mathematische Theorie des 1. Modellierungszyklus (Sek I und Sek II)
benötigt um Durchschnittspunkte der Epochen zu bestimmen
durchgeführt mit Tabellenkalkulationsprogramm gibt Zentrum einer Verteilung an ("Mittelpunkt der Messwerte")
keine Auskunft über Streuung der Werte für eine Zahlenmenge
A
=
{
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
}
{\displaystyle A=\{a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\}}
x
¯
=
{
a
1
+
a
2
+
…
+
a
n
}
n
=
1
n
⋅
∑
k
=
1
n
a
k
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\{a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}\}}{n}}={\frac {1}{n}}\cdot \sum _{k=1}^{n}a_{k}}
Bsp.:
A
=
{
2
,
3
,
6
,
7
}
{\displaystyle A=\{2,3,6,7\}}
x
¯
=
2
+
3
+
6
+
7
4
=
9
2
{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {2+3+6+7}{4}}={\frac {9}{2}}}
benötigt um Merkmale der Gedichte in Tabelle darzustellen
A
n
t
e
i
l
=
B
r
u
c
h
t
e
i
l
G
a
n
z
e
s
{\displaystyle Anteil={\frac {Bruchteil}{Ganzes}}}
Bsp.: 5 von 14
=
5
14
{\displaystyle ={\frac {5}{14}}}
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benötigt um prozentuale Angaben in Tabelle zu erstellen Prozent: von Hundert
Prozente: Brüche, die im Nenner den Wert 100 haben
Bruch in Prozentschreibweise bringen: Nenner auf 100 kürzen/erweitern oder Zehntel- und Hundertstelstelle als Prozentzahl verwenden
Bsp. 1:
4
20
=
20
100
=
20
%
{\displaystyle {\frac {4}{20}}={\frac {20}{100}}=20\%}
Bsp. 2:
2
:
7
≈
0,285
714
≈
0
,
29
≈
29
%
{\displaystyle 2:7\approx 0{,}285714\approx 0{,}29\approx 29\%}
benötigt um Punkte der Gedichte darzustellen, spätere Berechnung Abstände im ℝ3
Darstellung: mit GeoGebra Koordinatensystem im euklidischen Raum ℝ3 : System von 3 skalierten Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt (Ursprung O) verlaufen und nicht in einer Ebene liegen
kartesisches Koordinatensystem: Achsen bilden jeweils rechte Winkel (Renè Descartes) bzw. gebildet durch 3 paarweise zueinander orthogonalen Vektoren Punkt im Raum: eineindeutiges Zahlentripel (x,y,z)
Elemente x,y,z: Koordinaten des Punktes
im Raum: Punkt P hat eineindeutigen Ortsvektor
O
P
=
x
e
1
+
y
e
2
+
z
e
3
{\displaystyle OP=xe_{1}+ye_{2}+ze_{3}}
1 ,e3 ,e3 Einheitsvektoren) benötigt um Punkte der Gedichte darzustellen, spätere Berechnung Abstände im ℝ3
Darstellung: mit GeoGebra Bsp.: Punkt P(3,4,5) -> von Ursprung drei Einheiten in Richtung positiver x-Achse, vier Einheiten in Richtung positiver y-Achse und 5 Einheiten in Richtung positiver z-Achse benötigt um Radius Kugeln zu bestimmen, Testgedichte zu Epochen zuzuordnen
Darstellung: mit GeoGebra Quader zur Berechnung der Abstände zweier Punkte im Raum gesucht: Abstand P(p1 ,p2 ,p3 ) und Q(q1 ,q2 ,q3 ) im Raum
P,Q als Eckpunkte eines achsenparallelen Quaders im kartesischen Koordinatensystem
Abstand PQ entspricht Raumdiagonale Quader Quader zur Berechnung der Abstände zweier Punkte im Raum Kantenlängen des Quaders entsprechen Betrag der Differenz der Koordinaten
|
P
A
→
|
=
a
1
=
q
1
−
p
1
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PA}}\right|=a_{1}=q_{1}-p_{1}}
|
A
B
→
|
=
a
2
=
q
2
−
p
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|=a_{2}=q_{2}-p_{2}}
|
B
Q
→
|
=
a
3
=
q
3
−
p
3
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {BQ}}\right|=a_{3}=q_{3}-p_{3}}
alle Kanten Quader orthogonal zueinander (,da achsenparallel)
⇒
{\displaystyle \Rightarrow }
Satz des Pythagoras zur Berechnung
|
d
|
{\displaystyle \left|d\right|}
|
P
Q
→
|
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|}
|
P
Q
→
|
2
=
d
2
+
a
3
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=d^{2}+a_{3}^{2}}
d
2
=
a
1
2
+
a
2
2
{\displaystyle d^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}
durch Einsetzen der zweiten in die erste Gleichung erhält man:
|
P
Q
→
|
2
=
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
=
(
q
1
−
p
1
)
2
+
(
q
2
−
p
2
)
2
+
(
q
3
−
p
3
)
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}
⇒
|
P
Q
→
|
=
(
q
1
−
p
1
)
2
+
(
q
2
−
p
2
)
2
+
(
q
3
−
p
3
)
2
{\displaystyle \Rightarrow \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}}
wegen Quadrieren auch Reihenfolge
(
p
1
−
q
1
)
2
{\displaystyle (p_{1}-q_{1})^{2}}
in Formel werden die Koordinaten des Verbindungsvektors
P
Q
→
=
q
→
−
p
→
=
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}={\overrightarrow {q}}-{\overrightarrow {p}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)}
Bearbeiten
Bsp.: P(1,2,3), Q(6,7,8)
dann: A(6,2,3), B(6,7,3)
|
P
A
→
|
=
a
1
=
q
1
−
p
1
=
6
−
1
=
5
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PA}}\right|=a_{1}=q_{1}-p_{1}=6-1=5}
|
A
B
→
|
=
a
2
=
q
2
−
p
2
=
7
−
2
=
5
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {AB}}\right|=a_{2}=q_{2}-p_{2}=7-2=5}
|
B
Q
→
|
=
a
3
=
q
3
−
p
3
=
8
−
3
=
5
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {BQ}}\right|=a_{3}=q_{3}-p_{3}=8-3=5}
|
P
Q
→
|
2
=
a
1
2
+
a
2
2
+
a
3
2
=
(
5
)
2
+
(
5
)
2
+
(
5
)
2
=
75
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|^{2}=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}=(5)^{2}+(5)^{2}+(5)^{2}=75}
⇒
|
P
Q
→
|
=
(
5
)
2
+
(
5
)
2
+
(
5
)
2
=
75
{\displaystyle \Rightarrow \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|={\sqrt {(5)^{2}+(5)^{2}+(5)^{2}}}={\sqrt {75}}}
Satz des Pythagoras rechtwinkligen Dreiecken: Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate gleich dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrates
c
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}
Berechnung von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck
z.B.
c
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
a=3 b=4
c
2
=
a
2
+
b
2
=
3
2
+
4
2
=
25
⇒
c
=
a
2
+
b
2
=
3
2
+
4
2
=
25
=
5
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}=3^{2}+4^{2}=25\Rightarrow c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}={\sqrt {3^{2}+4^{2}}}={\sqrt {25}}=5}
Vektor: eine Größe, zu deren vollständiger Beschreibung neben einer Zahl die Angabe einer Richtung erforderlich ist.
Ortsvektor
O
A
→
{\displaystyle {\overrightarrow {OA}}}
⇒
O
A
→
=
(
x
y
z
)
{\displaystyle \Rightarrow {\overrightarrow {OA}}=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)}
Verbindungsvektor: Vektor, der 2 Punkte P,Q verbindet
Koordinaten des Verbindungsvektors
P
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}
P(p1 ,p2 ,p3 ), Q(q1 ,q2 ,q3 )
P
Q
→
=
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)}
Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung
Bearbeiten
Länge des Verbindungsvektors zweier Punkte: Abstand der Punkte
Länge Verbindungsvektor durch Betrag Verbindungsvektor (Norm des Verbindungsvektor)
|
A
→
|
=
|
(
x
A
y
A
z
A
)
|
=
(
x
A
)
2
+
(
y
A
)
2
+
(
z
A
)
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {A}}\right|=\left|\left({\begin{array}{c}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{array}}\right)\right|={\sqrt {(x_{A})^{2}+(y_{A})^{2}+(z_{A})^{2}}}}
|
P
Q
→
|
=
|
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
|
=
(
q
1
−
p
1
)
2
+
(
q
2
−
p
2
)
2
+
(
q
3
−
p
3
)
2
{\displaystyle \left|{\overrightarrow {PQ}}\right|=\left|\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)\right|={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}+(q_{3}-p_{3})^{2}}}}
3 , Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung 1
Bearbeiten
P(1,3,5)
⇒
O
P
→
=
(
1
3
5
)
{\displaystyle \Rightarrow {\overrightarrow {OP}}=\left({\begin{array}{c}1\\3\\5\end{array}}\right)}
Koordinaten Verbindungsvektor
P
Q
→
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}}
P(1,3,5), Q(2,4,6)
P
Q
→
=
(
q
1
−
p
1
q
2
−
p
2
q
3
−
p
3
)
=
(
2
−
1
4
−
3
6
−
5
)
=
(
1
1
1
)
{\displaystyle {\overrightarrow {PQ}}=\left({\begin{array}{c}q_{1}-p_{1}\\q_{2}-p_{2}\\q_{3}-p_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}2-1\\4-3\\6-5\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}}\right)}
3 , Abstandsberechnung mithilfe von Vektorrechnung 2
Bearbeiten
Länge Verbindungsvektor durch Betrag Verbindungsvektor (Norm des Verbindungsvektor)
P(1,3,5), Q(2,4,6)
|
P
Q
→
|
=
|
(
2
−
1
4
−
3
6
−
5
)
|
=
(
2
−
1
)
2
+
(
4
−
3
)
2
+
(
6
−
5
)
2
=
(
1
)
2
+
(
1
)
2
+
(
1
)
2
=
3
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|{\overrightarrow {PQ}}\right|&=\left|\left({\begin{array}{c}2-1\\4-3\\6-5\end{array}}\right)\right|\\&={\sqrt {(2-1)^{2}+(4-3)^{2}+(6-5)^{2}}}\\&={\sqrt {(1)^{2}+(1)^{2}+(1)^{2}}}\\&={\sqrt {3}}\end{aligned}}}
Topologie: Teilgebiet der Mathematik -> ermöglicht intuitive Lagebeziehungen wie „Nähe“
topologische Räume werden definiert, in dem man beispielsweise Norm auf Grundräumen definiert
Topologie: Mengensystem
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
(T1)
∅
,
X
∈
T
{\displaystyle \emptyset {,}{\mathcal {X}}\in {\mathcal {T}}}
(T2)
U
∩
V
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {U}}\cap {\mathcal {V}}\in {\mathcal {T}}}
U
,
V
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {U}}{,}{\mathcal {V}}\in {\mathcal {T}}}
(T3) Für eine beliebige Indexmenge
I
{\displaystyle {\mathcal {I}}}
U
i
∈
T
{\displaystyle {\mathcal {U}}_{i}\in {\mathcal {T}}}
i
∈
I
{\displaystyle {\mathcal {i}}\in {\mathcal {I}}}
⋃
i
∈
I
U
i
∈
T
{\displaystyle \bigcup _{{\mathcal {i}}\in {\mathcal {I}}}{\mathcal {U}}_{i}\in {\mathcal {T}}}
Menge
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
T
{\displaystyle {\mathcal {T}}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
(
T
,
X
)
{\displaystyle \left({\mathcal {T}}{,}{\mathcal {X}}\right)}
Metrik
d
{\displaystyle {\mathcal {d}}}
d
(
x
,
y
)
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})}
x
,
y
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}}
x
,
y
∈
X
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {X}}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
Definition: Sei
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
Abbildung
d
:
X
×
X
→
R
{\displaystyle {\mathcal {d}}:{\mathcal {X}}\times {\mathcal {X}}\to \mathbb {R} }
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
x
,
y
,
z
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}{,}{\mathcal {z}}}
X
{\displaystyle {\mathcal {X}}}
(M1) Trennung:
d
(
x
,
y
)
=
0
⇔
x
=
y
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})=0\Leftrightarrow {\mathcal {x}}={\mathcal {y}}}
(M2) Symmetrie:
d
(
x
,
y
)
=
d
(
y
,
x
)
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})={\mathcal {d}}({\mathcal {y}}{,}{\mathcal {x}})}
(M3) Dreiecksungleichung:
d
(
x
,
y
)
≤
d
(
x
,
z
)
+
d
(
z
,
y
)
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})\leq {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {z}})+{\mathcal {d}}({\mathcal {z}}{,}{\mathcal {y}})}
Nichtnegativität:
d
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}})\geq 0}
- Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
R
0
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}
- ordnet jedem Vektor
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
Sei
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
∥
⋅
∥:
V
→
R
0
+
,
x
↦∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel :{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}{,}{\mathcal {x}}\mapsto \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
(N1) Definitheit:
∥
x
∥=
0
⇒
x
=
0
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel =0\Rightarrow {\mathcal {x}}=0}
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
(N2) absolute Homogenität:
∥
λ
⋅
x
∥=
|
λ
|
⋅
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \lambda \cdot {\mathcal {x}}\parallel =\left|\lambda \right|\cdot \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
(N3) Dreiecksungleichung:
∥
x
+
y
∥≤∥
x
∥
+
∥
y
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}+{\mathcal {y}}\parallel \leq \parallel {\mathcal {x}}\parallel +\parallel {\mathcal {y}}\parallel }
x
,
y
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {V}}}
normierter Raum / metrischer Raum: normierter Raum
(
V
,
∥
⋅
∥
)
{\displaystyle \left({\mathcal {V}}{,}\parallel \cdot \parallel \right)}
- Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
v
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {v}}\in {\mathcal {V}}}
∥
v
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {v}}\parallel }
- Mit der Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
d
(
x
,
y
)
:=∥
x
−
y
∥
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}):=\parallel {\mathcal {x}}-{\mathcal {y}}\parallel }
euklidische Norm (2-Norm):
Definition:
‖
⋅
‖
2
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
2
:=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
{\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{2}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}
beschreibt im
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
2
=
(
2
)
2
+
(
3
)
2
+
(
4
)
2
=
29
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{2}={\sqrt {(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}={\sqrt {29}}}
nicht verwendete Normen:
1-Norm:
Definition:
‖
⋅
‖
1
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
1
:=
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
⋯
+
|
x
n
|
{\displaystyle \|\cdot \|_{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\dotsb +\left|x_{n}\right|}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
1
=
|
2
|
+
|
3
|
+
|
4
|
=
9
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{1}=\left|2\right|+\left|3\right|+\left|4\right|=9}
Maximum-Norm:
Definition:
‖
⋅
‖
m
a
x
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
m
a
x
:=
m
a
x
{
|
x
1
|
,
|
x
2
|
,
⋯
,
|
x
n
|
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{max}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{max}:=max\{\left|x_{1}\right|{,}\left|x_{2}\right|{,}\dotsb {,}\left|x_{n}\right|\}}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
m
a
x
=
m
a
x
{
|
2
|
,
|
3
|
,
|
4
|
}
=
4
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{max}=max\{\left|2\right|{,}\left|3\right|{,}\left|4\right|\}=4}
benötigt um Kugeln der Epochen zu definieren
Darstellung: mit GeoGebra Definition Kugel: Menge aller Punkte X des Raumes, die von einem gegebenen Punkt M den Abstand r haben, ist die Kugel(fläche) k mit Mittelpunkt M und Radius r.
k
[
M
,
r
]
=
{
X
∈
R
3
;
X
M
¯
=
r
}
{\displaystyle k[M,r]=\{X\in \mathbb {R} ^{3};{\overline {XM}}=r\}}
Vektorform der Kugelgleichung:
(
X
−
M
)
2
=
r
2
{\displaystyle (X-M)^{2}=r^{2}}
Koordinatenform der Kugelgleichung für
X
=
(
x
y
z
)
{\displaystyle X=\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)}
M
=
(
x
M
y
M
z
M
)
{\displaystyle M=\left({\begin{array}{c}x_{M}\\y_{M}\\z_{M}\end{array}}\right)}
(
x
−
x
M
)
2
+
(
y
−
y
M
)
2
+
(
z
−
z
M
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}+(z-z_{M})^{2}=r^{2}}
(ergibt sich aus Anwendung skalarer Multiplikation auf Vektorform)
M(2,3,4), r=5
Vektorform:
(
(
x
y
z
)
−
(
2
3
4
)
)
2
=
5
2
{\displaystyle \left(\left({\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right)^{2}=5^{2}}
Koordinatenform:
(
x
−
2
)
2
+
(
y
−
3
)
2
+
(
z
−
4
)
2
=
5
2
{\displaystyle (x-2)^{2}+(y-3)^{2}+(z-4)^{2}=5^{2}}
mathematische Theorie des 2. Modellierungszyklus (Universitätsniveau)
benötigt zum Aufstellen der Funktion f für die Zuordnung Zielmenge
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
f
:
D
→
V
{\displaystyle f:{\mathcal {D}}\to {\mathcal {V}}}
Struktur Definitionsmenge
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
Bsp.:
f
:
R
→
R
2
{\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}
f
(
x
)
=
(
x
2
−
3
x
)
{\displaystyle f(x)=\left({\begin{array}{c}x^{2}\\-3x\end{array}}\right)}
benötigt zur Bestimmung der Fehlerfunktion und für Berechnungen anhand dieser
Definitionsbereich
D
{\displaystyle {\mathcal {D}}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
ordnet durch Funktion f n-Tupel aus
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
f
:
R
n
⊇
D
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\supseteq {\mathcal {D}}\to \mathbb {R} }
Bsp.:
f
:
R
2
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} }
f
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
+
x
2
{\displaystyle f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+x_{2}}
benötigt zur Berechnung des Fehlers der Funktion f, Aufstellen der Fehlerfunktion, Berechnung Vektorlänge Gradient - Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
R
0
+
{\displaystyle \mathbb {R} _{0}^{+}}
- ordnet jedem Vektor
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
Sei
V
{\displaystyle {\mathcal {V}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
∥
⋅
∥:
V
→
R
0
+
,
x
↦∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel :{\mathcal {V}}\to \mathbb {R} _{0}^{+}{,}{\mathcal {x}}\mapsto \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
Abbildung
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
(N1) Definitheit:
∥
x
∥=
0
⇒
x
=
0
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}\parallel =0\Rightarrow {\mathcal {x}}=0}
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
(N2) absolute Homogenität:
∥
λ
⋅
x
∥=
|
λ
|
⋅
∥
x
∥
{\displaystyle \parallel \lambda \cdot {\mathcal {x}}\parallel =\left|\lambda \right|\cdot \parallel {\mathcal {x}}\parallel }
x
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}\in {\mathcal {V}}}
λ
∈
K
{\displaystyle \lambda \in \mathbb {K} }
(N3) Dreiecksungleichung:
∥
x
+
y
∥≤∥
x
∥
+
∥
y
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {x}}+{\mathcal {y}}\parallel \leq \parallel {\mathcal {x}}\parallel +\parallel {\mathcal {y}}\parallel }
x
,
y
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}\in {\mathcal {V}}}
normierter Raum / metrischer Raum: normierter Raum
(
V
,
∥
⋅
∥
)
{\displaystyle \left({\mathcal {V}}{,}\parallel \cdot \parallel \right)}
- Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
v
∈
V
{\displaystyle {\mathcal {v}}\in {\mathcal {V}}}
∥
v
∥
{\displaystyle \parallel {\mathcal {v}}\parallel }
- Mit der Norm
∥
⋅
∥
{\displaystyle \parallel \cdot \parallel }
d
(
x
,
y
)
:=∥
x
−
y
∥
{\displaystyle {\mathcal {d}}({\mathcal {x}}{,}{\mathcal {y}}):=\parallel {\mathcal {x}}-{\mathcal {y}}\parallel }
euklidische Norm (2-Norm): Definition:
‖
⋅
‖
2
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
2
:=
∑
i
=
1
n
|
x
i
|
2
{\displaystyle \|\cdot \|_{2}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{2}:={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}
beschreibt im
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
2
=
(
2
)
2
+
(
3
)
2
+
(
4
)
2
=
29
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{2}={\sqrt {(2)^{2}+(3)^{2}+(4)^{2}}}={\sqrt {29}}}
nicht verwendete Normen: 1-Norm: Definition:
‖
⋅
‖
1
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
1
:=
|
x
1
|
+
|
x
2
|
+
⋯
+
|
x
n
|
{\displaystyle \|\cdot \|_{1}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{1}:=\left|x_{1}\right|+\left|x_{2}\right|+\dotsb +\left|x_{n}\right|}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
1
=
|
2
|
+
|
3
|
+
|
4
|
=
9
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{1}=\left|2\right|+\left|3\right|+\left|4\right|=9}
Definition:
‖
⋅
‖
m
a
x
:
R
n
→
R
,
‖
x
‖
m
a
x
:=
m
a
x
{
|
x
1
|
,
|
x
2
|
,
⋯
,
|
x
n
|
}
{\displaystyle \|\cdot \|_{max}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} {,}\|x\|_{max}:=max\{\left|x_{1}\right|{,}\left|x_{2}\right|{,}\dotsb {,}\left|x_{n}\right|\}}
Bsp.:
|
(
2
3
4
)
|
m
a
x
=
m
a
x
{
|
2
|
,
|
3
|
,
|
4
|
}
=
4
{\displaystyle \left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)\right|_{max}=max\{\left|2\right|{,}\left|3\right|{,}\left|4\right|\}=4}
benötigt zur Berechnung des Fehlers von f, Aufstellen der Fehlerfunktion E zu f
beschäftigt sich mit dem Einfluss von Messfehlern (Abweichungen der Messwerte von wahren Werten) auf das Messergebnis
Bsp. anhand unserer Modellierung: Messfehler treten bei den Funktionswerten unserer Funktion f auf, da diese von den "perfekten" Zuordnungen abweichen. quadratische Differenz zwischen den berechneten Werten und den wahren Werten
F
(
t
i
)
=
(
|
(
f
(
t
i
)
−
z
(
t
i
)
)
|
)
2
{\displaystyle F(t_{i})=(\left|\left(f(t_{i})-z(t_{i})\right)\right|)^{2}}
Gesamtfehler durch Berechnung der Summe der quadratischen Differenzen zwischen den berechneten Werten und den wahren Werten
durch das Quadrieren: positiv und differenzierbar (-> Gradientenabstiegsverfahren)
f
(
t
i
)
=
(
2
3
4
)
{\displaystyle f(t_{i})=\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)}
z
(
t
i
)
=
(
1
0
0
)
{\displaystyle z(t_{i})=\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)}
(
|
f
(
t
1
)
−
z
(
t
1
)
|
)
2
=
(
|
(
2
3
4
)
−
(
1
0
0
)
|
)
2
=
(
|
(
1
3
4
)
|
)
2
=
(
1
2
+
3
2
+
4
2
)
2
=
26
{\displaystyle {\begin{aligned}(\left|f(t_{1})-z(t_{1})\right|)^{2}&=\left(\left|\left({\begin{array}{c}2\\3\\4\end{array}}\right)-\left({\begin{array}{c}1\\0\\0\end{array}}\right)\right|\right)^{2}\\&=\left(\left|\left({\begin{array}{c}1\\3\\4\end{array}}\right)\right|\right)^{2}\\&=\left({\sqrt {1^{2}+3^{2}+4^{2}}}\right)^{2}=26\end{aligned}}}
Funktion zur Bestimmung des Fehlers einer ursprünglichen Funktion f
Funktion bestehend aus der Summe der quadrierten Differenzen der Funktionswerte von f und der wahren Werte (-> quadratischer Fehler)
feste Werte von f werden zu Variablen umgewandelt, damit diese Werte verbessert werden können (Fehler minimiert) -> Funktionswerte von f sollen dadurch so nah wie möglich an den wahren Werten liegen
Funktionswert von E abhängig von den festen Werten von f Verfahren zur Ausgleichsrechnung
Ausgleichsrechnung: math. Optimierungsmethode, um Parameter einer Funktion bestimmen, um diese Funktion bestmöglich an wahre Werte anzunähern
Bestimmen, ob die Funktion f ein guter Ersatz für eine Funktion ist, die die wahren Werte ausgibt.
Bestimmen der Summe der Fehlerquadrate (-> quadratischer Fehler) -> darstellbar durch Funktion F
je kleiner Summe der Fehlerquadrate, desto besser Funktion f zum approximieren der wahren Werte Fehlerquadrate zeigen den Abstand des wahren Wertes vom Funktionswert f (euklidische Norm/Länge eines Vektors) -> je kürzer Fehlervektor, desto besser ist Funktion f
‖
(
f
(
t
i
)
−
z
(
t
i
)
)
‖
2
=
∑
i
=
1
n
|
f
(
t
i
)
−
z
(
t
i
)
|
2
{\displaystyle \|(f(t_{i})-z(t_{i}))\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|f(t_{i})-z(t_{i})|^{2}}}}
Ziel: Erstellen eines Fehlervektors mit der Länge 0
Idee: Verwendung der Differentialrechnung auf von Parametern abhängige Fehlerfunktion E (gibt Fehler der Funktion aus) um Fehlerquadrate zu minimieren -> finden des Minimums der Funktion E benötigt zur Optimierung der Funktion f (Minimierung des Fehlers)
Verfahren, um Optimierungsprobleme zu lösen
hier: Verfahren zum Finden des Minimums einer Funktion mehrerer Veränderlicher (mehrdimensional) Einsetzbarkeit: zur Minimierung einer reellwertigen, differenzierbaren Funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
Optimierungsproblem:
m
i
n
x
∈
R
n
f
(
x
)
{\displaystyle {\underset {x\in \mathbb {R} ^{n}}{\rm {min}}}\ f(x)}
sehr langsame Konvergenz
negativer Gradient zeigt in Richtung stärkster Abfall der Funktionswerte von f
Annäherung an das Minimum in Schritten (Schrittweite wird festgelegt und muss bei Überspringen des Minimums möglicherweise verkleinert werden) Abbruchbedingung: durch Iterationsschritte wird Stelle gefunden, an der der Gradient von f der Nullvektor ist
Gradient ist nicht Nullvektor: Normierung des Gradienten auf Länge 1, multiplizieren mit Schrittweite αj
halbieren der Schrittweite, wenn nach dem Iterationsschritt Funktionswert nicht minimiert wird Start : Auswählen einer Stelle x(0) aus Definitionsbereich von f, für die das Minimum angenähert werden sollRichtung des steilsten Abstiegs : bestimmt durch
−
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
∈
R
n
{\displaystyle -Grad\left(f(x^{(j)})\right)\in \mathbb {R} ^{n}}
-> stellt Richtungsvektor dar, der in Richtung des steilsten Abfalls zeigt -> in diese Richtung müssen Variablen verändert werden falls
−
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
=
0
{\displaystyle -Grad\left(f(x^{(j)})\right)=0}
Normierung des Richtungsvektors : durch
d
(
j
)
=
−
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
‖
G
r
a
d
(
f
(
x
(
j
)
)
)
‖
:
{\displaystyle d^{(j)}=-{\frac {Grad\left(f(x^{(j)})\right)}{\left\|Grad\left(f(x^{(j)})\right)\right\|}}:}
‖
x
‖
:=
‖
(
x
1
,
…
,
x
n
)
‖
:=
∑
k
=
1
n
x
k
2
{\displaystyle \|x\|:=\|(x_{1},\ldots ,x_{n})\|:={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}x_{k}^{2}}}}
-> der Richtungsvektor erhält dadurch die Länge 1 Veränderung der x-Werte :
x
(
j
+
1
)
=
{
x
(
j
)
+
α
(
j
)
d
(
j
)
,
wenn
f
(
x
(
j
)
+
α
(
j
)
d
(
j
)
)
<
f
(
x
(
j
)
)
(Verbesserung)
x
(
j
)
,
sonst
{\displaystyle x^{(j+1)}={\begin{cases}x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)},&{\text{wenn }}f(x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)})<f(x^{(j)}){\text{ }}{\text{ (Verbesserung) }}\\x^{(j)},&{\text{sonst }}\end{cases}}}
falls keine Optimierung des Funktionswertes durch Addition der x(j) mit der Schrittweite multipliziert mit dem normierten Richtungsvektor entstanden ist: bleibt x(j) im nächsten Iterationsschritt gleich, ansonsten wird x(j) mit der Schrittweite multipliziert mit dem normierten Richtungsvektor addiert und bildet dadurch x(j+1) Festlegen der Schrittweite : Verwendung der anfangs gewählten Schrittweite αj bis keine Optimierung des Funktionswertes mehr durch den Iterationsschritt entsteht -> dann Halbierung αj
α
(
j
+
1
)
=
{
α
(
j
)
,
wenn
f
(
x
(
j
)
+
α
(
j
)
d
(
j
)
)
<
f
(
x
(
j
)
)
(Verbesserung)
α
(
j
)
2
,
sonst
{\displaystyle \alpha ^{(j+1)}={\begin{cases}\alpha ^{(j)},&{\text{wenn }}f(x^{(j)}+\alpha ^{(j)}d^{(j)})<f(x^{(j)}){\text{ (Verbesserung) }}\\{\frac {\alpha ^{(j)}}{2}},&{\text{sonst }}\end{cases}}}
(könnte auch anstatt einer Halbierung durch Multiplikation mit einem festgelegten Faktor
δ
{\displaystyle \delta }
0
<
δ
<
1
{\displaystyle 0<\delta <1}
Berechnung lokaler Veränderungen von Funktionen
1.Ableitung: gibt Steigung der Funktion an
Ableitung der Funktion (entspricht Tangentensteigung im Punkt)
Anwendung: Bestimmen von Extremwerten
Bsp.:
f
(
x
)
=
x
2
+
3
x
{\displaystyle f(x)=x^{2}+3x}
f
′
(
x
)
=
2
x
+
3
{\displaystyle f'(x)=2x+3}
Faktorregel:
f
(
x
)
=
c
∗
g
(
x
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
c
∗
g
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=c*g(x)-->f'(x)=c*g'(x)}
Bsp.:
f
(
x
)
=
2
∗
x
3
−
−
>
f
′
(
x
)
=
6
∗
x
2
{\displaystyle f(x)=2*x^{3}-->f'(x)=6*x^{2}}
Produktregel :
f
(
x
)
=
g
(
x
)
∗
h
(
x
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
g
′
(
x
)
∗
h
(
x
)
+
g
(
x
)
∗
h
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(x)*h(x)-->f'(x)=g'(x)*h(x)+g(x)*h'(x)}
Bsp.:
f
(
x
)
=
x
3
∗
x
5
−
−
>
f
′
(
x
)
=
3
x
2
∗
x
5
+
x
3
∗
5
x
4
=
3
x
7
+
5
∗
x
7
=
8
∗
x
7
{\displaystyle f(x)=x^{3}*x^{5}-->f'(x)=3x^{2}*x^{5}+x^{3}*5x^{4}=3x^{7}+5*x^{7}=8*x^{7}}
Quotientenregel :
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
h
(
x
)
∗
g
′
(
x
)
−
g
(
x
)
∗
h
′
(
x
)
h
(
x
)
2
{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}-->f'(x)={\frac {h(x)*g'(x)-g(x)*h'(x)}{{h(x)}^{2}}}}
Bsp.:
f
(
x
)
=
x
3
x
5
−
−
>
f
′
(
x
)
=
x
5
∗
3
∗
x
2
−
x
3
∗
5
∗
x
4
(
x
5
)
2
=
3
∗
x
7
−
5
∗
x
7
x
10
=
−
2
x
−
3
{\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}}{x^{5}}}-->f'(x)={\frac {x^{5}*3*x^{2}-x^{3}*5*x^{4}}{(x^{5})^{2}}}={\frac {3*x^{7}-5*x^{7}}{x^{10}}}=-2x^{-3}}
Kettenregel :
f
(
x
)
=
g
(
h
(
x
)
)
−
−
>
f
′
(
x
)
=
g
′
(
h
(
x
)
)
∗
h
′
(
x
)
{\displaystyle f(x)=g(h(x))-->f'(x)=g'(h(x))*h'(x)}
Bsp.:
f
(
x
)
=
(
x
4
+
5
)
2
−
−
>
f
′
(
x
)
=
2
∗
(
x
4
+
5
)
∗
4
∗
x
3
{\displaystyle f(x)=(x^{4}+5)^{2}-->f'(x)=2*(x^{4}+5)*4*x^{3}}
Ableitung Funktion
f
:
R
n
→
R
{\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
"Festhalten" aller Veränderlicher bis auf eine Veränderliche xi -> Entstehung Funktion, die nur von einer Veränderlichen xi abhängt Berechnung der Ableitung nach xi , andere Veränderliche werden wie Konstanten behandelt Bezeichnungen:
d
f
d
x
i
=
D
i
f
=
f
x
i
=
δ
i
f
{\displaystyle {\frac {df}{dx_{i}}}={\mathcal {D}}_{i}f=f_{x_{i}}=\delta _{i}f}
n Ableitungen pro Funktion möglich -> "gesammelt" in einem Vektor: Gradient von f
grad
(
f
)
=
∇
(
f
)
=
(
d
f
d
x
1
,
…
,
d
f
d
x
n
)
T
=
(
D
1
f
,
…
,
D
n
f
)
T
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla (f)=\left({\frac {df}{dx_{1}}}{,}\ldots {,}{\frac {df}{dx_{n}}}\right)^{T}=\left({\mathcal {D}}_{1}f{,}\ldots {,}{\mathcal {D}}_{n}f\right)^{T}}
f
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
+
2
x
1
x
2
{\displaystyle f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}}
(
δ
1
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
1
=
2
x
1
+
2
x
2
{\displaystyle (\delta _{1}f)(x)={\frac {df}{dx_{1}}}=2x_{1}+2x_{2}}
(
δ
2
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
2
=
2
x
1
{\displaystyle (\delta _{2}f)(x)={\frac {df}{dx_{2}}}=2x_{1}}
Spaltenvektor, der alle partiellen Ableitungen einer Funktion f mit mehreren Veränderlichen enthält
grad
(
f
)
=
∇
(
f
)
=
(
∂
f
∂
x
1
⋮
∂
f
∂
a
n
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)=\nabla (f)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial a_{n}}}\end{pmatrix}}}
an Stelle x0 :
grad
(
f
)
(
x
0
)
=
∇
(
f
)
(
x
0
)
=
(
∂
f
∂
x
1
(
x
0
)
⋮
∂
f
∂
x
n
(
x
0
)
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)(x_{0})=\nabla (f)(x_{0})={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(x_{0})\\\vdots \\{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(x_{0})\end{pmatrix}}}
zeigt in Richtung des stärksten Anstiegs
f
(
x
1
,
x
2
)
=
x
1
2
+
2
x
1
x
2
{\displaystyle f(x_{1}{,}x_{2})=x_{1}^{2}+2x_{1}x_{2}}
(
δ
1
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
1
=
2
x
1
+
2
x
2
{\displaystyle (\delta _{1}f)(x)={\frac {df}{dx_{1}}}=2x_{1}+2x_{2}}
(
δ
2
f
)
(
x
)
=
d
f
d
x
2
=
2
x
1
{\displaystyle (\delta _{2}f)(x)={\frac {df}{dx_{2}}}=2x_{1}}
grad
(
f
)
(
x
)
=
∇
(
f
)
(
x
)
=
(
2
x
1
+
2
x
2
2
x
1
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)(x)=\nabla (f)(x)={\begin{pmatrix}2x_{1}+2x_{2}\\2x_{1}\end{pmatrix}}}
Stelle
x
0
=
(
2
,
3
)
{\displaystyle x_{0}=(2,3)}
grad
(
f
)
(
2
,
3
)
=
∇
(
f
)
(
2
,
3
)
=
(
2
⋅
2
+
2
⋅
3
2
⋅
2
)
=
(
10
4
)
{\displaystyle \operatorname {grad} (f)(2,3)=\nabla (f)(2,3)={\begin{pmatrix}2\cdot 2+2\cdot 3\\2\cdot 2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}10\\4\end{pmatrix}}}
![{\displaystyle k[M,r]=\{X\in \mathbb {R} ^{3};{\overline {XM}}=r\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8115c7d2dbf9453f05be1f9a9ee3a92a1722ce68)
