}\ldots {,}{\frac {df}{dx_{n}}}\right)^{T}=\left({\mathcal {D}}_{1}f{,}\ldots {,}{\mathcal {D}}_{n}f\right)^{T}}
Beispiel: partielle Ableitung
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f
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
+
2
x
1
x
2
{\displaystyle f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}}
(
δ
1
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
1
=
2
x
1
+
2
x
2
{\displaystyle (\delta _{1}f)(x)={\frac {df}{dx_{1}}}=2x_{1}+2x_{2}}
(
δ
2
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
2
=
2
x
1
{\displaystyle (\delta _{2}f)(x)={\frac {df}{dx_{2}}}=2x_{1}}
Spaltenvektor, der alle partiellen Ableitungen einer Funktion f mit mehreren Veränderlichen enthält
grad
(
f
)
=
∇
(
f
)
=
(
∂
f
∂
x
1
⋮
∂
f
∂
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla (f)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial a_{n}}}\end{pmatrix}}}
an Stelle x0 :
grad
(
f
)
(
x
0
)
=
∇
(
f
)
(
x
0
)
=
(
∂
f
∂
x
1
(
x
0
)
⋮
∂
f
∂
x
n
(
x
0
)
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)(x_{0})=\nabla (f)(x_{0})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x_{0})\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x_{0})\end{pmatrix}}}
zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs
f
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
+
2
x
1
x
2
{\displaystyle f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}}
(
δ
1
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
1
=
2
x
1
+
2
x
2
{\displaystyle (\delta _{1}f)(x)={\frac {df}{dx_{1}}}=2x_{1}+2x_{2}}
(
δ
2
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
2
=
2
x
1
{\displaystyle (\delta _{2}f)(x)={\frac {df}{dx_{2}}}=2x_{1}}
grad
(
f
)
(
x
)
=
∇
(
f
)
(
x
)
=
(
2
x
1
+
2
x
2
2
x
1
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)(x)=\nabla (f)(x)={\begin{pmatrix}2x_{1}+2x_{2}\\2x_{1}\end{pmatrix}}}
Stelle
x
0
=
(
2
,
3
)
{\displaystyle x_{0}=(2,3)}
grad
(
f
)
(
2
,
3
)
=
∇
(
f
)
(
2
,
3
)
=
(
2
⋅
2
+
2
⋅
3
2
⋅
2
)
=
(
10
4
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)(2,3)=\nabla (f)(2,3)={\begin{pmatrix}2\cdot 2+2\cdot 3\\2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}}}